項目化初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的實踐研究

1 問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要“引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”，“積極開展跨學(xué)科的主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動”．項目化學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷對有價值、有挑戰(zhàn)的驅(qū)動性問題合作、探究與發(fā)現(xiàn)的過程，掌握所需的知識與技能，形成問題解決的方案、呈現(xiàn)設(shè)計作品，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，自主進(jìn)行知識整合，形成高階認(rèn)知策略，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實現(xiàn)學(xué)科育人．?dāng)?shù)學(xué)實驗是學(xué)生通過觀察、操作、試驗、推理等實踐活動“做”數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)方式，是學(xué)生從自己的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)工具（包含計算機(jī)及幾何畫板等），形成或檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，解決某類問題，在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學(xué)探究活動，能有效改變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)知識的樂趣，幫助學(xué)生主動建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，運(yùn)用項目化學(xué)習(xí)方式進(jìn)行初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，以螺旋上升的系列驅(qū)動性問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流，經(jīng)歷數(shù)學(xué)實驗過程，掌握數(shù)學(xué)核心知識和方法，是以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新途徑．

2 項目化數(shù)學(xué)實驗教學(xué)設(shè)計的路徑

2.1 確定項目化數(shù)學(xué)實驗主題

數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)中的情境可以是歷史情境或者虛擬情境，只要能經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題解決的過程和對數(shù)學(xué)概念的理解并形成能分享的結(jié)論，都能看成是項目化學(xué)習(xí)．因此，可選取數(shù)學(xué)史中的真實問題和情境作為數(shù)學(xué)實驗項目化教學(xué)的素材，讓學(xué)生經(jīng)歷用實驗的方法解決問題的過程，從而感悟數(shù)學(xué)思想的實際發(fā)展歷程，起到對自身的激勵和啟迪作用．因此，可將著名的“三等分角”問題作為數(shù)學(xué)實驗項目化學(xué)習(xí)的主題之一，根據(jù)知識、方法、思想的不同類型設(shè)計合適的實驗活動，讓學(xué)生了解三等分角問題的研究歷史，并經(jīng)歷歷史上借助標(biāo)記長度的直尺進(jìn)行三等分角或在反比例函數(shù)圖象基礎(chǔ)上利用尺規(guī)三等分角等方法的過程，在動手做數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)上掌握探究問題的基本方法，并了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的曲折．

2.2 設(shè)計數(shù)學(xué)實驗子項目活動

數(shù)學(xué)實驗項目要依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容和核心素養(yǎng)，將主題分解成可實施的目標(biāo)明確、計劃詳細(xì)和評價科學(xué)的一系列完整而獨(dú)立的子項目，最后形成問題的解決方案或完成作品的設(shè)計，達(dá)到對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．在設(shè)計子項目活動的過程中，教師首先必須充分理解“三等分角”的發(fā)生、發(fā)展和結(jié)果的史學(xué)路徑，從高觀點(diǎn)看初等數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)系形成分主題式實驗子項目．所以可設(shè)計三個年級的數(shù)學(xué)實驗子項目，如表1．

2.3 確定數(shù)學(xué)實驗項目活動的素養(yǎng)要求

數(shù)學(xué)實驗項目必須要有明確的目標(biāo)，它承載著學(xué)生應(yīng)該掌握的知識、技能和應(yīng)該內(nèi)化的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此，必須依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對項目活動所要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行描述確定，才能在項目實施和評價的過程中關(guān)注目標(biāo)的達(dá)成．在“三等分角”項目化學(xué)習(xí)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生以下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：

（1）知道30°，45°，60°，90°這四個角之間的關(guān)系和等分角的含義，會進(jìn)行角度的四則運(yùn)算，能用這四個角度拼出不同度數(shù)的角，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)分類討論的思想，提高直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從角平分線的定義出發(fā)，遷移到三等分角、n等分角，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力．

（2）理解三等分角的原理和依據(jù)，知道借助的輔助工具為問題解決提供了什么關(guān)鍵性作用．學(xué)生在實驗過程中要熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)和圓等知識，還要具備扎實的運(yùn)算能力和幾何畫板的應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)交流能力．

（3）制作三等分角工具，是實踐到理論再到實踐的飛躍，通過學(xué)生動手設(shè)計和制作，在互相交流協(xié)作與反思改進(jìn)中成長，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理能力等素養(yǎng)．

（4）通過小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作互助、數(shù)學(xué)交流和動手操作等能力，培養(yǎng)學(xué)生的情感、態(tài)度與價值觀，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念．

2.4 提煉數(shù)學(xué)實驗項目的驅(qū)動性問題

驅(qū)動性問題就是將需要學(xué)生理解和掌握的核心知識、技能，轉(zhuǎn)化為有挑戰(zhàn)性的、情境化的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，在實驗的過程中實現(xiàn)知識的重組、技能的遷移運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高階思維，是核心素養(yǎng)得以產(chǎn)生和發(fā)展的載體．因此，從符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，“用一副三角板拼角”的實驗項目可以提出以下驅(qū)動性問題：（1）你能利用兩個三角板中30°，45°，60°，90°這四個角進(jìn)行兩兩組合拼出多少不同度數(shù)的角？請動手拼拼畫畫．（2）你能找到所拼出的這些角之間的數(shù)量關(guān)系嗎？（3）你能用三角尺畫出哪些角的角平分線？（4）你能利用三角尺畫出一些角的三等分線嗎？你能總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)嗎？（5）大家今天借助三角尺畫出了一些角的三等分線．請各小組推薦一份最優(yōu)秀的作品，并說明推薦的理由．

2.5 數(shù)學(xué)實驗項目學(xué)習(xí)活動的評價

在數(shù)學(xué)實驗項目活動中，學(xué)生既整合已有的知識和技能遷移應(yīng)用到新的情境中，又在新情境中動手操作、合作探究、發(fā)現(xiàn)新知、形成新的技能，還鍛煉和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此，評價可以劃分為三個維度：（1）基礎(chǔ)知識與技能維度，作品能否體現(xiàn)掌握了知識與技能目標(biāo)，掌握了多少個目標(biāo)；（2）基本思想維度，參與實驗活動過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)出了多少，運(yùn)用了哪些解決問題的高階思想和方法；（3）基本活動經(jīng)驗維度，學(xué)生合作交流的意愿強(qiáng)不強(qiáng)，積累哪些探索問題和實驗操作的經(jīng)驗，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信念怎樣？

3 數(shù)學(xué)實驗項目化教學(xué)實踐案例

開展數(shù)學(xué)實驗項目化教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生是實驗活動的主體，設(shè)計適合不同實驗環(huán)境的項目活動，讓學(xué)生在實驗中用已有的知識和經(jīng)驗解決未知領(lǐng)域的問題，感受、探究、獲得數(shù)學(xué)知識和技能，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，堅定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念．

案例 八年級，利用輔助工具三等分角

作銳角∠MAN，在邊AM上取點(diǎn)B，過點(diǎn)B作射線BE⊥AN，再作射線BF⊥BE，在射線BF上取一動點(diǎn)D，連接AD交射線BE于點(diǎn)C，如圖1．

學(xué)生活動1 以幾何畫板為操作環(huán)境的小組，學(xué)生通過鼠標(biāo)移動點(diǎn)D的位置，利用度量角工具測量∠DAN和∠MAN的度數(shù)，當(dāng)∠DAN=1/3∠MAN時，再度量線段AB，CD的長度，提出自己的發(fā)現(xiàn)；

生1 當(dāng)∠MAN=30°時，用鼠標(biāo)沿BF向右拖動點(diǎn)D，射線AD交BE于點(diǎn)C，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠DAN=10°時，CD=2AB，如圖2；

生2 用鼠標(biāo)沿BF向右拖動點(diǎn)D的過程中，射線AD交BE于點(diǎn)C，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)CD=2AB時，會有∠DAN=1/2∠MAN=15°，如圖3；

生3 當(dāng)∠MAN=60°時，用鼠標(biāo)沿BF向右拖動點(diǎn)D，射線AD交BE于點(diǎn)C，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠DAN=20°時，CD=2AB=5.42，如圖4．

學(xué)生活動2 以紙筆為操作環(huán)境的小組，學(xué)生利用量角器在∠MAN內(nèi)部畫∠DAN=1/3∠MAN，利用刻度尺測量線段AB，CD的長度，如圖5～6，觀察線段AB與CD數(shù)量關(guān)系；

生4 如圖5，當(dāng)∠MAN=60°時，我在∠MAN內(nèi)部作∠DAN=20°，測量AB=2.8，CD=5.6，發(fā)現(xiàn)∠DAN=1/3∠MAN時，CD=2AB．因此，要三等分∠MAN，只要在射線BF上取合適的點(diǎn)D，然后連接AD交BE于點(diǎn)C，使CD=2AB，即可得三等分線AD．

設(shè)計意圖讓學(xué)生分組參與活動1和活動2，通過動手實驗操作，在變化中尋找不變的規(guī)律，即CD=2AB時，∠DAN=∠1/3MAN．請小組歸納出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，初步感受三等分角與相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行推理證明；

學(xué)生活動3 已知角MAN∠，設(shè)∠α=1/3∠MAN，如圖7，將∠MAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB=2.5cm．現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出∠α，并簡要說明做法．

設(shè)計意圖學(xué)生在活動1和活動2的過程中，探索了三等分角與相關(guān)線段之間的關(guān)系．學(xué)生在理解三等分角原理的基礎(chǔ)上，將方法遷移到不同的情境中，有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)，理解問題本質(zhì)．

學(xué)生活動4 如圖8，將∠MAN置于平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，邊AN與x軸重合，以BC，BD為邊作矩形BCED，使BC與y軸平行，BD與x軸平行，讓學(xué)生移動點(diǎn)D的位置，當(dāng)∠DAN=1/3∠MAN時，如圖8，測量點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)，你有何發(fā)現(xiàn)？讓學(xué)生再次改變∠MAN的大小，進(jìn)行重復(fù)實驗，所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還一樣嗎？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠DAN=1/3∠MAN時，點(diǎn)B和點(diǎn)E的橫縱坐標(biāo)之積相等，即點(diǎn)B和點(diǎn)E在同一雙曲線上．因此，點(diǎn)E在經(jīng)過點(diǎn)B的雙曲線上．學(xué)生在幾何畫板上先畫出一條合適的雙曲線y=kx與邊MA交于點(diǎn)B，在點(diǎn)B下方的雙曲線上任取一點(diǎn)E，以BE為對角線作矩形BCED，使BC⊥AN，BD⊥BC．如圖9，連接AD，說明點(diǎn)ACD，，三點(diǎn)共線．讓學(xué)生改變點(diǎn)E的位置，說明點(diǎn)A，C，D仍三點(diǎn)共線．如圖10，當(dāng)BE=CD=2AB時，∠DAN=1/3∠MAN．由此，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)構(gòu)造矩形BCED的簡單方法：以點(diǎn)B為圓心，以2AB的長為半徑畫弧，與反比例函數(shù)圖象在點(diǎn)B下方的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)E，以BE為對角線構(gòu)造如圖的矩形BCED，使BC⊥AN，BD⊥BC．從而，連接AD就使13∠DAN=1/3∠MAN．

學(xué)生活動5 請查找帕普斯三等分角的方法，在此基礎(chǔ)上設(shè)計三等分一個鈍角的方法，用文字簡要說明；以小組為單位完成一篇有關(guān)三等分角的數(shù)學(xué)小論文．

設(shè)計意圖 學(xué)生在幾何畫板實驗的基礎(chǔ)上，探索、發(fā)現(xiàn)并證明了利用反比例函數(shù)圖象進(jìn)行三等分角的的方法和原理，用帕普斯三等分角的方法對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)評價．項目式學(xué)習(xí)要求評價要素和方式多元，以三等分銳角推廣到三等分鈍角和可視化數(shù)學(xué)小論文等多種形式進(jìn)行，讓學(xué)生對三等分角的多種方法和原理進(jìn)行歸納總結(jié)，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)和發(fā)展核心素養(yǎng)．

3 小結(jié)

3.1 項目化初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)有助于轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

以項目化學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，能以學(xué)生為中心發(fā)揮學(xué)生的主體性作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，在富有挑戰(zhàn)的活動中助力深度學(xué)習(xí)．?dāng)?shù)學(xué)實驗強(qiáng)調(diào)學(xué)生借助數(shù)學(xué)工具運(yùn)用觀察、操作、試驗、推理等方式主動參與學(xué)習(xí)活動過程，將數(shù)學(xué)實驗與項目化學(xué)習(xí)深度融合，讓學(xué)生在自覺的、自主的系列“做數(shù)學(xué)”的項目活動中，集中關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念或原理，運(yùn)用已有知識與能力完成項目實踐以達(dá)到發(fā)展新的知識與能力．在案例《利用輔助工具三等分角》中，學(xué)生運(yùn)用已有的等腰三角形、直角三角形、特殊四邊形和反比例函數(shù)知識進(jìn)行操作與觀察，從變中尋求不變，發(fā)現(xiàn)借助工具三等分角的基本原理，并進(jìn)行邏輯推理證明，實現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，同時提升了學(xué)生信息技術(shù)與常規(guī)學(xué)習(xí)方式整合的能力．

3.2 項目化初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)有益于豐富校本課程，發(fā)展核心素養(yǎng)

項目化數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的設(shè)計可以看成是特定課程開發(fā)的過程，即在建立與課程標(biāo)準(zhǔn)相聯(lián)系的目標(biāo)基礎(chǔ)上，設(shè)計一套能夠使教師指導(dǎo)學(xué)生對某一特定主題進(jìn)行深入研究的數(shù)學(xué)實驗課程．項目化數(shù)學(xué)實驗課程圍繞某一特定主題，充分整合學(xué)科知識的內(nèi)部聯(lián)系以及跨學(xué)科與生活、工作技能、現(xiàn)實生活的聯(lián)系，采用螺旋上升式設(shè)計符合學(xué)生的興趣和知識能力發(fā)展水平的數(shù)學(xué)實驗項目，有利于主題學(xué)習(xí)的延續(xù)性，使學(xué)生在不同年段圍繞主題進(jìn)行深入實驗研究，數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷擴(kuò)張，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷提升．?dāng)?shù)學(xué)史中的《三等分角》內(nèi)容相當(dāng)豐富，可以形成校本化的項目式數(shù)學(xué)實驗課程，七年級安排《玩轉(zhuǎn)三角尺》；八年級安排《借助工具三等分角》；九年級安排《制作三等分角工具》和《數(shù)域擴(kuò)充及尺規(guī)三等角不可能證明》．

3.3 項目化初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)有利于聯(lián)系真實情境，培養(yǎng)批判精神

無論是作為課程及其資源設(shè)計，還是作為數(shù)學(xué)教學(xué)方式的實施，項目化數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的開展對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展都有積極的作用．項目化數(shù)學(xué)實驗學(xué)習(xí)的目的是建立真實世界與數(shù)學(xué)世界之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生從真實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并建立數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實問題．項目化數(shù)學(xué)實驗活動的開放性強(qiáng)，對學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)據(jù)處理能力要求高，學(xué)習(xí)活動的進(jìn)程不可控因素較多，在用折紙三等分角和制作三等分角工具中，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中不斷反思或自我批評，及時改進(jìn)數(shù)學(xué)實驗方案，這無疑將培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維．

參考文獻(xiàn)

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