通過逆向設計 開發(fā)數(shù)學應用素材 實現(xiàn)教學評一致

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）凝練了數(shù)學核心素養(yǎng)，明確學業(yè)質量標準，細化評價目標，突出評價的激勵與發(fā)展功能，增強對教學和評價的指導，促進教、學、評的有機銜接．華東師范大學崔允漷教授認為“教學評一致”指的是整個教學系統(tǒng)中，教師的教、學生的學以及對學習結果的評價之間的協(xié)調配合，他指出：目標是教學評一致的核心；持續(xù)性評價是教學評一致的關鍵；結構化的學習活動是教學評一致的保障[1]．自新課標實施以來，“教學評一致”與逆向教學設計日益受到教育研究領域的廣泛關注．在當前注重培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教育背景下，逆向教學設計為“教學評一致”的實現(xiàn)提供了實用的框架，使“教學評一致”的實踐落實成為可能．逆向教學設計主張從終點即想要的結果開始，先確定達成預期結果的評估證據，再從證據出發(fā)組織學習和教學活動，逆向教學設計是實現(xiàn)教學評一致的有效方案[2]．

數(shù)學應用包括兩個方面：一是數(shù)學內部的應用，即運用已有的數(shù)學知識和思想方法解決新的數(shù)學問題，可歸結為數(shù)學結構的邏輯化；二是數(shù)學外部的應用，即運用數(shù)學理論解決有關實際問題，可分為現(xiàn)實問題數(shù)學化和數(shù)學理論應用化．研究數(shù)學應用是搜集針對性評價的主要證據，有利于教學評一致的落實．下面以人教A版選擇性必修1“空間向量的數(shù)量積運算”為例，說明通過逆向教學設計落實教學評一致的做法．

1 以課程標準為依據，確定學習目標

課程標準是教材編寫、教學、評價和考試命題的依據，是國家管理課程的基礎，體現(xiàn)著國家對學生學習結果的基本要求，所以課程標準中體現(xiàn)的實際上并不是“教學內容”，而是“學生的學習成果”．學習目標就是預期的學習結果，引導、驅動學生的課堂學習活動，既是課堂學習的起點，也是課堂學習的終點．

1.1 研讀課標

課程標準指出本單元研究對象是幾何圖形，所用研究方法主要是代數(shù)方法．教學中要求學生能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用；能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力；能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路．重點提升直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)．教學中應重視引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性和差異，引發(fā)學生思考維數(shù)增加所帶來的影響．

1.2 教材分析

本節(jié)內容教材直接提出兩個空間向量問題可以通過平移轉化為同一平面內的向量問題，從而由平面向量數(shù)量積的概念平行推廣到空間數(shù)量積的概念，思考數(shù)量積的幾何意義，得到空間a向b的投影向量，再擴展到a向直線l和平面β的投影向量．從概念到運算，類比得空間向量數(shù)量積的運算律，辨析確認后強化數(shù)量積運算的應用，解決長度與垂直問題．整個過程體現(xiàn)了類比轉化的思維方法，突出向量法的介紹與應用．所以本節(jié)課的重點是空間向量數(shù)量積的運算及應用，難點是對投影向量的理解以及向量法的建立．

1.3 學情分析

“平面向量及其應用”已介紹平面向量的研究內容、研究套路及思想方法；“立體幾何初步”的學習，使學生形成了一定的空間想象力，理解空間點、直線、平面的平行和垂直關系以及相關的度量計算等方法．這些內容為本單元的學習奠定了基礎，但把空間圖形的位置關系轉化為向量表示對學生來講是一個認識上的難點，對于空間向量的投影，需要較強的空間想象力，也是教學的難點．突破難點的辦法是類比平面向量解決平面幾何問題的經驗，并結合空間幾何具體問題的解決逐步形成認識．

1.4 確定目標

基于以上分析，可確定“空間向量的數(shù)量積運算”的學習目標，見表1．

2 基于學習目標設計評價任務

教學評一致強調課堂教學要圍繞學習目標展開，學習目標讓學生知道“要到哪里去”，評價任務是指導學生“怎么去”．教學評價要以數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成作為評價的基本要素．設計評價任務不僅要關注學生預期的學習結果，更要關注學生的思維過程，指向學生的理解和遷移，體現(xiàn)著數(shù)學應用的能力層次．逆向教學設計要求我們不是在目標設計好后直接考慮教學活動方案的設計，而是評價在先，要根據評價任務確定評價學生學習達成的證據，即為達成目標找到證據．表2給出了空間向量數(shù)量積運算的評價任務與評價證據．

3 將評價任務分解為學習活動

開展學習活動的過程是圍繞目標即學、即評、即教的探究過程，使教學評交織融合．教師在活動中要認真收集評價信息，分析評價結果，依據評價結果審視目標達成情況．

活動1 回顧舊知，類比得到空間向量的數(shù)量積的概念

師生共同畫出表3，在平面向量數(shù)量積的基礎上完成空間部分．

評價證據學生能完成表3和檢測1，說明能在熟悉的情境或特例中模仿，視為對空間向量數(shù)量積概念的掌握，數(shù)學抽象素養(yǎng)達到水平1．

活動2 借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質

（1）你能畫出空間中a在b上的投影向量嗎？能用向量a，b表示嗎？

（2）你能畫出空間中a向直線l的投影向量嗎？向平面β的投影向量呢？

評價證據 依據平面上投影向量的概念，通過平移能完成活動（1），是在熟悉的情境下建立的聯(lián)系，直觀想象素養(yǎng)達到水平1；在理解投影向量本質的基礎上，通過知識遷移正確完成活動（2）與檢測2，是在關聯(lián)的情境下建構的，說明直觀想象素養(yǎng)達到水平2．

活動3 推廣運算律，理解向量運算律與數(shù)的運算律的差異

（1）類比平面向量數(shù)量積的運算律，你能寫出空間向量數(shù)量積的運算律嗎？

（2）你能給予證明嗎？

檢測3 （1）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=ac，則b=c．對于向量a，b，c，由a·b=a·c，你能得到b=c嗎？

（2）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=c，則a=c/b（或b=c/a）．對于向量a，b，若a·b=k，能不能寫成a=k/b（或b=k/a）的形式？

（3）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，有a（bc）= （ab）c．對于向量a，b，c，（a·b）·c=a·（b·c）成立嗎？為什么？

評價證據 與學過的平面向量分配律證明相關聯(lián)，探索空間向量分配律的證明，以及能通過舉反例完成檢測3的辨析，可視為能選擇合適的論證方法，邏輯推理素養(yǎng)達到水平2．

活動4 應用向量法，解決空間幾何問題

檢測5 如圖3，m，n是平面α內的兩條相交直線．如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．

評價證據學生能完成檢測4，說明學生掌握了本節(jié)課的教學內容，完成了學習目標；完成檢測5，說明學生已具有知識的遷移能力，能運用空間向量模型解決數(shù)學問題，數(shù)學建模素養(yǎng)達到水平2．

可見，將教學評價“嵌套”在教學活動中，以恰當?shù)臄?shù)學應用素材作為教學評價反饋的證據，檢測學生的知識理解程度，可以對學生的認知、能力等發(fā)展水平進行動態(tài)追蹤，實時了解學生學業(yè)水平，更有利于落實教學評一致，促進學生核心素養(yǎng)的提升．

參考文獻

[1]涂曉峰．“教學評一致性”的含義及實踐程序[J]．課程教材教學研究，2023（9～10）：32

[2]常歡．“教學評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計研究——以函數(shù)單元為例[D]．洛陽師范學院，2024

（本文系廣州市教育科學規(guī)劃課題（教學成果培育項目）“文化視角下高中數(shù)學應用素材的開發(fā)與實踐”（編號：2024111456）的階段性成果）