兩階段金融衍生品清算問(wèn)題的半定規(guī)劃松弛方法

摘" 要： 在不限制暫時(shí)性及永久性價(jià)格影響參數(shù)大小關(guān)系下，研究?jī)呻A段金融衍生品清算問(wèn)題的半定規(guī)劃（Semi-definite programming， SDP）松弛方法，其優(yōu)化模型為一個(gè)帶有線性和單個(gè)非凸二次約束的非凸二次規(guī)劃（Quadratically constrained quadratic program， QCQP）問(wèn)題。針對(duì)該非凸QCQP問(wèn)題，給出了一個(gè)帶有Secant割的SDP松弛，并估計(jì)了它與原問(wèn)題之間的間隙。隨機(jī)例子的數(shù)值結(jié)果表明該SDP松弛可以得到原問(wèn)題更緊的上界，從而為尋求原問(wèn)題的一個(gè)好的近似解提供方法。

關(guān)鍵詞： 兩階段清算模型；金融衍生品；非凸二次規(guī)劃；SDP松弛；Secant割

中圖分類號(hào)： O224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1673-3851 （2024） 04-0566-07

DOI：10.3969/j.issn.1673-3851（n）.2024.04.016

收稿日期： 2022-10-12" 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2023-01-16網(wǎng)絡(luò)出版日期

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12271485，11871433）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LZ21A010003）

作者簡(jiǎn)介： 李" 葉（1997—" ），女，江西南昌人，碩士研究生，主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的研究。

通信作者： 羅和治，E-mail：hzluo@zstu.edu.cn

引文格式：李葉，洪陳春，羅和治. 兩階段金融衍生品清算問(wèn)題的半定規(guī)劃松弛方法［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2024，51（4）：566-572.

Reference Format： LI Ye， HONG Chenchun， LUO Hezhi. The semi-definite programming relaxation method for two-period financial derivatives′ liquidation problem［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2024，51（4）：566-572.

The semi-definite programming relaxation method for two-period financial derivatives′ liquidation problem

LI Ye1， HONG Chenchun2， LUO Hezhi1

（1.School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China;

2. Huaxin Consulting Co.， Ltd.， Hangzhou 310014， China）

Abstract：" The semi-definite programming （SDP） relaxation method for two-period financial derivatives′ liquidation problem is studied without restricting the relationship between the magnitude of the temporary and permanent price impact parameters， and the optimization model is a nonconvex quadratically constrained quadratic programming （QCQP） problem with linear and single nonconvex quadratic constraints. An SDP relaxation with secant cuts for this nonconvex QCQP problem is presented and the gap between it and the original problem is estimated. The numerical results of random instances show that the SDP relaxation can obtain a tighter upper bound to the original problem and then provides a method for finding a good approximate solution to the problem.

Key words： two-period liquidation model; financial derivatives; nonconvex quadratic programming; SDP relaxation; Secant cut

0" 引" 言

清算持有的投資組合資產(chǎn)被認(rèn)為是投資者在面臨財(cái)務(wù)困境時(shí)最常采取的手段。設(shè)計(jì)一種有效的清算策略，以最小的交易成本滿足現(xiàn)金需求，對(duì)機(jī)構(gòu)投資者和個(gè)人投資者至關(guān)重要。如果投資者不加選擇地拋售大量資產(chǎn)，會(huì)造成非常大的交易成本。因此，在更多情況下，投資者會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)逐步進(jìn)行交易。在清算過(guò)程中，由于早期的交易活動(dòng)會(huì)對(duì)后續(xù)交易造成持續(xù)性的影響，在減少交易成本時(shí)需重點(diǎn)考慮價(jià)格影響因素。Madhava等［1］將價(jià)格影響分為暫時(shí)和永久的價(jià)格影響，暫時(shí)性價(jià)格影響表示進(jìn)行交易時(shí)價(jià)格的瞬時(shí)變化，而永久性價(jià)格影響表示交易前后價(jià)格的變化。

Brown等［2］研究了帶有永久和暫時(shí)價(jià)格影響的最優(yōu)投資組合降杠桿問(wèn)題，并要求交易后投資組合的杠桿率降低到可接受的水平；此外，他們考慮到交易后可能會(huì)出現(xiàn)流動(dòng)性沖擊，提出了兩階段模型，并指出在清算過(guò)程中對(duì)資產(chǎn)清算優(yōu)先順序進(jìn)行選擇時(shí)，需著重考慮資產(chǎn)價(jià)格的不確定性因素。在Brown等［2］的啟發(fā)下，Chen［3］研究了資產(chǎn)種類更豐富的投資組合清算問(wèn)題，提出了一個(gè)關(guān)于金融衍生品的兩階段魯棒優(yōu)化模型，并在凸性假設(shè)下證明了該模型等價(jià)于一個(gè)半定規(guī)劃（Semi-definite programming， SDP）問(wèn)題。值得一提，文獻(xiàn)［3］中的凸性假設(shè)要求暫時(shí)性價(jià)格影響因素占主導(dǎo)地位。然而，實(shí)證分析表明了這種假設(shè)并不總是成立［4］。本文在去掉凸性假設(shè)下研究?jī)呻A段金融衍生品清算問(wèn)題，其優(yōu)化模型歸結(jié)為一個(gè)帶有非正變量、線性不等式和單個(gè)二次約束的非凸二次規(guī)劃問(wèn)題（Quadratically constrained quadratic program， QCQP），求其全局最優(yōu)解是非常困難的。

眾所周知，非凸QCQP問(wèn)題一般是NP-難的［5］。由于SDP松弛方法可以為非凸QCQP問(wèn)題提供緊的松弛界和好的近似解［6］，學(xué)者們對(duì)于非凸QCQP問(wèn)題提出了各種形式的SDP松弛。丁曉東等［7］針對(duì)帶邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合優(yōu)化問(wèn)題提出了一個(gè)緊的SDP松弛；章顯業(yè)等［8］針對(duì)帶凸二次約束的非凸QP問(wèn)題提出了一個(gè)緊的雙非負(fù)規(guī)劃松弛；Luo等［9］利用罰函數(shù)方法提出了二次約束線性規(guī)劃問(wèn)題的SDP松弛；Zheng等［10-11］針對(duì)非凸QCQP問(wèn)題分別提出了基于二次型的最佳D.C.分解以及基于矩陣錐分解和多胞形逼近技術(shù)的緊SDP松弛；Eltved等［12］針對(duì)廣義信賴域子問(wèn)題，提出了基于割技術(shù)的緊SDP松弛；Azuma等［13］針對(duì)一類特殊QCQP問(wèn)題，給出了精確SDP松弛解的充分條件。

本文在沒(méi)有要求暫時(shí)性及永久性價(jià)格影響參數(shù)大小關(guān)系的條件下，研究?jī)呻A段金融衍生品清算問(wèn)題的SDP松弛方法，以尋求其最優(yōu)值的緊松弛界。針對(duì)問(wèn)題的特殊結(jié)構(gòu)，提出了一個(gè)帶有Secant割的SDP松弛，并給出它與原問(wèn)題之間的間隙估計(jì)。

本文引入如下記號(hào)：Sn為n階對(duì)稱矩陣的集合，Tr（A）為矩陣A的跡；對(duì)于B∈Sn，B0表示矩陣B為半正定矩陣；X，Y∈Sn，X·Y=Tr（XY）為X，Y的內(nèi)積；diag（a）為以向量a的分量為對(duì)角元的對(duì)角矩陣；In為n階單位矩陣。

1" 兩階段金融衍生品清算模型

本節(jié)介紹Chen［3］提出的兩階段金融衍生品清算問(wèn)題的優(yōu)化模型，該模型能夠以最少的交易成本找到滿足現(xiàn)金需求的最優(yōu)清算策略，并利用Delta-gamma近似方法［14］估計(jì)金融衍生品的收益率。

在第i階段，i=1，2，設(shè)yi、pi∈Rn表示各資產(chǎn)的交易量及資產(chǎn)價(jià)格。Λ、Φ分別表示臨時(shí)性和永久性價(jià)格影響矩陣，由于只考慮同一資產(chǎn)之間的價(jià)格影響因素，則Λ、Φ為n階對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素分別為λi，i（gt;0），i=1，…，n。Λyi表示因?yàn)楣┬璨黄胶庠斐傻臅簳r(shí)性影響，Φyi是交易后的信息不對(duì)稱對(duì)資產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生的影響。x0∈Rn表示各資產(chǎn)的初始持有量，在清算期間不允許賣空或買入其他資產(chǎn)的約束可表示為：

y1≤0，y2≤0，-x0≤y1+y2。

設(shè)r∈Rn為第一階段的資產(chǎn)收益率，Chen［3］采用Delta-gamma近似方法將金融衍生品的收益率近似為關(guān)于其標(biāo)的資產(chǎn)收益率的二次函數(shù)：

ri≈firb=θ-iTp1，i+diag（pb1）Δ-ip1，iTrb+12rbTdiagpb1TΓ-idiagpb1p1，irb，

其中：rb，pb1∈Rn表示標(biāo)的資產(chǎn)的收益率和初始價(jià)格；T表示清算前后的時(shí)間長(zhǎng)度；θ-i、Δ-i和Γ-i（Greeks）是作為衡量金融衍生品風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，對(duì)于只擁有一項(xiàng)標(biāo)的資產(chǎn)j的金融衍生品i，Δ-i為僅第j個(gè)元素非零的向量，Γ-i為僅第j個(gè)對(duì)角元素非零的矩陣。

考慮到資產(chǎn)流動(dòng)產(chǎn)生的暫時(shí)性影響，這兩個(gè)階段的實(shí)際交易價(jià)格分別為p1+Λy1和p2+Λy2，且交易后會(huì)同樣會(huì)產(chǎn)生永久性影響，第一階段的交易行為會(huì)影響第二階段初始的資產(chǎn)價(jià)格，因此p2=diag（e+f（rb））p1+Φy1，其中：f（rb）=［f1（rb），…，fn（rb）］T，e∈Rn為分量全為1的向量。所以清算后產(chǎn)生的總現(xiàn)金流K為：

K（y1，y2）=-（p1+Λy1）Ty1-（p2+Λy2）Ty2

=-y1

y2TΛ12Φ

12ΦΛy1

y2-p1

diag（e+f（rb））p1Ty1

y2。

設(shè)a、l為清算后的資產(chǎn)和負(fù)債，l0為初始負(fù)債。由于第二階段的永久性影響Φy2會(huì)影響交易后的資產(chǎn)價(jià)格，且無(wú)需考慮第二階段的資產(chǎn)收益，所以在計(jì)算清算后的資產(chǎn)a時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格為p2+Φy2。清算過(guò)程產(chǎn)生的現(xiàn)金流可用于清償負(fù)債，故清算后的凈資產(chǎn)值為

e（y1，y2）=a-l=（p2+Φy2）T（x0+y1+y2）-（l0-K（y1，y2））=-y1y2TΛ-Φ-12Φ-12ΦΛ-Φy1y2+Φx0+diag（f（rb））p1Φx0Ty1y2+x0Tdiag（e+f（rb））p1-l0。

清算問(wèn)題的目標(biāo)是最大化交易后的凈資產(chǎn)，在滿足現(xiàn)金流需求的同時(shí)盡量減少由價(jià)格影響造成的交易成本。因此，兩階段金融衍生品的清算模型可歸結(jié)為如下帶有線性和單個(gè)二次約束的二次規(guī)劃問(wèn)題：

maxy1，y2∈Rne（y1，y2）;

s.t." K（y1，y2）≥κ，

-x0≤y1+y2，

y1≤0，y2≤0（1）

其中：κ為清算后最低的現(xiàn)金流需求。文獻(xiàn)［3］假設(shè)Λ-Φ為半正定矩陣，從而問(wèn)題（1）是一個(gè)凸二次規(guī)劃，證明了問(wèn)題（1）等價(jià)于一個(gè)SDP問(wèn)題。在沒(méi)有假設(shè)Λ-Φ為半正定性的條件下，問(wèn)題（1）是一個(gè)非凸二次約束二次規(guī)劃，求其全局最優(yōu)解是NP-難的。

2" SDP松弛方法及間隙估計(jì)

本節(jié)給出求解問(wèn)題（1）的一個(gè)SDP松弛，并估計(jì)其與原問(wèn)題之間的間隙。

為方便描述，將問(wèn)題（1）重新改寫為如下QCQP問(wèn)題：

miny∈R2n" f（y）=yTQ0y+q0Ty+d0;

s.t." g（y）=yTQ1y+q1Ty+d1≤0，

Ay≤x0，y≤0（2）

其中：

y=y1

y2，Q0=Λ-Φ-12Φ

-12ΦΛ-Φ，Q1=Λ12Φ

12ΦΛ，

q0=-Φx0+diag（f（rb））p1

Φx0，q1=p1

diag（e+f（rb））p1，

d0=x0Tdiag（e+f（rb））p1-l0，d1=κ，A=-In-In。

注意到Q0、Q1均為分塊矩陣，且每一子塊均為對(duì)角矩陣。定理1給出了這類分塊矩陣的特征值及其相應(yīng)的正交單位特征向量。

定理1" 設(shè)Q=ABBA，其中A=diag（α1，…，αn）和B=diag（β1，…，βn）為對(duì)角陣，再設(shè)μ1，…，μn，μn+1，…，μ2n為Q的特征值，且ζ1，…，ζn，ζn+1，…，ζ2n∈R2n為其對(duì)應(yīng)的正交單位特征向量，則

a）μi=αi+βi，μn+i=αi-βi，i=1，…，n；

b）若αi，βi≠0，i=1，…，n，且αi+βi≠αj+βj，αi-βi≠αj-βj，i，j=1，2，…，n，i≠j，則

ζi，i=ζi，n+i=22，ζi，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，i=1，…，n，

ζn+i，i=22，ζn+i，n+i=-22，ζn+i，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，i=1，…，n。

證明" a）計(jì)算矩陣Q的特征多項(xiàng)式：

f（μ）=μIn-A-B

-BμIn-A=μIn-A-B

μIn-A-BμIn-A-B

=μIn-A+B-B

OμIn-A-B=μIn-A+BμIn-A-B

=（μ-α1+β1）…（μ-αn+βn）（μ-α1-β1）…（μ-αn-βn），

其中O為n階零矩陣。令f（μ）=0，得Q的特征值為μi=αi+βi，μn+i=αi-βi，i=1，…，n。

b）當(dāng)μ1=α1+β1時(shí)，齊次線性方程組為（Q-μ1I2n）x=0，其中I2n為2n階單位矩陣。注意到β1≠0，α1+β1≠αj+βj，j=2，…，n。經(jīng)矩陣行初等變換，系數(shù)矩陣化為階梯型矩陣：

Q-μ1I2n=-β10…0β10…0

0α2-μ1…00β2…0

00…αn-μ100…βn

β10…0-β10…0

0β2…00α2-μ100

00…βn00…αn-μ1

→10…0-10…0

01…001…0

00…100…1

00…00β2-α2+μ1…0

00…000…βn-αn+μ1

00…000…0，

得基礎(chǔ)解系：η1=（1，0，…0，1，0，…，0）T，再單位化得ζ1=22，0，…0，22，0，…，0T。同理，對(duì)i=2，…，n，當(dāng)μi=αi+βi時(shí)，由（Q-μiI2n）x=0得基礎(chǔ)解系：ηi=（ηi，1，…，ηi，2n）T，其中：ηi，i=ηi，n+i=1，ηi，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i。再單位化得ζi=（ζi，1，…，ζi，2n）T，其中：ζi，i=ζi，n+i=22，ζi，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，i=2，…，n。

對(duì)i=1，…，n，當(dāng)μn+i=αi-βi時(shí)，由（Q-μn+iI2n）x=0，利用矩陣行初等變換和條件αi-βi≠αj-βj，j=1，…，n，j≠i，得基礎(chǔ)解系：ηn+i=（ηn+i，1，…，ηn+i，2n）T，其中：ηn+i，i=1，ηn+i，n+i=-1，ηn+i，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，再單位化得ζn+i=（ζn+i，1，…，ζn+i，2n）T，其中：ζn+i，i=22，ζn+i，n+i=-22，ζn+i，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i。

注意到ζ1，…，ζn，ζn+1，…，ζ2n是兩兩正交的。故ζ1，…，ζn，ζn+1，…，ζ2n為矩陣Q相應(yīng)于特征值μ1，…，μn，μn+1，…，μ2n的正交單位特征向量。

證畢。

由定理1，立得Q0、Q1的特征值和相應(yīng)的正交單位特征向量。

推論1" 設(shè)μki，μkn+i，i=1，…n為Qk的特征值，k=0，1，則

μ0i=λi-32i，μ0n+i=λi-12i，i=1，…，n；

μ1i=λi+12i，μ1n+i=λi-12i，i=1，…，n。

并且Q0、Q1有相同的正交單位特征向量ζ1，…，ζn，ζn+1，…，ζ2n∈R2n，其中

ζi，i=ζi，n+i=22，ζi，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，i=1，…，n；

ζn+i，i=22，ζn+i，n+i=-22，ζn+i，j=0，j=1，…，2n，j≠i，n+i，i=1，…，n。

基于推論1，給出問(wèn)題（2）的一個(gè)帶有Secant割的SDP松弛。不失一般性，設(shè)Q0、Q1的前r0，r1個(gè)特征值為負(fù)。根據(jù)推論1，對(duì)Qk特征值分解，得Qk=Qk+-CkTCk，k=0，1，其中：

Qk+=∑2ni=rk+1μkiζiζTi0，Ck=（-μk1ζ1，…，-μkrkζrk）T，

且μkilt;0，i=1，…，rk，μki≥0 i=rk+1，…，2n，k=0，1。令Y=yyT，得yTQky=Qk·Y，k=0，1。設(shè)lk，uk∈Rrk分別為Cky在可行域上的下界和上界，k=0，1，其中：

（y，Y）∈R2n×S2nQ1·Y+q1Ty+d1≤0

Ay≤x0，y≤0

YyyT。

令cki=-μkiζi，i=1，…，rk，k=0，1，則lk，uk可通過(guò)求解如下SDP問(wèn)題得到：

lki=min（y，Y）∈（cki）Ty，

uki=max（y，Y）∈（cki）Ty，i=1，…，rk，k=0，1。

當(dāng)lki≤（cki）Ty≤uki時(shí)，有：

cki（cki）T·Y=（（cki）Ty）2≤（lki+uki）（cki）Ty-lkiuki，i=1，…，rk，k=0，1（3）

其中：式（3）為Saxena等［15］所提出的Secant割。將Y=yyT松弛為半正定錐約束YyyT，可得問(wèn)題（2）的如下SDP松弛問(wèn)題：

min "Q0·Y+q0Ty+d0；

s.t." Q1·Y+q1Ty+d1≤0，

cki（cki）T·Y≤（lki+uki）（cki）Ty-lkiuki，i=1，…，rk，k=0，1，

Ay≤x0，y≤0，

YyyT（4）

定理2估計(jì)了問(wèn)題（2）與問(wèn)題（4）之間的間隙。記g^（y，Y）=Q1·Y+q1Ty+d1，且f*和v*分別為問(wèn)題（2）和問(wèn)題（4）的最優(yōu)值。

定理2" 設(shè)（y-，Y-）為問(wèn)題（4）的最優(yōu)解，則

f（y-）-f*≤∑r0i=1c0i（c0i）T·Y--（（c0i）Ty-）2≤14‖u0-l0‖22，

g（y-）≤∑r1i=1c1i（c1i）T·Y--（（c1i）Ty-）2≤14‖u1-l1‖22。

證明" 因問(wèn)題（4）是問(wèn)題（2）的松弛，故f*≥v*。根據(jù)Q0=Q0+-C0TC0，Y-yyT0以及問(wèn)題（4）中的Secant割約束，可推得：

f（y-）-f*≤f（y-）-v*=Q0·（y-y-T-Y-）=Q+0·（y-y-T-Y-）+∑r0i=1c0i（c0i）T·Y--（（c0i）Ty-）2

≤∑r0i=1c0i（c0i）T·Y--（（c0i）Ty-）2

≤∑r0i=1-（（c0i）Ty-）2+（l0i+u0i）（c0i）Ty--l0iu0i

≤14‖u0-l0‖22。

同理，由Q1=Q1+-C1TC1，Y-yyT0及（y-，Y-）的可行性，可推得

g（y-）≤g（y-）-g^（y-，Y-）=Q1·（y-y-T-Y-）

=Q+1·（y-y-T-Y-）+∑r1i=1c1i（c1i）T·Y--（（c1i）Ty-）2≤∑r1i=1c1i（c1i）T·Y--（（c1i）Ty-）2

≤∑r1i=1-（（c1i）Ty-）2+（l1i+u1i）（c1i）Ty--l1iu1i≤14‖u1-l1‖22。

證畢。

推論2" 設(shè)（y-，Y-）為問(wèn)題（4）的最優(yōu)解。若cki（cki）T·Y-=（（cki）Ty-）2，i=1，…，rk，k=0，1，則y-為問(wèn)題（2）的最優(yōu)解。

證明" 由定理2及假設(shè)，得f（y-）-f*≤0，g（y-）≤0。結(jié)合Ay-≤x0，y-≤0，知y-為問(wèn)題（2）的可行解，從而f（y-）≥f*。因此，f（y-）=f*。故y-為問(wèn)題（2）的最優(yōu)解。

證畢。

3" 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)給出了求解問(wèn)題（1）和問(wèn)題（4）的平均數(shù)值結(jié)果，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證SDP松弛為原問(wèn)題提供緊的松弛界。數(shù)值實(shí)驗(yàn)在MATLAB（R2018b）中實(shí)現(xiàn)，電腦的操作系統(tǒng)為Windows 10，處理器為Intel（R） Core（TM）i7-10710U CPU（1.10 GiHz），運(yùn)行內(nèi)存為16 GiB。

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，對(duì)隨機(jī)生成的10個(gè)問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試，并用MOSEK求解器求解SDP問(wèn)題（4），GUROBI求解器求解問(wèn)題（1）。測(cè)試問(wèn)題中的參數(shù)類似于文獻(xiàn)［3］的方法隨機(jī)產(chǎn)生，即：Λ、Φ的對(duì)角元服從U（10-5，10-4），即區(qū)間［10-5，10-4］上的均勻分布；θ-服從U（-0.1，-0.01），Δ-i的元素服從U（0，1），Γ-i的元素服從U（0.01，0.1），x0，i=104，p1，i=1，p1，i=1，rbi=-0.05，i=1，…，n，κ=0.2×（x0）Tp1。

表1給出了GUROBI求解器對(duì)問(wèn)題（1）及MOSEK求解器對(duì)問(wèn)題（4）的10個(gè)隨機(jī)測(cè)試?yán)拥钠骄鶖?shù)值結(jié)果，其中：“vopt”“vub”和“時(shí)間”分別表示對(duì)10個(gè)測(cè)試?yán)拥玫降膯?wèn)題（1）的平均最優(yōu)值、問(wèn)題（4）的平均最優(yōu)值以及平均CPU時(shí)間（單位：s）；“（*）”表示求解器在3600 s內(nèi)求得全局最優(yōu)解的實(shí)例數(shù)，“—”表示求解器未能在3600 s內(nèi)找到全局最優(yōu)解；“vgap”表示問(wèn)題（1）和問(wèn)題（4）全局最優(yōu)值的相對(duì)間隙（單位：%），計(jì)算公式為：

vgap/%=vub-vopt|vopt|×100。

由表1可知，按照相對(duì)間隙，SDP松弛問(wèn)題（4）能為問(wèn)題（1）提供更緊的上界。當(dāng)問(wèn)題維數(shù)及Q0、Q1的負(fù)特征值個(gè)數(shù)增多時(shí)，GUROBI求解速度較慢，并且當(dāng)n≥100時(shí)，GUROBI無(wú)法在3600 s內(nèi)求到最優(yōu)解。相比之下，松弛問(wèn)題（4）在n=200時(shí)仍有效求解，并為原問(wèn)題提供更緊的上界。

4" 結(jié)" 語(yǔ)

本文在不限制暫時(shí)性價(jià)格影響因素占主導(dǎo)地位的交易市場(chǎng)中研究?jī)呻A段金融衍生品清算問(wèn)題，其模型是一個(gè)帶線性和單個(gè)非凸二次約束的非凸二次規(guī)劃問(wèn)題，給出了該模型的一個(gè)帶有Secant割的SDP松弛及其間隙估計(jì)。隨機(jī)例子的數(shù)值結(jié)果表明，本文提出的SDP松弛能為原問(wèn)題提供了更緊的上界。

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（責(zé)任編輯：康" 鋒）