二元不等式恒成立問(wèn)題的破解策略

摘 要：文章從一道經(jīng)典的二元不等式恒成立問(wèn)題出發(fā)，從權(quán)方和不等式、雙變量換元、比值換元和基本不等式等角度給出試題的三種解法，然后給出相應(yīng)的變式題，提出解決二元不等式恒成立問(wèn)題的破解策略.

關(guān)鍵詞：二元不等式；基本不等式；權(quán)方和不等式；恒成立問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0066-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：梁春霞（1987.1—），女，廣東省東莞人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在不等式恒成立問(wèn)題中，求參數(shù)的取值范圍是高考的高頻考點(diǎn)，如何突破這一類題型呢？本文以二元不等式的恒成立問(wèn)題為例，先從多種角度給出例題的剖析，并提供解決此類問(wèn)題的方法與策略，再給出相應(yīng)的變式題供讀者練習(xí)與參考^[1].

1 例題剖析

題目 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足xgt;32，ygt;3，不等式k（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為.

解法1 權(quán)方和不等式

由xgt;32，ygt;3，得

2x-3gt;0，y-3gt;0.

因?yàn)閗（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

記L=4x2y-3+y22x-3，

由權(quán)方和不等式，得L≥（2x+y）22x+y-6.

令t=2x+y-6（tgt;0），則

（2x+y）22x+y-6=（t+6）2t=t+36t+12≥24.

所以4x2y-3+y22x-3≥24，當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=6時(shí)等號(hào)成立，所以k≤24.故選B.

解法2 雙變量換元+待定系數(shù)配湊

由xgt;32，ygt;3，得2x-3gt;0，y-3gt;0.

因?yàn)閗（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

記L=4x2y-3+y22x-3，

設(shè)m=2x-3gt;0，n=y-3gt;0，則

L=（m+3）2n+（n+3）2m

=（m+3）2n+4n+（n+3）2m+4m-4（m+n）

≥4（m+3）+4（n+3）-4（m+n）=24，

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3，即x=3，y=6時(shí)等號(hào)成立，所以k≤24.故選B.

點(diǎn)評(píng) 待定系數(shù)配湊的過(guò)程如下：

L=（m+3）2n+（n+3）2m

=（m+3）2n+tn+（n+3）2m+tm-t（m+n）

≥2t（m+3）+2t（n+3）-t（m+n），

令2t=t可知t=4.

解法3 比值換元+均值不等式

由xgt;32，ygt;3，得2x-3gt;0，y-3gt;0.

因?yàn)閗（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

記L=4x2y-3+y22x-3，

設(shè)m=2x-3gt;0，n=y-3gt;0，m=kn，kgt;0，則

L=（n+3）2m+（m+3）2n

=（k2+1k）n+（1+1k）9n+6（k+1k）

≥2×3（k2+1k2）·（k+1k）+6（k+1k）

≥2×34+6×2=24，

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3，即x=3，y=6時(shí)等號(hào)成立，所以k≤24，故選B.

本題是一道不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題

往往與函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合，形式靈活、思維性強(qiáng)、知識(shí)交匯點(diǎn)多.常見(jiàn)的策略有：

①全分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題；

②半分離參數(shù)，利用圖形找出參數(shù)臨界情形；

③不分離參數(shù)，分類討論.

本題根據(jù)題中不等式中的參數(shù)個(gè)數(shù)選擇全分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)最值問(wèn)題.求解二元函數(shù)最值大多是通過(guò)不等式求解，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的形式可以通過(guò)換元簡(jiǎn)化形式，有助于明確結(jié)構(gòu)選擇合適的不等式求最值.

2 變式訓(xùn)練

變式1 已知正數(shù)x，y滿足4x+9y=1，若42x2+x+9y2+y≥m恒成立，則m的最大值為.

解析 由權(quán)方和不等式，得

42x2+x+9y2+y=424（2x2+x）+929（y2+y）

=42/x28+4/x+92/y29+9/y

≥（4/x+9/y）24/x+9/y+17=118，

當(dāng)且僅當(dāng)4/x8+4/x=9/y9+9/y時(shí)取等號(hào).

由4x+9y=1，4/x8+4/x=9/y9+9/y，解得x=172，y=17.

即當(dāng)x=172，y=17時(shí)，42x2+x+9y2+y的最小值為118.所以m≤118.

即m的最大值為118.

變式2 設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足xgt;23，ygt;2，不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立，求m的最大值.

解析 因?yàn)閤gt;23，ygt;2，

所以3x-2gt;0，y-2gt;0.

令a=3x-2，b=y-2，則

agt;0，bgt;0，x=a3+23，y=b+2.

所以

9x2y-2+y23x-2=9（a/3+2/3）2b+（b+2）2a

=a2b+4ab+4b+b2a+4ba+4a

=a2b+b2a+4ab+4ba+4b+4a

≥2a2b·b2a+24ab·4ba+24b·4a

=2ab+8+8ab

≥22ab×8ab+8=16，

當(dāng)且僅當(dāng)a2b=b2a，且4ab=4ba，且4b=4a，且

2ab=8ab，即a=b=2，

即x=43，y=4時(shí)等號(hào)成立.

又不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立，所以m≤16.即m的最大值為16.

變式3 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=3k（x≠y），若不等式x2+y2gt;ck2恒成立，求實(shí)數(shù)c的最大值.

解析 因?yàn)閤+y=3kgt;2xy，所以xylt;9k24.

若不等式x2+y2gt;ck2恒成立，只需ck2lt;（x2+y2）min.

而x2+y2=（x+y）2-2xygt;9k2-2×

94k2=9k22，所以只需ck2≤92k2即可，即c≤92.

所以實(shí)數(shù)c的最大值為92.

變式4 對(duì)任意實(shí)數(shù)xgt;1，ygt;12，不等式x2a2（2y-1）+4y2a2（x-1）≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值.

解析 不等式x2a2（2y-1）+4y2a2（x-1）≥1恒成立，可轉(zhuǎn)化為a2≤x22y-1+4y2x-1恒成立，其中xgt;1，ygt;12.

令t=x22y-1+4y2x-1

=（x-1）2+2（x-1）+12y-1+（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1

≥2（x-1）2+2（x-1）+12y-1·（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1

=2［（x-1）+1x-1+2］［（2y-1）+12y-1+2］

≥2（2+2）（2+2）

=8，

第二次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件是

x-1=1x-1，且2y-1=12y-1，

得x=2且y=1，此時(shí)有

（x-1）2+2（x-1）+12y-1

=（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1.

這說(shuō)明兩次基本不等式能同時(shí)取得等號(hào)，所以x22y-1+4y2x-1的最小值為8，即a2≤8，則

-22≤a≤22，所以實(shí)數(shù)a的最大值為22.

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于二元不等式恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的取值范圍，常規(guī)的處理策略是分離參數(shù)（包括半分離參數(shù)和全分離參數(shù)），然后通過(guò)雙變量換元、比值換元、待定系數(shù)法、配湊法等對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用基本不等式、柯西不等式或者權(quán)方和不等式來(lái)求最值.

這類試題對(duì)代數(shù)的變形和不等式的應(yīng)用要求較高，需要讀者具備一定的理解能力和應(yīng)用不等式解題的能力^[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］周聰寅.一道“恒成立問(wèn)題”模擬題的解法探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（11）：125-127.

[2] 李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（8）：50-52.

［責(zé)任編輯：李 璟］