一道三直線斜率問(wèn)題的解法探究

摘 要：直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的高頻考點(diǎn).斜率是解析幾何的重要研究對(duì)象，也是高考涉及較多的問(wèn)題.文章從方程思想、同構(gòu)思想、參數(shù)法和極限思想等角度給出一道涉及三條直線斜率問(wèn)題的多種解法.

關(guān)鍵詞：斜率問(wèn)題；參數(shù)法；方程思想；極限思想

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0044-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：周霄漢（1984.11—），男，江蘇省蘇州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

斜率是解析幾何的重要研究對(duì)象，一般的研究思路是設(shè)出直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與曲線聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)或者利用韋達(dá)定理，然后利用坐標(biāo)表示斜率再進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)然了，也可根據(jù)試題結(jié)構(gòu)，將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)的形式，或者考慮特殊位置求解.

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x-3）2+y2=1，且圓C與x軸交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（kgt;0），直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AM與直線BN相交于點(diǎn)P，直線AM、直線BN、直線OP的斜率分別為k1，k2，k3，則（" ）.

A.k1+k2=2k3" B.2k1+k2=k3

C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3

圖1 直線與圓相交

2 解法探究

思路1 方程思想.

解法1 如圖1所示，由題意得lAM：y=k1（x-2），與圓C：（x-3）2+y2=1聯(lián)立，

消y整理得，

（x-2）［（1+k21）x-（2k21+4）］=0.

所以xM=2，xA=2k21+41+k21.

所以A（2k21+41+k21，2k11+k21）.

同理可得B（4k22+21+k22，-2k21+k22）.

因?yàn)閗OA=kOB，

所以2k1/（1+k21）（2k21+4）/（1+k21）=-2k2/（1+k22）（4k22+2）/（1+k22）.

即（1+k1k2）（k1+2k2）=0^［1］.

因?yàn)閗1k2≠-1，所以k2=-12k1.

設(shè)P（x0，y0），所以y0=k1（x0-2），y0=k2（x0-4）.

所以x0=2k1-4k2k1-k2，y0=-2k1k2k1-k2.

所以P（2k1-4k2k1-k2，-2k1k2k1-k2）.

即P（83，2k13）.

所以k3=2k1/38/3=14k1.

所以k1+k2=12k1=2k3.

故選A.

解法2 由已知，不妨設(shè)點(diǎn)M（2，0），N（4，0），則直線AM：y=k1（x-2），直線BN：y=k2（x-4）.

由y=kx，y=k1（x-2）得x=2k1k1-k，y=2kk1k1-k.

即點(diǎn)A（2k1k1-k，2kk1k1-k）.

由點(diǎn)A在圓（x-3）2+y2=1上，得

（2k1k1-k-3）2+（2kk1k1-k）2=1.

即k·k21-k1+2k=0.①

同理可得k+2k·k22+k2=0.

即k·（-1k2）2-（-1k2）+2k=0.②

由①②知，k1，-1k2是關(guān)于x的二次方程k·x2-x+2k=0的兩根，顯然k1≠-1k2，否則若k1=-1k2，則k1k2=-1，則AM⊥BN.又MN是圓C的直徑，所以AM，BN的交點(diǎn)P位于圓C上，這與題意不相符.

所以k1·（-1k2）=2kk=2，k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即點(diǎn)P（83，-43k2）.

所以k3=--4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故選A.

思路2 參數(shù)方程思想.

解法3 依題意，不妨設(shè)點(diǎn)M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以sinα（3+cosβ）=sinβ（3+cosα）.

即sinαcosβ-cosαsinβ=-3（sinα-sinβ）≠0.

即sin（α-β）=-6cosα+β2sinα-β2.

即2sinα-β2cosα-β2=-6cosα+β2sinα-β2≠0.所以cosα-β2=-3cosα+β2.

所以cosα2cosβ2+sinα2sinβ2=-3cosα2cosβ2+3sinα2sinβ2.

即sinα2sinβ2=2cosα2cosβ2.

所以tanα2·tanβ2=2.所以sinα1+cosα·1-cosβsinβ=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ.

所以k1·（-1k2）=2.即k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2

=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即點(diǎn)P（83，-43k2）.

所以k3=-4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故選A.

解法4 依題意，不妨設(shè)點(diǎn)M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以點(diǎn)A1（cosα，sinα），B1（cosβ，sinβ），E（-3，0）共線于直線x=my-3，且A1，B1均位于圓x2+y2=1上.

記A1（x1，y1），B1（x2，y2），則

由x=my-3，x2+y2=1，得（my-3）2+y2=1.

即（m2+1）y2-6my+8=0.

所以y1+y2=6mm2+1，y1y2=8m2+1 .

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=y11+x1，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1+cosβ=-1+x2y2，

所以k1·（-1k2）=y11+x1·y21+x2

=y1y2（1+x1）（1+x2）

=y1y2（my1-2）（my2-2）

=y1y2m2y1y2-2m（y1+y2）+4

=8/（m2+1）8m2/（m2+1）-2m·［6m/（m2+1）］+4=2.

所以k1=-2k2^［2］.

下同解法3.

解法5 依題意，不妨設(shè)點(diǎn)M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以2t1/（1+t21）3+（1-t21）/（1+t21）

=2t2/（1+t22）3+（1-t22）/（1+t22），

其中t1=tanα2，t2=tanβ2.

即t12+t21=t22+t22.

即t1（2+t22）=（2+t21）t2.

所以（t1-t2）（2-t1t2）=0.

所以t1=t2或t1t2=2.

又α，β的終邊不相同，

所以t1≠t2，t1t2=2，tanα2·tanβ2=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=tanα2，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ=-1tan（β/2），

所以k1·（-1k2）=2.

所以k1=-2k2.

下同解法3.

3 結(jié)束語(yǔ)

一題多解在日常的解題教學(xué)中非常重要，教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一題多解，可發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，同時(shí)也可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和提高學(xué)生的解題能力. 斜率問(wèn)題是解析幾何的核心內(nèi)容，深入研究斜率問(wèn)題非常有必要.通過(guò)深入研究一道題，可獲得解決這一類問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法：方程思想、同構(gòu)思想、參數(shù)方程思想等.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李鴻昌.“斜橢圓”面積的八種求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（09）：43-46.

[2] 李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（08）：50-52.

［責(zé)任編輯：李 璟］