動(dòng)量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用

摘 要：高中物理中，電磁感應(yīng)是一個(gè)重要的概念，而動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律也是重要的規(guī)律，且經(jīng)常會(huì)與電磁感應(yīng)相關(guān)聯(lián)，要求學(xué)生進(jìn)行綜合應(yīng)用.因此，學(xué)生需要理解電磁感應(yīng)現(xiàn)象，同時(shí)也要掌握動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律的靈活應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高中物理；動(dòng)量；電磁感應(yīng)

中圖分類號(hào)：G632" "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0124-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：申曉靜（1985.11—），女，河北省邢臺(tái)人，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

2017年新教學(xué)大綱對(duì)物理教學(xué)和備考提出了新的要求.選修3—5模塊從“選考”變?yōu)椤氨乜肌保呖碱}型也面臨大調(diào)整^[1].其中，電磁感應(yīng)和動(dòng)量的綜合題型成為重點(diǎn)，考查范圍限定在一維平面內(nèi).文章結(jié)合相關(guān)實(shí)例，分析動(dòng)量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用.

1 線圈進(jìn)出磁場(chǎng)模型

例1 如圖1所示，邊長(zhǎng)為b的正方形閉合線圈，水平向右穿過(guò)磁場(chǎng)邊界而后進(jìn)入磁場(chǎng).已知該磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布的區(qū)域?qū)挾葹長(zhǎng)（Lgt;b），磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?，線圈的初始速度為v0，當(dāng)完全穿過(guò)磁場(chǎng)后，線圈的速度變?yōu)関（vlt;v0）.下列說(shuō)法正確的是（" ）.

A.當(dāng)線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其速度應(yīng)比v0+v2小

B.當(dāng)線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其速度的大小為v0+v2

C.當(dāng)線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其速度應(yīng)比v0+v2大

D.B和C情況均有可能，但不可能出現(xiàn)A情況

解析 設(shè)線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v′，正方形線框的阻值為R.正方形線圈在進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的過(guò)程中，通過(guò)線框的電荷量為q，有q=I-·Δt，又因?yàn)?I-=ER，E-=ΔΦΔt，

聯(lián)立得q=Bb2R .因?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度B和阻值R以及正方形框線的邊長(zhǎng)均不發(fā)生變化，所以，該框線進(jìn)出過(guò)程中，通過(guò)框線的電荷量是相等的，均為q.安培力的沖量為F·Δt=BIbΔt=Bbq，在線框進(jìn)出磁場(chǎng)的過(guò)程中，依據(jù)動(dòng)量定理有Bbq=mv0-mv′和Bbq=mv′-mv，聯(lián)立可得，v′=v0+v2，所以B選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng) 線圈在進(jìn)入磁場(chǎng)和從磁場(chǎng)出來(lái)的過(guò)程中，做的是變減速運(yùn)動(dòng).應(yīng)用動(dòng)量定理，通過(guò)安培力的沖量公式將電荷量和動(dòng)量定理結(jié)合起來(lái)，完成求解過(guò)程.

2 雙桿切割在同一磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

例2 如圖2所示，有兩根光滑的金屬軌道，由弧形軌道和平直軌道相接組成，軌道的長(zhǎng)度為足夠長(zhǎng)，并且可以忽略電阻，兩根軌道相隔的間距d=1 m.在弧形軌道的頂端，放置一個(gè)金屬桿a，該桿離地面的高度h=1.25 m.在右端的平直軌道上，放置金屬桿b.已知金屬桿a的阻值大小為Ra＝2 Ω，質(zhì)量ma＝2" kg；金屬桿b的阻值大小Rb為5 Ω，其質(zhì)量mb為1" kg.在平直軌道的區(qū)域內(nèi)，均勻分布著一磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為2 T.某時(shí)刻，將金屬桿a由靜止釋放，同時(shí)讓金屬桿b以v0＝5 m/s的初速度大小開(kāi)始向左移動(dòng).金屬桿a滑至軌道弧形部分和平直部分相接處時(shí)，金屬桿b上通過(guò)的平均電流大小為0.3 A；從金屬桿a下滑至水平軌道時(shí)記為初始時(shí)刻，圖3為兩根金屬桿的速度-時(shí)間圖像（以金屬桿a運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较颍琯=10 m/s2），回答以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)金屬桿a由初始位置下滑至水平軌道和弧形軌道相接處時(shí)，經(jīng)歷了多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）當(dāng)金屬桿a在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在整個(gè)過(guò)程中其截面通過(guò)的電荷量是多少？

（3）金屬桿b在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，所產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

分析 （1）根據(jù)題意，桿a在弧形軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與桿b從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到開(kāi)始計(jì)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，所以可以將研究對(duì)象轉(zhuǎn)至桿b.b受到的是變力，且涉及時(shí)間，可以運(yùn)用動(dòng)量定理，完成求解過(guò)程.（2）金屬桿a做變速運(yùn)動(dòng)，考慮利用動(dòng)量定理求解.

（3）運(yùn)用能量守恒進(jìn)行求解.

解析 （1）設(shè)金屬a由初始位置滑至軌道相接處時(shí)，金屬桿b的速度大小為vb.選取金屬桿b為研究對(duì)象，依據(jù)動(dòng)量定理，有

BI-d·Δt=mb（v0-vb）.解得Δt=5 s.所以金屬桿a由弧形軌道下滑至相接處需要5 s.

（2）設(shè)金屬a在軌道相接處時(shí)的速度為va，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得magh=12mav2a，解得va=2gh=5 m/s.

設(shè)最終共同的速度為v′，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mava-mbvb=（ma+mb）v′，解得v′=

83 m/s.根據(jù)動(dòng)量定理得BdI·Δt=ma（va-v′），又q=I·Δt.代入數(shù)據(jù)，可得q=73 C.

（3）根據(jù)能量守恒定律，金屬桿a和b共產(chǎn)生的焦耳熱為

Q=magh+12mbv20-12（ma+mb）v′2=1616 J

b棒中產(chǎn)生的焦耳熱為Q′=52+5Q=1156 J.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于兩個(gè)金屬桿切割磁場(chǎng)的模型，如果軌道的間距不發(fā)生變化，則兩個(gè)金屬桿所受到的安培力大小是相等的，遵從動(dòng)量守恒定律.若軌道光滑，兩個(gè)金屬桿機(jī)械能的減少量等于系統(tǒng)中產(chǎn)生的焦耳熱.

例3 如圖4所示，有兩根相距為L(zhǎng)的光滑金屬軌道水平放置在地面上，軌道足夠長(zhǎng)且電阻可忽略不計(jì).軌道放置的區(qū)域內(nèi)存在著一豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)區(qū)域大于軌道的間距.現(xiàn)在兩軌道間放置兩根銅棒，記為銅棒a和銅棒b，兩根銅棒的長(zhǎng)度恰好為L(zhǎng)，電阻均為R，質(zhì)量均為m.初始時(shí)刻，銅棒靜止在軌道上且和軌道接觸良好. 某時(shí)刻，給銅棒a施加了一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量I，則關(guān)于該時(shí)刻之后，下列說(shuō)法正確的是（"" ）.

A.銅棒和導(dǎo)軌所形成的回路中，最大電流為BLIRm

B.銅棒b做變速運(yùn)動(dòng)，存在一個(gè)最大的加速度

B2L2I2m2R

C.銅棒b做變速運(yùn)動(dòng)，存在一個(gè)最大的速度Im

D.銅棒和導(dǎo)軌所形成的回路中，產(chǎn)生的總焦耳熱為I22m

解析 銅棒a開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的瞬間，回路中的電流為最大值，回路電流I0=E2R，其中E=BLv0，v0=Im，所以回路電流I0=BLI2Rm，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；銅棒a剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，

銅棒b受到的安培力最大，對(duì)應(yīng)最大的加速度a=Fm=BI0Lm=B2L2I2Rm2，B選項(xiàng)正確；當(dāng)兩個(gè)銅棒的速度相等時(shí)，銅棒b速度達(dá)到最大值，根據(jù)動(dòng)量守恒有mv0＝2mv，又v0＝Im，所以其最大速度為v＝I2m，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；銅棒和導(dǎo)軌所形成的回路中，產(chǎn)生的焦耳熱Q＝12mv20-12·2mv2＝I24m，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

3 雙桿切割在不同磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

例4 如圖5所示，有兩根質(zhì)量均為2 kg、長(zhǎng)度不一的金屬棒AB和CD，將兩根棒分別垂直放置在光滑軌道的不同位置上.該軌道由左、右兩部分組成，左邊軌道的間距是右邊軌道的二分之一，且該區(qū)域中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向和右邊區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向相反，但磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等.已知軌道無(wú)限長(zhǎng)且金

屬棒一直處在不同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng).金屬棒的電阻和棒長(zhǎng)成正比，軌道的電阻可忽略不計(jì).在CD棒上施加一水平向右、大小為250 N的拉力F.已知當(dāng)CD棒移動(dòng)的距離為0.5 m時(shí)，CD棒上產(chǎn)生的焦耳熱為30 J.此時(shí)金屬棒AB的速度為vA，金屬棒CD的速度為vC，vA=12vC.然后撤去拉力F，回答以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)CD棒運(yùn)動(dòng)了0.5 m時(shí)，金屬棒AB產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

（2）當(dāng)CD棒運(yùn)動(dòng)了0.5 m時(shí)，兩棒的速度vA和vC的大小為多少？

（3）拉力F撤去后，兩根金屬棒處于勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最終速度vA′和vC′的大小為多少？

解析 （1）設(shè)AB棒的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，電阻為R，則CD棒的長(zhǎng)度為2L，電阻為2R.兩棒組成閉合電路，任何時(shí)刻通過(guò)兩棒的電流相等，根據(jù)焦耳定律Q=I2Rt，解得QAB=12QCD=15 J.

（2）根據(jù)能量守恒定律有Fs=12mv2A+12mv2C+QAB+QCD，又因?yàn)関A=12vC，求解得AB棒的速度vA=4 m/s，CD棒的速度vC=8 m/s.

（3）拉力F撤去后，兩棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)切割磁感線所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，即BLv′A=2BLv′C，兩棒的速度應(yīng)滿足v′A=2v′C.設(shè)AB棒和CD棒受到的安培力大小分別為FA和FC，對(duì)兩棒分別應(yīng)用動(dòng)量定理有：FAt=mv′A-mvA，-FCt=mv′C-mvC由于FC=2FA，聯(lián)立可得v′A=6.4 m/s，v′C=3.2 m/s.

評(píng)析 當(dāng)兩棒的長(zhǎng)度不同時(shí)，產(chǎn)生的安培力是不相等的，不滿足動(dòng)量守恒的條件，但可以運(yùn)用動(dòng)量定理進(jìn)行求解.關(guān)鍵點(diǎn)是掌握最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是兩棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)大小相等、方向相反.

4 結(jié)束語(yǔ)

電磁感應(yīng)類型問(wèn)題中，線圈或者金屬框會(huì)在安培力作用下做變速直線運(yùn)動(dòng).動(dòng)量觀點(diǎn)是求解電磁感應(yīng)問(wèn)題的有效工具.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師不僅要注重學(xué)生對(duì)概念和規(guī)律的理解，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從已知條件出發(fā)，“預(yù)測(cè)”應(yīng)用各種觀點(diǎn)后所需獲得的信息，以便有效地解決問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陳君.動(dòng)量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2021，50（03）：56-57.

［責(zé)任編輯：李 璟］