依托數(shù)學(xué)文化 滲透面積公式

摘 要：結(jié)合三角術(shù)的發(fā)展歷程所對應(yīng)的“閱讀與思考”板塊，深入研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化，通過三角形面積的海倫公式，滲透與三角形面積相關(guān)的公式與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的融合，引領(lǐng)與指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角形；面積；海倫；秦九韶

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0091-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：牛相如（1987.10—），男，安徽省蒙城人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識的交匯與融合，成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個重要方向.此類涉及數(shù)學(xué)文化的基本考點(diǎn)，以“閱讀與思考”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等板塊設(shè)置，通過教材知識以及課后閱讀材料等形式來展示.合理挖掘高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識的交匯點(diǎn)，剖析其內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深入閱讀、理解、體會、創(chuàng)新，才能正確融入數(shù)學(xué)文化，提升自己的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵與數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造更多的場景與應(yīng)用^［1］.

1 依托閱讀板塊

【閱讀與思考】2019年人教版數(shù)學(xué)必修第2冊

第六章《平面向量及其應(yīng)用》第55頁“閱讀與思考”板塊——海倫和秦九韶.

基于高中數(shù)學(xué)教材“閱讀與思考”欄目的閱讀材料，介紹三角術(shù)的發(fā)展，特別是三角形面積的海倫公式以及秦九韶方法等，拓展三角形面積的應(yīng)用，也給平面幾何、三角形面積等基礎(chǔ)知識和關(guān)鍵能力的進(jìn)一步提升與應(yīng)用創(chuàng)造更加廣闊的空間，創(chuàng)新應(yīng)用場景，備受各方關(guān)注.

2 數(shù)學(xué)文化史話

基于教材中“海倫與秦九韶”的介紹，深入理解三角形面積的海倫公式以及秦九韶方法等，這里著重介紹與大數(shù)學(xué)家秦九韶有關(guān)的一些重要史話.

秦九韶（約1208—約1261），南宋官員、數(shù)學(xué)家，世稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”（與李冶、楊輝、朱世杰三人）之一.字道古，漢族，自稱魯郡（治今山東曲阜）人，生于普州安岳（今屬四川）.其父秦季棲，進(jìn)士出身，官至上部郎中

、秘書少監(jiān)，曾任秘書少監(jiān)兼國史館編修，攜秦九韶從宦，得以閱讀國家館藏書籍.后從隱士學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，史稱秦九韶“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)以及營造等事，無不精究”.秦九韶學(xué)著等身，對數(shù)學(xué)進(jìn)行潛心鉆研并深有體會，最著名的著作是《數(shù)書九章》，其中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn).

秦九韶創(chuàng)造的一些算法，例如多項(xiàng)式求值的算法，現(xiàn)稱秦九韶算法，至今仍是世界上最好的算法之一.秦九韶還創(chuàng)用了“三斜求積術(shù)：三斜求積公式S2=14[a2b2-（a2+b2-c22）2]”等，其實(shí)質(zhì)就是利用已知三角形的三邊長來求解與之相應(yīng)的三角形的面積公式，這與海倫公式“S=p（p-a）（p-b）（p-c）或S2=p（p-a）（p-b）（p-c）（其中2p=a+b+c）”是相吻合的，完全一致.在實(shí)際解題與應(yīng)用過程中，由于海倫公式相對比較簡單，經(jīng)常直接利用海倫公式來分析與處理一些相關(guān)的問題.

同時(shí)，以其名字命名的秦九韶算法，是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個一次式的算法，大大簡化了計(jì)算過程，即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時(shí)，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.

3 面積公式應(yīng)用

3.1 元素最值問題

基于三角形面積的設(shè)置，可以借助海倫公式來處理一些三角形中相關(guān)元素，如邊長等的最值或相關(guān)應(yīng)用問題.

例1 在△ABC中，角A，B，C所對的三邊分別為a，b，c，若c=2b，△ABC的面積為1，則a的最小值為.

解析 依題，結(jié)合三角形面積的海倫公式S2=p（p-a）（p-b）（p-c）=1，其中p=a+b+c2.

整理，得

16=（a+b+c）（-a+b+c）（a-b+c）（a+b-c）

=-（a⁴+b⁴+c⁴）+2（a2b2+b2c2+c2a2）

=-（a⁴+b⁴+16b⁴）+2（a2b2+4b⁴+4a2b2）.

即9b⁴-10a2b2+a⁴+16=0.

而以上關(guān)于b2的一元二次方程的判別式△=（-10a2）2-36（a⁴+16）≥0，解得a2≥3，即a≥3，所以a的最小值為3.

3.2 面積最值問題

基于三角形條件的設(shè)置，可以借助海倫公式來構(gòu)建三角形的面積表達(dá)式，利用表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)面積的最值及其應(yīng)用問題.

例2 在△ABC中，BC=4，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D.若BDDC=13，則△ABC面積的最大值為.

解析 依題，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且BDDC=13.

結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，有

ABAC=cb=13.

即b=3c.

而△ABC的半周長p=12（a+b+c）=2+2c.

結(jié)合基本不等式，由海倫公式有△ABC面積

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=2（c2-1）（4-c2）

≤2×（c2-1）+（4-c2）2=3，

當(dāng)且僅當(dāng)c2-1=4-c2，即c=102時(shí)等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3.

3.3 三角求值問題

基于三角形條件的設(shè)置，可以借助海倫公式來巧妙轉(zhuǎn)化，為三角形中相關(guān)角所對應(yīng)的三角函數(shù)的求值與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

例3 △ABC的邊長分別為a，b，c，已知a+c=4b，求tanA2tanC2.

解析 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓O切△ABC的三邊分別于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，設(shè)BD=BF=x，AD=AE=y，CE=CF=z，設(shè)內(nèi)切圓O的半徑為r，△ABC的半周長p=12（a+b+c）=x+y+z.

由a+c=4b，可得（x+z）+（x+y）=4（y+z）.

整理，得y+z=23x.

而△ABC的面積

S=12（a+b+c）r=（x+y+z）r，

又由海倫公式可得

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=xyz（x+y+z）.

所以（x+y+z）r =xyz（x+y+z）.

則有r2=xyzx+y+z

=xyzx+2x/3=35yz.

所以tanA2tanC2=ry·rz=35.

3.4 綜合應(yīng)用問題

基于三角形的設(shè)置，可以借助海倫公式并合理交匯一些相關(guān)的知識，如平面向量、函數(shù)與方程、數(shù)列與不等式等

來應(yīng)用.

例4 設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1gt;c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（"" ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

解析 不失一般性，不妨設(shè)a1=4，b1=5，c1=3，此時(shí)半周長p1=6，綜合三角形面積的海倫公式可得S1=6（6-4）（6-5）（6-3）=12（4-1）.

接下來有a2=4，b2=72，c2=92，

此時(shí)半周長p2=6，則

S2=6（6-4）（6-72）（6-92）

=12（4-14）.

接下來有a3=4，b3=174，c3=154，

此時(shí)半周長p3=6，則

S3=6（6-4）（6-174）（6-154）

=12（4-116）.

接下來有a4=4，b4=318，c4=338，

此時(shí)半周長p4=6，則

S4=6（6-4）（6-318）（6-338）

=12（4-164）.

歸納可知S1lt;S2lt;S3lt;S4，故選B.

4 結(jié)束語

基于高中數(shù)學(xué)教材中“閱讀與思考”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等板塊，合理進(jìn)行閱讀、理解、探究與應(yīng)用，通過閱讀形式來了解相關(guān)數(shù)學(xué)歷史與史話的來龍去脈，探究數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，對于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)涵與深度學(xué)習(xí)等方面都有幫助.而依托數(shù)學(xué)文化的融入與滲透，給數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新設(shè)置提供更多的應(yīng)用場景，對于提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣與培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面都是十分有益的^[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 武晨陽，黃秦安.從中國古代數(shù)學(xué)文化素材的提煉與運(yùn)用說起[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（09）：7-11.

［責(zé)任編輯：李 璟］