例析數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線習(xí)題

摘 要：圓錐曲線習(xí)題的解答，方法因題而異.其中，數(shù)形結(jié)合法通過“數(shù)”與“形”的相互對照可以簡化運(yùn)算過程，提高運(yùn)算正確率.文章結(jié)合具體例題，展示數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線習(xí)題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線；習(xí)題；解析

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0088-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：陳金華（1981.2—），女，江蘇省南京人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線是平面截取圓錐面形成的曲線，根據(jù)截取角度的不同可以獲得圓、橢圓、雙曲線、拋物線.在高中階段，學(xué)習(xí)圓錐曲線要求從代數(shù)角度進(jìn)行分析、計(jì)算，解決與之相關(guān)的問題，側(cè)重運(yùn)算.事實(shí)上，圓錐曲線本質(zhì)上屬于幾何圖形，從幾何視角出發(fā)，通過數(shù)形結(jié)合解答相關(guān)習(xí)題不失為一種有效的方法.

1 求長度

求線段長度類的圓錐曲線習(xí)題可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合構(gòu)建已知與未知線段之間的聯(lián)系，借助幾何圖形的性質(zhì)、定理等進(jìn)行突破.教學(xué)中，教師可以預(yù)留空白時間由學(xué)生進(jìn)行自主思考，結(jié)合題干描述畫出對應(yīng)的圖形，將題干中的隱含信息直觀地展現(xiàn)出來，避免不必要的計(jì)算，通過靈活應(yīng)用幾何圖形性質(zhì)求出結(jié)果^[1].

1.1 求線段長度

例1 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x23-y2=1的左、右焦點(diǎn).過點(diǎn)F1的直線和雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，若|F2A|=|F2B|，則|F1A|的值為.

解析 由x23-y2=1，易解得a=3，b=1，c=2.

根據(jù)題意過點(diǎn)F2作F2C⊥AB交AB于點(diǎn)C，如圖1所示，因?yàn)閨F2A|=|F2B|，由等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)C為AB的中點(diǎn).

設(shè)|F2A|=|F2B|=t，由雙曲線的定義可得

|F1A|=t-23，|F1B|=t+23.

則|AB|=|F1B|-|F1A|=43.

在Rt△F2CB和△F1BF2中，由余弦定義以及余弦定理可得

cos∠F1BF2=|CB||F2B|=23t=（t+23）2+t2-162t（t+23），

解得t=14.

則|F1A|=t-23=14-23.

1.2 求點(diǎn)到線段的距離

例2 已知拋物線y=14（x-2）2+3的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，若|PF|=5，則點(diǎn)P到x軸的距離為.

解析

將拋物線y=14（x-2）2+3分別向左平移2個單位，向下平移3個單位得到拋物線y=14x2，即x2=4y.

畫出兩個拋物線的圖象，如圖2所示，設(shè)點(diǎn)F，P平移后對應(yīng)的點(diǎn)分別為F′，P′，x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1.

由拋物線的定義可知點(diǎn)P′到x軸的距離為4，由平移可知點(diǎn)P到x軸的距離為4+3=7.

2 求范圍

圓錐曲線習(xí)題中求范圍的習(xí)題類型較多，包括求離心率的范圍、求線段長度的范圍以及求某一表達(dá)式的范圍.解答該類問題，為避免陷入煩瑣的運(yùn)算，提高解題效率，可以通過數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用幾何圖形中的角、邊關(guān)系，建立相等或不等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對問題的順利求解^[2].

2.1 求離心率的范圍

例3 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn).若橢圓上存在不在x軸上的兩點(diǎn)A，B，滿足F1A+F1B=F1F2，sin∠F1AB=2sin∠F2AB，則橢圓離心率e的取值范圍為.

解析

根據(jù)題意畫出如圖3所示的圖形，因?yàn)镕1A+F1B=F1F2，則四邊形AF1BF2為平行四邊形，則∠F2AB=∠F1BA.

又由sin∠F1AB=2sin∠F2AB，

可得sin∠F1AB=2sin∠F1BA.

在△AF1B中，由正弦定理得

|BF1|=2|AF1|=|F2A|.

由橢圓性質(zhì)可得

|AF1|=23a，|AF2|=43a.

又由|AF2|-|AF1|lt;|F1F2|，

即23alt;2c，即e=cagt;13.

則橢圓離心率e的取值范圍為（13，1）.

2.2 求線段長度范圍

例4 拋物線具備重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)發(fā)射后，反射光線平行于對稱軸射出.反射面為拋物線在該點(diǎn)的切線.已知拋物線x2=8y上存在異于原點(diǎn)O的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作拋物線的切線l，過點(diǎn)O作l的平行線交PF于點(diǎn)Q，其中F為拋物線的焦點(diǎn)，則|OQ|的取值范圍為.

解析 如圖3，由已知條件可知m∥y軸，則∠1=∠2.

由OQ∥l，則∠1=∠FQO.

由m∥y軸，OQ∥l，則∠2=∠QQ′P=∠FOQ.

則∠FQO=∠FOQ，|OF|=|FQ|.

又由|OF|=2，則|OF|=|FQ|=2.

在△FOQ中，|OF|-|FQ|＜OQ＜|OF|+|FQ|，

即|OQ|的取值范圍為（0，4）.

3 求值

圓錐曲線中求角度、三角函數(shù)值以及代數(shù)式具體的值統(tǒng)稱為求值問題.解答求值問題的思路多種多樣，需要結(jié)合習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境靈活選取.教學(xué)中，教師需要結(jié)合具體習(xí)題做好通法通解，幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，積累經(jīng)驗(yàn).

3.1 求確定的值

例5 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，A1，A2為左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B，C是雙曲線E上位于第一象限的兩點(diǎn)，A2B∥CF，若|CF|=4a，則tan∠A1BA2=.

解析

設(shè)雙曲線的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F1，由

e=ca=2，易得|F1F|=2c=4a.

由|CF|=4a，則|F1C|=6a.

由余弦定理可得

cos∠CFF1=（4a）2+（4a）2-（6a）22×4a×4a=-18.

則tan∠CFF1=-37.

由A2B∥CF，則tan∠BA2F=37.

設(shè)點(diǎn)B（x0，y0），則tan∠BA1F=y0x0+a，

tan∠BA2F=y0x0-a，

tan∠BA1F×tan∠BA2F=y20x20-a2=b2a2=e2-1=3，

則tan∠BA1F=17，

tan∠A1BA2=tan（∠BA2F-∠BA1F）

=577.3.2 求最值

例6 已知直線l過圓（x-1）2+y2=1的圓心且和圓相交于A，B兩點(diǎn)，P在橢圓x29+y28=1上運(yùn)動，則PA·PB的最大值和最小值之和為.

解析

由（x-1）2+y2=1可知圓的半徑為1，圓心O1（1，0），由題可知O1B=-O1A.又由x29+y28=1可得a=3，c=1，右焦點(diǎn)為（1，0）.

故PA·PB=（PO1+O1A）·（PO1+O1B）

=（PO1+O1A）·（PO1-O1A）

=PO12-O1A2

=|PO1|2-1.

又由a-c≤|PO1|≤a+c，

即2≤|PO1|≤4.

則PA·PB的最大值為

42-1=15，最小值為22-1=3，兩者之和為18.

4 結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線習(xí)題可以簡化計(jì)算，提高解題效率，因此，教學(xué)中教師應(yīng)做好常用幾何知識的梳理與總結(jié)，構(gòu)建系統(tǒng)知識網(wǎng)絡(luò)，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線習(xí)題的意識.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線習(xí)題常用的幾何知識有：平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、三邊關(guān)系、三角形外角定理、正弦定理、余弦定理等，部分習(xí)題還需要運(yùn)用向量的加減運(yùn)算.教學(xué)中教師應(yīng)通過展示運(yùn)用這些幾何知識解答圓錐曲線習(xí)題的過程，使學(xué)生把握運(yùn)用時的相關(guān)細(xì)節(jié)以及注意事項(xiàng).數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)思想也是一種解題方法.教師既要注重通法通解的灌輸，又要引導(dǎo)學(xué)生具體問題具體分析，定期進(jìn)行解題總結(jié)、解題反思，尋找解題的最佳方法，積累應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，提高解題技能.

參考文獻(xiàn)：

［1］聞君.以“圓錐曲線”教學(xué)為例談數(shù)形結(jié)合思想的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（07）：24-25.

[2] 蘇雅雅.數(shù)形結(jié)合解答圓錐曲線難題[J].數(shù)理化解題研究，2023（13）：59-61.

［責(zé)任編輯：李 璟］