“析、尋、驗(yàn)”三步法速解開(kāi)放性填空題

摘 要：文章對(duì)開(kāi)放性填空題進(jìn)行歸類(lèi)解析，并利用分析題干、尋特殊解、代入驗(yàn)證，即“析、尋、驗(yàn)”三步法快速求解這類(lèi)開(kāi)放性填空題.

關(guān)鍵詞：開(kāi)放性填空題；函數(shù)；解析幾何；三角函數(shù)；立體幾何

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0050-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：鄒葵花（1986.8—），女，湖南省婁底人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

開(kāi)放性填空題是指題目的條件或結(jié)論中有一個(gè)或多個(gè)不確定的問(wèn)題.這類(lèi)題目的答案不唯一，在解答時(shí)要看清楚，是要求寫(xiě)出所有的答案還是只要求寫(xiě)出一個(gè)答案.解決此類(lèi)問(wèn)題的三步法如下：

分析題干：觀察題目所給的已知信息中所考查的知識(shí)模塊，聯(lián)想對(duì)應(yīng)的題目模型.

尋特殊解：在閱讀理解的基礎(chǔ)上，及時(shí)捕捉和利用題目中所給的信息，結(jié)合原有知識(shí)做出判斷、推理、概括、運(yùn)算和表達(dá).可以從特殊的情況出發(fā)，猜想使結(jié)論成立的特殊條件，或者滿(mǎn)足條件的特殊結(jié)論，利用特殊代替一般.

代入驗(yàn)證：將特殊的情況代入題目中，若滿(mǎn)足題意，則可以直接下結(jié)論，否則，調(diào)整特殊的情況，直到滿(mǎn)足題意.

1 與函數(shù)有關(guān)的開(kāi)放性題

例1^[1] 已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2，寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的f（x）：.

①在［1，+∞）上單調(diào)遞減；

②曲線y=f（x）（x≥1）存在斜率為-1的切線.

解析 （1）“析”——分析題干：

函數(shù)f（x）=-x3+ax2在［1，+∞）上單調(diào)遞減f ′（x）≤0在［1，+∞）上恒成立；

曲線y=f（x）（x≥1）存在斜率為-1的切線存在x（x≥1）使得f ′（x）=-1.

（2）“尋”——尋特殊解：

直接研究f ′（1）=-1的特殊情況.

令f ′（1）=-1，得-3+2a=-1，此時(shí)a=1.

（3）“驗(yàn)”——代入驗(yàn)證：

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x3+x2，滿(mǎn)足條件①.

答案：f（x）=-x3+x2.

點(diǎn)評(píng) 本題也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值進(jìn)行求解：

由題可知f ′（x）=-3x2+2ax≤0對(duì)x∈［1，+∞）恒成立，即a≤（32x）min（x≥1），即a≤32.

又f ′（x）=-3x2+2ax=-1在［1，+∞）上有解，即a=3x2-12x在［1，+∞）上有解.

由函數(shù)的單調(diào)性可得3x2-12x≥1，所以1≤a≤32，據(jù)此填寫(xiě)合適的解析式即可.

2 與解析幾何有關(guān)的開(kāi)放性題

例2 直線l與圓G：（x-4）2+（y+1）2=4和橢圓E：x24+y2=1同時(shí)相切，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的l的方程：.

解析 （1）“析”——分析題干：作出圓G和橢圓E的圖象，如圖1所示.

（2）“尋”——尋特殊解：

由圖1可直觀得到，直線x=2和y=1均與圓G：（x-4）2+（y+1）2=4和橢圓E：x24+y2=1同時(shí)相切.

（3）“驗(yàn)”——代入驗(yàn)證：不需要驗(yàn)證，

所以直線l的方程可以為x=2或y=1（只填寫(xiě)一個(gè)即可）.

點(diǎn)評(píng) 除了上述兩條公切線，還有沒(méi)有其他的公切線呢？我們利用待定系數(shù)法設(shè)出公切線方程，根據(jù)圓心（4，-1）到其的距離為2、其與橢圓方程聯(lián)立后得到的一元二次方程判別式為0列方程組，解出參數(shù)即可得到其他的公切線.

3 與三角函數(shù)有關(guān)的開(kāi)放性題

例3^[2] 已知函數(shù)f（x）=3cos（ωx+φ）（ωgt;0），若f（-π4）=3，f（π2）=0，且f（x）在區(qū)間（-π3，-π6）上沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的一個(gè)取值為.

解析 （1）“析”——分析題干：

由題意，在f（x）=3cos（ωx+φ）（ωgt;0）中，

f（-π4）=3，f（π2）=0，

所以3cos（-π4ω+φ）=3，

3cos（π2ω+φ）=0.

所以-π4ω+φ=2k1π，π2ω+φ=k2π+π2， k1，k2∈Z.

兩式相減，得3π4ω=（k2-2k1）π+π2.

所以ω=4n3+23，n∈Z.

（2）“尋”——尋特殊解：

當(dāng)n=1時(shí)，ω=2.

（3）“驗(yàn)”——代入驗(yàn)證：

因?yàn)閤∈（-π3，-π6），ωgt;0，

所以ωx+φ∈（-π3ω+φ，-π6ω+φ） .

令ωx+φ=t， t∈（-π3ω+φ，-π6ω+φ），

由題意知y=3cost在t∈（-π3ω+φ，-π6ω+φ）上無(wú)零點(diǎn).

故（-π3ω+φ，-π6ω+φ）（-π2+kπ，π2+kπ），k∈Z.

所以-π3ω+φ≥-π2+kπ，-π6ω+φ≤π2+kπ.

即-π3ω+φ≥-π2+kπ，π6ω-φ≥-π2-kπ.

兩式相加，得-π6ω≥-π.

所以0lt;ω≤6.

又ω=4n3+23，所以當(dāng)n=0時(shí)，ω=23；當(dāng)n=1時(shí)，ω=2；當(dāng)n=2時(shí)，ω=103；

當(dāng)n=3時(shí)，ω=143；當(dāng)n=4時(shí)，ω=6，所以ω的取值有5個(gè)，取其中一個(gè)填寫(xiě)即可.

答案：2（答案不唯一）.

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是利用其在（-π3，-π6）上無(wú)零點(diǎn)，從而得到-π3ω+φ≥-π2+kπ，-π6ω+φ≤π2+kπ，解出0lt;ω≤6，再根據(jù)題目所給條件代入得到ω=4n3+23，賦值即可.

開(kāi)放性題目的結(jié)論不是事先給定的，有些問(wèn)題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過(guò)程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建.

4 與立體幾何有關(guān)的開(kāi)放性題

例4^[3] 如圖2，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，側(cè)面ABB′A′為正方形，側(cè)面BCC′B′為菱形，B′C=BC=2，E，F(xiàn)分別為棱DD′及CD的中點(diǎn)，在側(cè)面CDD′C′內(nèi)（包括邊界）找到一個(gè)點(diǎn)P，使三棱錐P-BEF與三棱錐B′-BEF的體積相等，則點(diǎn)P可以是（答案不唯一）.

解析 如圖3所示，取棱C′D′及CC′的中點(diǎn)M，N，連接MN，B′N(xiāo)，B′M，CD′，MF.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱DD′及CD的中點(diǎn)，所以MN∥CD′，EF∥CD′.則MN∥EF.

又MF∥CC′且MF=CC′，BB′∥CC′且BB′=CC′，所以MF∥BB′且MF=BB′.

所以四邊形MFBB′為平行四邊形.

所以BF∥MB′.

又MN平面BEF，EF平面BEF，

所以MN∥平面BEF.

同理可得B′M∥平面BEF.

又B′M∩MN=M，B′M，MN平面B′MN，

所以平面B′MN ∥平面BEF.

又點(diǎn)P在側(cè)面CDD′C′內(nèi)（包括邊界），且三棱錐P-BEF與三棱錐B′-BEF的體積相等，

當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)，點(diǎn)P到平面BEF的距離與點(diǎn)B′到平面BEF的距離相等，此時(shí)三棱錐P-BEF與三棱錐B′-BEF的體積相等，所以點(diǎn)P在線段MN上，即點(diǎn)P在C′D′與CC′的中點(diǎn)的連線段上.

答案：C′D′的中點(diǎn)（答案不唯一，點(diǎn)P在C′D′與CC′的中點(diǎn)的連線段上即可）.

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是證明平面B′MN∥平面BEF，從而可得到點(diǎn)P在線段MN上.

5 結(jié)束語(yǔ)

開(kāi)放性填空題的答案一般是不唯一的，解題時(shí)，可按照“析、尋、驗(yàn)”三步法來(lái)進(jìn)行.對(duì)于高考的填空題，考生的任務(wù)就是在有限的時(shí)間內(nèi)算出正確的答案即可，所以可選擇的方法較多，分析題干之后，尋找答案的過(guò)程最為關(guān)鍵.作為教師，不僅要關(guān)心學(xué)生所填答案是否正確，更要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，即學(xué)生遇到此類(lèi)問(wèn)題是如何思考的、是如何解決的.這樣，所獲得的經(jīng)驗(yàn)可以更好地服務(wù)于教師的解題教學(xué)以及學(xué)生的備考復(fù)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］李鴻昌，劉開(kāi)明，陳曉.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型：二輪強(qiáng)化訓(xùn)練[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2024.

[2] 李鴻昌.2024屆高考數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）模擬卷[J].數(shù)理化解題研究，2024（16）：98-101.

[3] 李鴻昌.2024年全國(guó)高考（新高考Ⅰ卷）數(shù)學(xué)模擬卷[J].數(shù)理化解題研究，2024（10）：95-99.

［責(zé)任編輯：李 璟］