數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在新高考中的應(yīng)用

摘 要：從2020年新高考以來(lái)，有多道試題涉及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì).文章將介紹數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)在高考試題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；高考；隨機(jī)變量

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0100-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：陳騰（1991.3—），男，江西省高安人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征是高考的?？純?nèi)容，此類(lèi)試題閱讀量大，計(jì)算量大，知識(shí)綜合.在考試時(shí)要仔細(xì)分析題意，確保計(jì)算正確，特別是分布列不能出錯(cuò)，因?yàn)檫@是其他數(shù)據(jù)正確的前提.本文給出一個(gè)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，結(jié)合近年的高考真題，探討該性質(zhì)在解決數(shù)學(xué)期望相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 數(shù)學(xué)期望

若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P（X=xi）=

Pi，i=1，2，…，n，其中pi≥0，i=1，2，…，n，且∑ni-1pi=1，則稱(chēng)E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑ni-1xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.

線性性質(zhì)：設(shè)X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

E（X+Y）=E（X）+E（Y）^［1］.

可推廣為E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）.

2 試題分析

原題1 某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序

無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

解析 （1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，則X的取值可能為100，20，0.因?yàn)楦黝}互相獨(dú)立，所以P（X=100）=0.8×0.6=

0.48，P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32，P（X=0）=

1-0.8=0.2，故隨機(jī)變量X的分布列見(jiàn)表1：

則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=100×0.48+20×

0.32+0×0.2=54.4.

（2）若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的取值可能為100，80，0.因?yàn)楦黝}互相獨(dú)立，所以P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，P（Y=80）=0.2×0.6=0.12，P（Y=0）=1-0.6=0.4，故隨機(jī)變量Y的分布列見(jiàn)表2：

則Y的數(shù)學(xué)期望為E（Y）=100×0.48+80×0.12+0×0.4=57.6.

結(jié)合（1）知E（Y）gt;E（X），所以小明應(yīng)先選B類(lèi)問(wèn)題作答.

評(píng)注 標(biāo)準(zhǔn)答案是根據(jù)期望的定義來(lái)解答，若用數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)求E（Y），解法如下：若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，其回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題得分的期望E（Y1）=

0.6×80=48，回答A類(lèi)問(wèn)題得分的期望

E（Y2）=0.6×0.8×20=9.6，所以E（Y）=E（Y1）+E（Y2）=57.6.

原題2 在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50 m以上（含9.50 m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）.

解析 設(shè)甲獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A1，乙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A2，丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A3，

P（X=0）=P（A1A2A3）=0.6×0.5×0.5=320，

P（X=1）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=820，

P（X=2）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=720，

P（X=3）=P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5=220.

故隨機(jī)變量X的分布列見(jiàn)表3：

評(píng)注 用數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)解法如下：由頻率估計(jì)概率可得，甲獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為0.5，所以甲獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的期望E（X1）=0.4，乙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的期望E（X2）=0.5，丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的期望E（X3）=0.5，所以E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）=1.4.

原題3 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

解析 因?yàn)閝i=16×（25）^i-1+13，i=1，2，…，n，

所以當(dāng)n∈N*時(shí)，E（Y）=q1+q2+…+qn=

16×1-（

2/5）n1-2/5+n3=518［1-（25）n］+n3，

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

評(píng)注 本題中的已知條件就是數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)的一種特殊形式：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=∑ni=1qi.

原題4 （2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

解析 由于對(duì)稱(chēng)性，不妨固定乙四輪選卡的數(shù)字依次為（2，4，6，8），則n（Ω）=A44=24.

記事件A=“四輪比賽后，甲的總得分不小于2分”，則A={（1，5，7，3），（3，1，7，5），（3，5，1，7），（3，5，7，1）（3，7，1，5），（3，7，5，1），（5，1，7，3），（5，3，7，1），（5，7，1，3），（5，7，3，1），（7，5，1，3），（7，5，3，1），所以P（A）=1224=12.

評(píng)注 本題若應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)解題，可避免繁雜的列舉法，思維獨(dú)特，也是一種妙解.具體解法如下：設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1，X2，X3，X4，四輪的總得分為X.對(duì)于任意一輪，甲、乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率P（Xk=1）=64×4=38，所以E（Xk）=38（k=1，2，3，4）.從而E（X）=E（X1+X2+X3+X4）=∑4k=1E（Xk）=∑4k=138=32.

記pk=P（X=k）（k=0，1，2，3）.

若甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出2，4，6，8，所以p0=1A44=124.

若甲得3分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，2，4，6，所以p3=1A44=124.

而X的所有可能取值是0，1，2，3，即p0+p1+p2+p3=1，p1+2p2+3p3=E（X）=32.

所以p1+p2+112=1，p1+2p2+18=32，兩式相減得p2+124=12，則p2+p3=12.

故甲的總得分不小于2的概率為p2+p3=12.

3 結(jié)束語(yǔ)

研究高考真題，不僅僅是提升教師專(zhuān)業(yè)能力、形成教師個(gè)人解題成果的過(guò)程，更是學(xué)生探索解題思路、主動(dòng)思考的過(guò)程.在備考學(xué)習(xí)中要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)解題方法的歸納與總結(jié)，從高考真題的研究和反思中掌握高考的變化趨勢(shì)和命題規(guī)律，舉一反三，提升備考效率.數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)雖然在高中課本中并沒(méi)有涉及，但由以上例子我們可以看出，數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)在高考中頻繁應(yīng)用.數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)可以幫我們簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，甚至可以提供一條解題捷徑，同時(shí)該性質(zhì)也可以用來(lái)快速驗(yàn)證用定義法解出的答案是否正確.

參考文獻(xiàn)：

［1］鄧啟龍.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的一些性質(zhì)[J].高中數(shù)理化，2023（01）：48-50.

［責(zé)任編輯：李 璟］