淺析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要：構(gòu)造法的學(xué)習(xí)有利于高中生思維的發(fā)展、知識體系的建構(gòu)、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的提升.文章以近兩年全國甲卷高考試題為例，對構(gòu)造法的應(yīng)用進行研究.

關(guān)鍵詞：高中課標(biāo)；數(shù)學(xué)構(gòu)造法；解題應(yīng)用

中圖分類號：G632"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0059-04

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：肖晰（2000.12—），女，陜西省漢中人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

巴桑卓瑪（1973.9—），女，西藏自治區(qū)日喀則人，教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

西繞拉姆（1998.8—），女，西藏自治區(qū)昌都人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多已被攻克的數(shù)學(xué)難題都是運用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解決的，比如歐拉的“七橋問題”，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，以及其他一些重要的問題.由此可以看出，數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展是建立在數(shù)學(xué)構(gòu)造之上的.如今，在中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法不但關(guān)系著學(xué)生問題解決能力的高低，還影響著學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高.中國著名數(shù)學(xué)家吳文俊院士作為一名數(shù)學(xué)教育家曾指出：隨著科技的飛速發(fā)展，構(gòu)造化數(shù)學(xué)必將在未來獲得新的發(fā)展，并逐漸成為主流^[1].

在解決數(shù)學(xué)問題時，可以通過構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造向量、構(gòu)造圖形等方法，建立數(shù)學(xué)模型進行解題，從而得到結(jié)果，最終達到有效解決問題的目的.

1 數(shù)學(xué)構(gòu)造法的種類

構(gòu)造法就是在按照常規(guī)解法無法解答時，根據(jù)題目已知信息，借助其他方式，例如函數(shù)、圖形、數(shù)列等方法將問題進行轉(zhuǎn)化，進而將問題解決.

它分為以下兩種：一是直接構(gòu)造法，指在解決問題時，可直接列舉出滿足條件的數(shù)學(xué)對象或者反例來確定問題中結(jié)論的肯定及否定，并以此來解決這個問題^[2]，它主要是用來證明存在性命題^[3]；二是間接構(gòu)造法，在解決一些很難通過條件推導(dǎo)出結(jié)論的問題

時，我們可以對原問題中的題設(shè)條件、結(jié)論及數(shù)量關(guān)系，進行認真仔細的觀察、綜合、類比、分析、聯(lián)想及推廣，尋找出問題中條件及結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)以及其隱含的條件，對原問題進行轉(zhuǎn)換，構(gòu)造出一種與原問題緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)對象，進而轉(zhuǎn)換解題思維，得到正確解題的思路，最后得以求解^[4].

構(gòu)造法根據(jù)所構(gòu)造對象的不同，可分為構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造向量、構(gòu)造圖形等，這些數(shù)學(xué)對象是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主要部分，其應(yīng)用也十分廣泛.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”是必修科目和選修科目中最常出現(xiàn)的兩個知識點.因此，本文以近兩年全國高考數(shù)學(xué)甲卷為例，對“幾何與代數(shù)”“函數(shù)”兩大命題進行了剖析，讓學(xué)生能了解到數(shù)學(xué)構(gòu)造法對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，從而引起他們對運用構(gòu)造法解題的興趣，提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

1.1 幾何與代數(shù)

例1 向量|a|=|b|=1，|c|=2，且a+b+

c=0，則coslt;a-c，b-cgt;=.

分析 這道題的考點是平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，需要根據(jù)已知信息構(gòu)造平面圖形，依次得出平面的向量積，最后根據(jù)平面圖形的幾何意義進行求解.

解析 因為a+b+c=0，所以a+b=-c.

則a+b+2ab=c2.即1+1+2ab=2.

所以a·b=0.

如圖1，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，

由題知，OA=OB=1，OC=2，△OAB是等腰直角三角形，AB邊上的高OD=22，AD=22.

所以CD=CO+OD=2+22=322，

tan∠ACD=ADCD=13，

cos∠ACD=310.

所以coslt;a-c，b-cgt;=cos∠ACB=

cos2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×（310）2-1

=45.

例2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，點M（1，32）在橢圓C上，且MF⊥x軸.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P（4，0）的直線與橢圓C交于點A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB與MF交與點Q，證明：AQ⊥y軸.

分析 第（1）問根據(jù)焦點公式代入求解.第（2）問構(gòu)造直線NB方程，根據(jù)兩點之和與兩點乘積求解，得出兩點縱坐標(biāo)之差為0，得到AQ⊥y軸.

解析 （1）設(shè)橢圓C的左焦點為F1，則|F1F|=2，|MF|=32.

因為MF⊥x軸，

所以|MF1|=52，2a=|MF1|+|MF|=4.

解得a2=4，b2=a2-1=3.

故橢圓C的方程為x24+y23=1.

（2）由題意和函數(shù)方程可得P（4，0），F(xiàn)（1，0），N（52，0）.

設(shè)AB：x=my+4，由x=my+4，3x2+4y2-12=0，

得（3m2+4）y2+24my+36=0.

因為△=（24m）2-144（3m2+4）gt;0，

所以mgt;2或mlt;-2.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4.

因為N，Q（1，yQ），B三點共線.

所以yQ=-3y2/2x2-5/2.

所以yQ-y1=

-3y2/2x2-5/2-y1

=-3（y1+y2）/2-my1y2x2-5/2

=36m/（3m2+4）-36m/（3m2+4）x2-5/2=0.

所以y2=y1.

所以AQ⊥y軸.

1.2 函數(shù)

例3 設(shè)x，y滿足約束條件-2x+3y≤3，3x-2y≤3，x+y≥1，設(shè)z=3x+2y，則z的最大值為.

分析 已知三個約束條件，我們需要根據(jù)約束條件得到x，y所滿足的可行域，根據(jù)可行域得出z的最大值.即需要構(gòu)造出每一個約束條件相對應(yīng)的圖形，進而根據(jù)線性規(guī)劃求最值.

解析 作出可行域，如圖2所示.圖2 函數(shù)可行域

由圖2可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-32x+z2過點A時，z有最大值.

由-2x+3y=3，3x-2y=3，可得x=3，y=3.即A（3，3）.

所以zmax=3×3+2×3=15.

例4 已知函數(shù)f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x.

（1）當(dāng)a=-2時，求f（x）的極值；

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析 第（1）問，代入a=-2，根據(jù)公式求解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f ′（x），根據(jù)函數(shù)值求極值點；第（2）問，先求出f（x）的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得出a的大概取值范圍，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)范圍，進一步確定a的取值范圍.

解析 （1）當(dāng)a=-2時，

f（x）=（1+2x）ln（1+x）-x，

f ′（x）=2ln（1+x）+1+2x1+x-1

=2ln（1+x）-1x+1+1.

設(shè)g（x）=f ′（x）=2ln（1+x）-1x+1+1，

則g′（x）=2x+1+1（x+1）2gt;0.

所以g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，即f ′（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f ′（x）=0.

所以當(dāng)x∈（-1，0）時，f ′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（0，+∞）時，f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，

所以x=0為f（x）的極小值點，f （x）極小值=f（0）=0，無極大值.

（2）f ′（x）=-aln（1+x）+1-axx+1-1，

則f ″（x）=-ax+1+-a-1（x+1）2=-ax-（2a+1）（x+1）2.

①當(dāng)a≤-12時，f" ″（x）≥0，

所以f ′（x）在［0，+∞）單調(diào)遞增.

所以f ′（x）≥f ′（0）=0.

所以f（x）在［0，+∞）單調(diào)遞增.

所以f（x）≥f（0）=0，符合題意.

②當(dāng)-12lt;alt;0時，令f ″（x）=0，x=-2a-1a.

當(dāng)x∈（0，-2a-1a）時，f ″（x）lt;0，f ′（x）在（0，-2a-1a）單調(diào)遞減，

所以x∈（0，-2a-1a）時，

f ′（x）≤f ′（0）=0，所以f（x）在（0，-2a-1a）上單調(diào)遞減，所以

f（x）≤f（0）=0，不符合題意.

③當(dāng)a≥0時，f ″（x）lt;0，f ′（x）單調(diào)遞減，

f ′（x）≤f ′（0）=0，即f（x）單調(diào)遞減，f（x）≤f（0）=0，不符合題意.

綜上，a∈（-∞，-12］.

2 教學(xué)建議

“師者，所以傳道、受業(yè)、解惑也”，意味著教師起著傳授知識、培養(yǎng)學(xué)生興趣、幫助他們解決困惑的作用，教師的教學(xué)對學(xué)生的學(xué)習(xí)有直接的影響^[5].因此，對于教師如何教授學(xué)生使用構(gòu)造法進行解題，筆者有以下幾方面的建議.

2.1 扎實學(xué)科素養(yǎng)

教師的教學(xué)離不開自身扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識.因此，教師在教學(xué)過程中，只有不斷完善自身條件，才能夠更好地教授學(xué)生如何去學(xué)習(xí).只有教師借助扎實的學(xué)科知識運用構(gòu)造法解題，才能讓學(xué)生明白，牢固的學(xué)科基礎(chǔ)知識是構(gòu)造法解題的奠基石.

除此之外，教師應(yīng)擁有良好的教育習(xí)慣，樹立正確的教育理念，全面提升自身素質(zhì).正確的學(xué)生觀意味著一切以學(xué)生的發(fā)展為前提，學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，也是學(xué)習(xí)的建設(shè)者^[6].科學(xué)的教學(xué)理念與學(xué)生觀念是互補的，只有把兩者相結(jié)合，才能使教育與學(xué)習(xí)得以長久地發(fā)展.

2.2 培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣

首先，教師堅持培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和構(gòu)造性的思維能力是十分必要的，從更高的抽象層次進行探究，將極大地擴展學(xué)生的思維水平.

其次，要促使學(xué)生養(yǎng)成“獨立解決問題”的習(xí)慣，并引導(dǎo)他們積極地去探索解決問題，進而學(xué)習(xí)到新知識，達到充實自己的目的.因此，教師不但要教授學(xué)生基本的數(shù)學(xué)文化基礎(chǔ)知識，還應(yīng)該幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，指引他們?nèi)プ晕覍W(xué)習(xí)、探索學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí).

最后，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要牢記數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，還要學(xué)會靈活變通，能夠把各部分的內(nèi)容連接起來.因此，這就需要教師對新課程或解題課程進行階段性的訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立知識思維導(dǎo)圖，積累并且存儲數(shù)學(xué)知識.

2.3 善于反思和總結(jié)

自我反思就是教師通過自我檢查以及監(jiān)督獲得正確的反饋信息，從而彌補自身教學(xué)能力的不足，達到提高教學(xué)質(zhì)量的目的.教師在提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的同時，還要促使學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)狀況進行及時的反思與總結(jié)，并通過鼓勵學(xué)生，增強他們的自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)他們的學(xué)習(xí)目的.

3 結(jié)束語

本文結(jié)合具體的解題案例展開敘述，強調(diào)了在運用構(gòu)造法解題的過程中，根據(jù)題目已知條件，梳理解題思路，根據(jù)求解所缺失的條件構(gòu)建模型，找到求解所需要的條件，最后再依據(jù)解題思路，進行一系列的計算演繹，進而達到求解的目的.學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開教師的幫助，這就需要教師在平常授課時，將各類知識點結(jié)合起來，讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識思維導(dǎo)圖并不斷拓展，在解題時能快速構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，達到運用構(gòu)造法進行解題的目的.

參考文獻：

［1］ 古巖燕. 高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的教學(xué)研究［D］.新鄉(xiāng)：河南師范大學(xué)，2013.

［2］ 劉良華. 數(shù)學(xué)構(gòu)造思想方法的探索與實踐［D］.武漢：華中師范大學(xué)，2004.

［3］ 李名德， 李勝宏. 高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（一試）［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社， 2018.

［4］ 孫云發(fā).例談數(shù)學(xué)解題中的構(gòu)造法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（27）：34-37.

［5］ 孫利萍.“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（04）：84-86.

［6］ 張傳鵬.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的構(gòu)造法解題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（04）：30-32.

［責(zé)任編輯：李 璟］