借助教材資源 促進(jìn)深度理解

摘 要：文章對(duì)一道人教A版新教材探究題進(jìn)行研究，揭示題目編寫(xiě)的高等數(shù)學(xué)背景，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行了拓展.引導(dǎo)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)涵，整體建構(gòu)函數(shù)主線知識(shí)體系，感悟無(wú)限逼近的基本思想，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、廣闊性和靈活性，實(shí)現(xiàn)教材習(xí)題價(jià)值的最大化.

關(guān)鍵詞：泰勒公式；函數(shù)擬合；近似計(jì)算；巴塞爾問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0024-05

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：張志剛（1983.6—），男，山東省泰安人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

深度學(xué)習(xí)是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)，具有注重批判理解、強(qiáng)調(diào)內(nèi)容整合、促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)、著意遷移運(yùn)用等特征.深度學(xué)習(xí)不僅需要學(xué)生積極主動(dòng)地參與，還需要教師通過(guò)確立高階思維發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)，整合意義連接的學(xué)習(xí)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)情景^［1］.深度理解作為深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在認(rèn)識(shí)論上強(qiáng)調(diào)知識(shí)本質(zhì)的社會(huì)規(guī)律性、知識(shí)存在的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)性、知識(shí)獲得的主題參與性.以關(guān)聯(lián)為基礎(chǔ)、以學(xué)科核心思維為依據(jù)的問(wèn)題鏈教學(xué)，利用問(wèn)題將學(xué)習(xí)者帶入具有思考性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在問(wèn)題解決的過(guò)程中建構(gòu)新知識(shí)、建立概念間豐富的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，從而有利于學(xué)習(xí)者深度理解的形成^［2］.

1 題目呈現(xiàn)

《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》（人民教育出版社A版2019年6月第1版）第256頁(yè)第26題.

英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

sinx=x-x33！+x55！-x77！+…，

cosx=1-x22！+x44！-x66！+…，

其中n！=1×2×3×4×…×n.

這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3，就得到cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.

試用你的計(jì)算工具計(jì)算cos0.3，并與上述結(jié)果比較.

本題是三角函數(shù)的近似計(jì)算探究問(wèn)題，從題目形式上有較大的創(chuàng)新，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作運(yùn)算、比較辨析、直觀感知、理論證明等思維活動(dòng)，初步學(xué)習(xí)函數(shù)擬合和近似計(jì)算的內(nèi)容，從中體會(huì)無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，契合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的教材習(xí)題編排“應(yīng)突出整體性，要提高習(xí)題的有效性”“應(yīng)開(kāi)發(fā)一些具有應(yīng)用性、開(kāi)放性、探究性的問(wèn)題”的要求^[3].

2 題目解答

計(jì)算工具是從事計(jì)算所使用的器具或輔助計(jì)算的實(shí)物.學(xué)生可使用科學(xué)型計(jì)算器、現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)（即電腦）等工具進(jìn)行計(jì)算.

解法1 依題意，用前5項(xiàng)計(jì)算，即cos0.3≈1-0.322！+0.344！-0.366！+0.388！≈1-0.045+0.000 337 5-

0.000 001 012 5+0.000 000 001 63≈0.955 336 48.

又由科學(xué)型計(jì)算器得：cos0.3=0.955 336 489.與用前三項(xiàng)計(jì)算的結(jié)果比較可知，用前5項(xiàng)計(jì)算的

結(jié)果精確度更高，可見(jiàn)，當(dāng)取的項(xiàng)數(shù)足夠多時(shí)，可以達(dá)到更高的精確度，甚至達(dá)到任意精確度的要求.

解法2 用Windows系統(tǒng)自帶的計(jì)算器計(jì)算cos0.3，得cos0.3≈0.955 336 489 12，可以看到用前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3，就可以確保顯示值精確到小數(shù)點(diǎn)后5位.

3 題目背景

本題用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，進(jìn)行近似計(jì)算，題目編制的高等數(shù)學(xué)背景是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的泰勒（Taylor）公式.

若函數(shù)f（x）在x0處存在直到n階導(dǎo)數(shù)，則有f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2?。▁-x0）2+…+f^（n）（x0）n?。▁-x0）n+ο（（x-x0）n），此式稱(chēng)為f（x）在x0處的泰勒公式.其中f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f^（n）（x0）n?。▁-x0）n稱(chēng)為f（x）在x0處的泰勒多項(xiàng)式，記為T(mén)n（x）.所以f（x）=

Tn（x）+ο（（x-x0）n）.實(shí)際應(yīng)用較多的是泰勒公式當(dāng)x0=0時(shí)的特殊情形：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f ″（0）2！x2+…+f^（n）（0）n！xn+ο（xn），它也稱(chēng)為麥克勞林（Maclaurin）公式.

用多項(xiàng)式逼近函數(shù)是近似計(jì)算和理論分析的一個(gè)重要內(nèi)容^[4].學(xué)生在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”一節(jié)已學(xué)習(xí)了切線擬合——用曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替此點(diǎn)附近的曲線，其中蘊(yùn)含了以直代曲的數(shù)學(xué)思想.例如，函數(shù)y=sinx在點(diǎn)（0，f（0））附近的圖象可用切線y=x擬合.然而，切線擬合在很多場(chǎng)合中并不能滿足精確度要求，需用二次或高于二次的多項(xiàng)式逼近.切線擬合啟發(fā)我們：既然用一階導(dǎo)數(shù)逼近就可在切點(diǎn)附近達(dá)到一定的精度，那么多次求導(dǎo)，讓擬合函數(shù)在某點(diǎn)處的任意階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的同階導(dǎo)數(shù)相等，應(yīng)會(huì)提高精確度.這正是泰勒公式的核心思想：先把函數(shù)轉(zhuǎn)換（改寫(xiě)）為多項(xiàng)式形式，其中多項(xiàng)式的系數(shù)可求導(dǎo)得到，然后用多項(xiàng)式擬合函數(shù)，其誤差是關(guān)于（x-x0）n的高階無(wú)窮小量.如，由麥克勞林公式得sinx= x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！，如圖1所示，多項(xiàng)式取到三次時(shí)就和真值比較接近了.當(dāng)取的項(xiàng)數(shù)足夠多時(shí)，可以達(dá)到更高的精確度，甚至達(dá)到任意精確度的要求.例如，sin3≈3-92+8140=2140.

再如，由麥克勞林公式得cosx=1-x22！+x44！-

x66！+x88！+…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+ο（x²ⁿ⁺¹），如圖2所示，多項(xiàng)式取到四次時(shí)就和真值比較接近了.由此可得

cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.當(dāng)然，取的項(xiàng)數(shù)越多，近似精度就越高.

此外，將麥克勞林展開(kāi)式sinx=x-x33！+x55！-

x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！中的高次項(xiàng)舍棄，保留前部分就得到一些常用的不等式，即泰勒放縮.例如，保留展開(kāi)式的前一項(xiàng)得sinxlt;x，保留前兩項(xiàng)得sinxgt;x-x36.

常用的麥克勞林公式還有：

（1）ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；

（2）ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn）；

（3）（x+1）α=1+αx+α（α-1）x22！+…+α（α-1）…（α-n+1）xnn！+ο（xn）；

（4）tanx=x+x33+2x515+…+ο（x²ⁿ）.

同理，通過(guò)截取麥克勞林公式的片段，就得到更

多的不等式.例如，ex≥1+x；ln（x+1）≤x；x+1≤1+x2；cosx≥1-x22；tanx≥x+x33（x≥0），它們成為高中數(shù)學(xué)中不等式放縮的理論依據(jù)和重要途徑.

4 拓展應(yīng)用

以泰勒公式為科學(xué)背景命制的試題頻頻出現(xiàn)于教材、高考題和模擬題中，通過(guò)近似計(jì)算、比較大小、證明不等式恒成立等問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

4.1 近似計(jì)算

例1 （1）求對(duì)數(shù)曲線y=lnx過(guò)點(diǎn)（1，0）的切線方程，并畫(huà)出對(duì)數(shù)曲線和所求切線的圖象.

（2）觀察（1）中的圖象，你會(huì)發(fā)現(xiàn)切線y=x-1在切點(diǎn)（1，0）附近非常接近曲線，也就是說(shuō)，當(dāng)|x-1|趨近于0時(shí)，我們有近似公式，試用此近似公式計(jì)算ln1.000 1以及l(fā)g1.000 1的近似值.

解析 （1）y=lnx，y′=1x，則y=lnx在點(diǎn)（1，0）的切線斜率是1，故切線是y=x-1，如圖3.

（2）觀察（1）中的圖象，會(huì)發(fā)現(xiàn)切線y=x-1在切點(diǎn)附近非常接近曲線，也就是說(shuō)，當(dāng)|x-1|趨近于0時(shí)，我們有近似公式lnx≈x-1，則

ln1.000 1≈1.000 1-1=0.000 1，

lg1.000 1=ln1.000 1ln10≈0.000 043 43.

點(diǎn)評(píng) 本例選自《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》（湖南教育出版社2019年11月第1版）第49頁(yè)第22題.由泰勒公式得，ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn），保留展開(kāi)式的前一項(xiàng)得：ln（x+1）≈x，將x換成x-1即得lnx≈x-1.可見(jiàn)，本題的編寫(xiě)背景也是泰勒公式.同理，由泰勒公式得，ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），當(dāng)|x-0|趨近于0時(shí)，有ex≈1+x.如圖3所示.本題是切線擬合，函數(shù)擬合效果是有限的.若增加泰勒展開(kāi)式中的項(xiàng)數(shù)，例如用函數(shù)y=1+x+x22擬合曲線y=ex，精確度會(huì)相應(yīng)提高.4.2 證明恒等式

例2 已知函數(shù)f（x）=xe^-x·lna，g（x）=sinx.

英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：cosx=

∑∞n=0（-1）nx²ⁿ（2n）！=

1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.現(xiàn)已知g（x）x=（1-xπ）（1+xπ）（1-x2π）（1+x2π）（1-x3π）（1+x3π）…（1-xnπ）（1+xnπ）…，利用上述知識(shí)，試求∑∞n=11n2的值.

解析 依題意，得sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］·［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，①

由于cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），

等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，

-sinx=-x+x33！-x55！+…+（-1）nx^2n-1（2n-1）！+…，

故sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+….

進(jìn)而sinxx=1-x23！+x45！-x67！+…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，②

由于①②式中x2的系數(shù)相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…）.

即有∑∞n=11n2=π26.

評(píng)注 本題要求精確計(jì)算全體自然數(shù)平方的倒數(shù)和，即∑∞n=11n2=limn→+∞（112+122+…+1n2）.該問(wèn)題首先由意大利數(shù)學(xué)家皮耶特羅·門(mén)戈利于1644年提出，歐拉推證得其結(jié)果為π26，并于1741年給出嚴(yán)密證明，后世以歐拉的家鄉(xiāng)——瑞士的巴塞爾將此數(shù)論問(wèn)題命名為“巴塞爾問(wèn)題”，以示紀(jì)念.歐拉的論證從正弦函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式sinx=x-x33！+

x55！-x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！開(kāi)始.過(guò)程如下：

由于sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+…，

故sinxx=1-x23！+x45！-…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，①

又sinkπ=0（k∈Z），

故sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，②

①②式中x2的系數(shù)相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…），

所以∑∞n=11n2=π26.

歐拉將方程與巴塞爾問(wèn)題聯(lián)系在一起，應(yīng)用從有限過(guò)渡到無(wú)限的法則，創(chuàng)造性地把有限多項(xiàng)式的因式乘積形式類(lèi)比至無(wú)限項(xiàng)多項(xiàng)式中，成功地把無(wú)窮級(jí)數(shù)和數(shù)字π聯(lián)系起來(lái)，彰顯了獨(dú)特的原創(chuàng)性和簡(jiǎn)潔性.本題考查的正是歐拉利用泰勒展開(kāi)式解決巴塞爾問(wèn)題的方法，只是本題需先通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.

4.3 證明不等式

例3 已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，則（" ）.

A.cgt;bgt;a"" B.bgt;agt;c

C.agt;bgt;cD.agt;cgt;b

解析 由于cb=4tan14，由泰勒公式得，當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，tanxgt;x，所以tan14gt;14，cbgt;1，即cgt;b.

同理，當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，sinxlt;x.

則cos14=1-2sin218gt;1-2×（18）2=3132.

即bgt;a.

綜上，cgt;bgt;a.

故選A.

評(píng)注 本題常見(jiàn)解法是構(gòu)造f（x）=cosx+

12x2-1，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，進(jìn)而判定代數(shù)式的大小.利用泰勒展開(kāi)式進(jìn)行放縮論證，簡(jiǎn)明有力.

例4 已知函數(shù)f（x）=ae^x-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.

解析 由題意agt;0.

當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，f（1）=a+lnalt;1，不合題意，舍去.

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-1-lnx，f ′（x）=e^x-1-1x.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f ′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1.

從而f（x）≥1.

當(dāng)agt;1時(shí)，f（x）=ae^x-1-lnx+lnagt;e^x-1-lnx≥1.

綜上，a的取值范圍是［1，+∞）.

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，常見(jiàn)的解答思路有同構(gòu)變形、虛設(shè)零點(diǎn)等.以上利用分類(lèi)討論思想進(jìn)行了解答.當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，顯然不合題意，而只要證明了當(dāng)a=1時(shí)滿足題意，agt;1時(shí)也符合題意.由泰勒公式，得ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），得ex≥1+x，把x換成x-1，得e^x-1≥x①.由泰勒公式，得ln（x+1）=x-x22+x33+…+（-1）^n-1·xnn+

ο（xn），得ln（x+1）≤x，將x換成x-1得lnx≤x-1，進(jìn)一步有-lnx≥1-x②.①+②得e^x-1-lnx≥1，即為a=1時(shí)的情形.可見(jiàn)，泰勒公式既是本題的數(shù)學(xué)背景，也是發(fā)現(xiàn)解題思路的金鑰匙.

5 結(jié)束語(yǔ)

習(xí)題是課堂教學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，是教材的重要組成部分，為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供平臺(tái)，其選擇、布局、數(shù)量、設(shè)計(jì)等都影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)^[5].眾多評(píng)價(jià)試題也是從教材習(xí)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)改編、綜合、拓展、嫁接而來(lái)，具體表現(xiàn)為：課本例題、習(xí)題數(shù)據(jù)的變更，課本習(xí)題條件的拓展，課本例題、習(xí)題背景的變換，課本例題、習(xí)題的應(yīng)用，等等^[6].綜上，通過(guò)對(duì)一道教材數(shù)學(xué)探究題的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)涵，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，關(guān)注單元知識(shí)的系統(tǒng)性，整體建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，進(jìn)一步概括歸納深藏其中的思維主線，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)業(yè)質(zhì)量的相應(yīng)要求.

參考文獻(xiàn)：

［1］安富海.促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

［2］" 唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問(wèn)題鏈教學(xué)[J].教育發(fā)展研究，2020，40（04）：53-57.

［3］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［4］" 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[5] 孫虎，劉祖希.數(shù)學(xué)跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)：“內(nèi)涵”“價(jià)值”與“實(shí)施路徑”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（01）：19-24.

[6] 戴建國(guó).對(duì)高考中導(dǎo)數(shù)試題命制過(guò)程的一些思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（18）：52-55.

［責(zé)任編輯：李 璟］