融合FDTD與遺傳算法的高精度光學(xué)薄膜優(yōu)化

摘" 要：該研究提出一種融合時(shí)域有限差分法（FDTD）和遺傳算法的優(yōu)化框架，旨在提高光學(xué)薄膜的反射性能。選擇三層薄膜結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，通過(guò)使用FDTD方法計(jì)算薄膜結(jié)構(gòu)的反射率，并將其作為遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)。通過(guò)兩者結(jié)合，在多維設(shè)計(jì)空間中有效搜索到了優(yōu)化參數(shù)，顯著降低了薄膜的反射率。這一方法不僅降低了計(jì)算成本，還提供了一種靈活且可擴(kuò)展的解決方案，對(duì)未來(lái)高性能光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要的實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：光學(xué)薄膜；時(shí)域有限差分法；反射率；遺傳算法；設(shè)計(jì)優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TP18；TB332" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：2096-4706（2024）10-0165-04

High Precision Optical Thin Film Optimization of Integrating FDTD and Genetic Algorithm

XU Yunshi1， LI Jifeng2， DAI Zhiping1，2

（1.College of Physics and Electronic Engineering， Hengyang Normal University， Hengyang" 421002， China;

2.Nanyue College of Hengyang Normal University， Hengyang" 421008， China）

Abstract： This research proposes an optimization framework that integrates the FDTD method and Genetic Algorithm， aiming to enhance the reflective performance of optical thin films. It selects a three-layer thin film structure as the research object， employs the FDTD method to calculate the reflectivity of the thin film structure and uses it as the fitness function in the Genetic Algorithm. By combining these two methods， we effectively search for optimized parameters within a multi-dimensional design space， significantly reducing the reflectivity of the thin film. This method not only reduces computational costs but also provides a flexible and scalable solution， holding significant practical implications for the design and optimization of future high-performance optical systems.

Keywords： optical thin film; Finite-Difference Time-Domain method; reflectivity; Genetic Algorithm; design and optimization

0" 引" 言

光學(xué)薄膜在各個(gè)領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用，它們?cè)诟鞣N設(shè)備中扮演著關(guān)鍵角色，例如在激光系統(tǒng)中作為反射鏡和濾波器，在攝像頭和望遠(yuǎn)鏡中作為增強(qiáng)元件，以及在通信系統(tǒng)中作為波分復(fù)用器[1]。薄膜的性能很大程度上取決于其材料、厚度、折射率和層數(shù)等參數(shù)[2]。優(yōu)化這些參數(shù)以獲得期望的反射、透射和吸收特性對(duì)于滿足特定應(yīng)用的要求是至關(guān)重要的[3]。

然而，隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步和應(yīng)用需求的日益復(fù)雜化，傳統(tǒng)的薄膜設(shè)計(jì)和優(yōu)化方法面臨挑戰(zhàn)[4]。單純的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)方法在多層薄膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中變得不夠準(zhǔn)確和高效。此外，新材料的出現(xiàn)、微納米尺寸結(jié)構(gòu)的加入以及對(duì)于極端環(huán)境下的性能穩(wěn)定性的要求都使得薄膜設(shè)計(jì)面臨更高的復(fù)雜性[5]。為了實(shí)現(xiàn)高性能和高精度的光學(xué)薄膜，我們需要更先進(jìn)、系統(tǒng)和智能的設(shè)計(jì)方法，以滿足現(xiàn)代科技和工業(yè)中日益增長(zhǎng)的性能需求[6]。

盡管有各種數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法用于模擬光學(xué)薄膜的性能，但由于涉及多個(gè)參數(shù)和計(jì)算復(fù)雜性，這些方法往往需要大量的計(jì)算資源和時(shí)間[7]。此外，當(dāng)面臨多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，找到理想的參數(shù)組合還是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)[8]。時(shí)域有限差分（FDTD）方法是一種高度準(zhǔn)確的數(shù)值模擬方法，已被廣泛應(yīng)用于電磁場(chǎng)的模擬和分析，包括光學(xué)薄膜。然而，由于其計(jì)算密集型的特性，單獨(dú)使用FDTD方法往往需要多次的迭代和模擬，耗費(fèi)大量的計(jì)算資源和時(shí)間[9]。遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法，模仿自然界中生物的進(jìn)化過(guò)程，已成功地應(yīng)用于多個(gè)復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題[10]。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，遺傳算法能夠更高效地找到目標(biāo)解，并且計(jì)算成本相對(duì)較低[11]。特別地，在本研究中，我們采用了一種精英策略來(lái)保留每一代中的優(yōu)秀個(gè)體，確保它們的優(yōu)秀基因能夠被傳遞到下一代[12]。精英策略通過(guò)直接將一定比例的表現(xiàn)最佳的個(gè)體復(fù)制到下一代，保證了算法在迭代過(guò)程中不會(huì)丟失已獲得的優(yōu)秀解，從而在一定程度上加快了算法的收斂速度并提高了解的質(zhì)量[13]。此外，我們還在選擇、交叉和變異等操作中引入了一些特定的策略，以期在保持種群多樣性的同時(shí)，也能夠有效地探索解空間，尋找到滿足特定光學(xué)性能要求的薄膜參數(shù)組合[14]。

本研究提出一種將FDTD和遺傳算法相結(jié)合的方法，用于優(yōu)化光學(xué)薄膜的反射性能。通過(guò)這種結(jié)合，不僅大大減少了需要的模擬次數(shù)，還可以在多維參數(shù)空間中找到理想的參數(shù)組合。這種方法旨在建立一種普適性強(qiáng)、操作簡(jiǎn)單且計(jì)算效率高的光學(xué)薄膜設(shè)計(jì)策略，在光電技術(shù)、通信工程和光電子學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域擁有廣泛的應(yīng)用前景。

1" FDTD和遺傳算法簡(jiǎn)介

1.1" 時(shí)域有限差分（FDTD）方法

時(shí)域有限差分（FDTD）是一種數(shù)值分析技術(shù)，用于解決復(fù)雜的電磁場(chǎng)問(wèn)題。該方法起源于20世紀(jì)60年代，并迅速成為電磁問(wèn)題數(shù)值解決方案的一個(gè)主要手段。FDTD基于Maxwell方程，在時(shí)域和空間域內(nèi)進(jìn)行離散化，以模擬電磁波的傳播和相互作用。由于其能夠處理復(fù)雜幾何和非線性材料，F(xiàn)DTD在通信、醫(yī)療成像、雷達(dá)設(shè)計(jì)、光子學(xué)和量子計(jì)算等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。

FDTD的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是其靈活性，可以適應(yīng)多種邊界條件和場(chǎng)強(qiáng)分布。然而，這種方法也存在一些局限性，例如，對(duì)于非常大或者復(fù)雜的問(wèn)題，計(jì)算需求可能會(huì)變得極其巨大，尤其是當(dāng)需要高度精確的解時(shí)。這些計(jì)算通常需要高性能的計(jì)算機(jī)硬件和大量的運(yùn)算時(shí)間，這也限制了FDTD方法在實(shí)際應(yīng)用中的普及程度[8]。

1.2" 遺傳算法

遺傳算法是一種受自然界中生物進(jìn)化過(guò)程啟發(fā)的搜索和優(yōu)化算法，能夠處理高維、非線性和多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題[4，5]。該算法通過(guò)模擬自然選擇、交叉和突變等生物學(xué)機(jī)制，在解空間內(nèi)高效搜索最優(yōu)或接近最優(yōu)的解。遺傳算法主要用于解決優(yōu)化和搜索問(wèn)題，包括函數(shù)優(yōu)化、路徑規(guī)劃、機(jī)器學(xué)習(xí)參數(shù)調(diào)整等。

遺傳算法的工作過(guò)程通常包括初始種群的生成、適應(yīng)度函數(shù)的評(píng)估、選擇、交叉和突變等步驟。通過(guò)迭代，每次迭代都可能會(huì)產(chǎn)生更適應(yīng)環(huán)境（即具有更高適應(yīng)度值）的個(gè)體，直到滿足某些停止準(zhǔn)則，算法趨于找到或接近理想的解。

2" 模型設(shè)計(jì)與模擬結(jié)果

2.1" 模型設(shè)計(jì)

本研究結(jié)合時(shí)域有限差分（FDTD）方法和遺傳算法，來(lái)設(shè)計(jì)并優(yōu)化多層光學(xué)薄膜的反射特性。

2.1.1" FDTD模型

我們首先設(shè)置了一個(gè)三層光學(xué)薄膜結(jié)構(gòu)，平面波垂直入射到該結(jié)構(gòu)上，如圖1所示；然后通過(guò)FDTD模擬，得到平面波在通過(guò)這三層薄膜結(jié)構(gòu)后的反射率，該反射率后續(xù)將被應(yīng)用于遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)中進(jìn)行進(jìn)一步分析和優(yōu)化。模型設(shè)定完美匹配層（PML）作為邊界，以最小化邊界反射對(duì)模擬的影響；光源采用單色平面波，波長(zhǎng)為550 nm；每一薄膜層包括折射率和厚度兩個(gè)獨(dú)立變量；我們?cè)诒∧ど戏皆O(shè)置了監(jiān)視器以記錄薄膜的反射率。在進(jìn)入遺傳算法前，初始FDTD模型的個(gè)體參數(shù)為：[1.7，2.1，2.4，0.12 μm，0.15 μm，0.18 μm]，其中前3個(gè)參數(shù)為每層薄膜的折射率，后3個(gè)參數(shù)為每層薄膜的厚度；運(yùn)行后，得到薄膜的反射率為0.427。

2.1.2" 遺傳算法模型

我們采用遺傳算法對(duì)薄膜參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋找最小反射率對(duì)應(yīng)的參數(shù)組合，這個(gè)過(guò)程通過(guò)遺傳算法代碼實(shí)現(xiàn)。在本研究中，考慮到實(shí)際應(yīng)用和材料的物理屬性，我們?cè)O(shè)定了薄膜折射率和厚度的取值范圍，分別為：1.5～2.5 μm和0.1～0.2 μm，這些約束條件確保了模型的實(shí)際可行性和物理合理性。

首先，遺傳算法初始化了一組潛在的解作為初始種群，每個(gè)解代表一組特定的薄膜參數(shù)（折射率和厚度），這些參數(shù)被編碼成染色體。接著，通過(guò)FDTD模擬得到每個(gè)解對(duì)應(yīng)的反射率，遺傳算法將光學(xué)薄膜的反射率作為適應(yīng)度函數(shù)，用于評(píng)估每個(gè)個(gè)體的性能。我們的目標(biāo)是最小化這一反射率，因此，具有較低反射率的個(gè)體會(huì)被視為更優(yōu)秀的個(gè)體。通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)，我們模擬了自然界中“適者生存”的原理，在每一代中，更具適應(yīng)性的個(gè)體將會(huì)被優(yōu)先選中作為下一代的父代。進(jìn)行選擇后，算法執(zhí)行交叉和變異操作，這些操作是在模擬自然界中的生物進(jìn)化過(guò)程，通過(guò)這些操作，生成新一代的種群。每一代種群都會(huì)經(jīng)過(guò)適應(yīng)性評(píng)估，來(lái)尋找優(yōu)秀的個(gè)體。這一流程將會(huì)持續(xù)進(jìn)行，直到滿足預(yù)定的終止條件，例如達(dá)到最大迭代次數(shù)或達(dá)到一個(gè)特定的適應(yīng)度閾值，如圖2所示。

2.2" 模擬結(jié)果

在遺傳算法中，通過(guò)代碼調(diào)用FDTD模擬，根據(jù)模擬結(jié)果計(jì)算適應(yīng)度，然后更新模擬參數(shù)進(jìn)入下一代。通過(guò)幾代的演化，我們得到了幾組不同的最佳個(gè)體和適應(yīng)度，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1中可以看出，隨著遺傳算法的演化，系統(tǒng)的最佳適應(yīng)度在不斷改善。FDTD模型最初的反射率為0.427，而通過(guò)遺傳算法優(yōu)化后第一代的反射率就降低到了0.012 1，這一迅速且顯著的降低表明遺傳算法能夠快速找到參數(shù)空間中的高質(zhì)量區(qū)域，并通過(guò)精確的參數(shù)調(diào)整，顯著改善光學(xué)系統(tǒng)的性能。隨著算法繼續(xù)演化，系統(tǒng)的反射率從第一代的0.012 1降至第四代的0.003 2。圖3展示了第四代的FDTD仿真效果，光源從z = 0.5 μm處往下傳播，三層薄膜從z = 0開(kāi)始依次往上排列，因此z＞0.5 μm的區(qū)域可視為反射區(qū)域，z＜0的區(qū)域?yàn)橥干鋮^(qū)域。從圖3中不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)光場(chǎng)反射極小，而透射很大。這一持續(xù)的改進(jìn)展現(xiàn)了遺傳算法的迭代優(yōu)化能力，算法能夠在每一代中更加精確地探索參數(shù)空間，不斷靠近最優(yōu)解，逐漸減小系統(tǒng)的反射率。這一過(guò)程表明，F(xiàn)DTD與遺傳算法相結(jié)合，在處理多維參數(shù)時(shí)能保持優(yōu)越的搜索和優(yōu)化能力，能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)光學(xué)性能的高效精確優(yōu)化，有助于開(kāi)發(fā)具有更高性能和更低損耗的光學(xué)系統(tǒng)。

分析每一代的適應(yīng)度不難發(fā)現(xiàn)，隨著適應(yīng)度的不斷提升，每一代所帶來(lái)的改進(jìn)變得越來(lái)越小。這是因?yàn)楫?dāng)算法開(kāi)始時(shí)，解通常遠(yuǎn)離最優(yōu)，因此改進(jìn)的空間較大，而當(dāng)算法不斷迭代，特別是當(dāng)它接近某一最優(yōu)解時(shí)，可行的改進(jìn)空間通常會(huì)變小。當(dāng)適應(yīng)度值降低速度減緩時(shí)，意味著算法可能已經(jīng)找到了一個(gè)理想的解，且進(jìn)一步的優(yōu)化可能只會(huì)帶來(lái)較小的改進(jìn)。

3" 結(jié)" 論

通過(guò)本研究，我們展示了將FDTD軟件與遺傳算法相結(jié)合，可以有效地優(yōu)化多層光學(xué)薄膜的參數(shù)。這種集成方法突破了傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)在處理多參數(shù)和非線性問(wèn)題上的局限性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)光學(xué)性能的高精度和高效優(yōu)化。從最初的模型開(kāi)始，F(xiàn)DTD與遺傳算法相結(jié)合顯示出顯著降低反射率的能力，并隨著每一代的演化，這一優(yōu)化效果得到加強(qiáng)。此外，我們注意到，隨著優(yōu)化過(guò)程的深入，每一代所能實(shí)現(xiàn)的改進(jìn)逐漸變小。這一趨勢(shì)暗示著系統(tǒng)正逐步靠近其可能達(dá)到的某一最優(yōu)解，每個(gè)迭代階段所能帶來(lái)的性能提升也因此變得越來(lái)越小。這一點(diǎn)不僅揭示了該優(yōu)化策略的高效性，同時(shí)也反映出通過(guò)FDTD軟件與遺傳算法協(xié)同工作，能夠更為精確地探索參數(shù)空間，逐步逼近系統(tǒng)的最佳性能。

總之，本文驗(yàn)證了FDTD與遺傳算法結(jié)合的優(yōu)化方法在多層光學(xué)膜設(shè)計(jì)中的實(shí)用性和有效性。這一方法不僅提供了一種強(qiáng)大的工具，用于解決光學(xué)設(shè)計(jì)中遇到的復(fù)雜問(wèn)題，而且還為未來(lái)發(fā)展更高效、低損耗的光學(xué)系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。我們相信，這一結(jié)合優(yōu)化方法的應(yīng)用將在光學(xué)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中擁有廣泛的應(yīng)用前景。

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作者簡(jiǎn)介：許韞詩(shī)（1998—），女，漢族，安徽淮南人，碩士研究生在讀，主要研究方向：光學(xué)薄膜的設(shè)計(jì)與優(yōu)化；通訊作者：戴志平（1981—），男，漢族，湖南岳陽(yáng)人，教授，博士，主要研究方向：光傳輸理論及其應(yīng)用。