基于HFSS的平面波斜入射理想介質分界面全反射仿真實驗

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.22.171

摘 要 針對平面波斜入射理想介質分界面理論公式過于復雜、學生不易理解的問題，設計平面波斜入射理想介質分界面的電磁特性仿真實驗。利用電磁仿真軟件HFSS對平面電磁波斜入射理想介質進行建模和仿真，繪制平行極化和垂直極化平面波的反射系數(shù)幅度曲線，仿真曲線與理論計算結果相符。以平行極化和垂直極化波全反射為例，給出透射波在一個截面上的電場、磁場和坡印廷矢量分布圖，使得抽象的表面波概念和公式轉變?yōu)槿S圖形動態(tài)演示，提高學生的學習積極性，達到很好的課堂教學效果。實踐證明，該仿真實驗有助于學生直觀且深入理解和掌握TE波、TM波的傳播特點與傳播規(guī)律。

關鍵詞 電磁場；電磁波；平面波斜入射理想介質分界面；HFSS；仿真實驗；仿真軟件

中圖分類號：G642.423 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）22-0-06

0 引言

平面波斜入射理想介質分界面是電氣類、電子類與通信類專業(yè)基礎課電磁場和電磁波[1-2]的重要內(nèi)容，具有公式繁雜、推導復雜、概念抽象等特點。如TE波和TM波的電場與磁場分布公式，學生很難準確地理解這些理論公式的物理圖像和物理內(nèi)涵，因此，采用公式推導的傳統(tǒng)教學方法難以取得良好的教學效果。為了激發(fā)學生的學習興趣，使學生對平面波斜入射理想介質表面物理意義有更深入的理解和認識，在該教學環(huán)節(jié)引入電磁場仿真軟件進行形象化的輔助講解，為學生構建直觀的學習情景，可以極大地豐富課堂教學內(nèi)容，增強課堂教學效果。

隨著電磁仿真技術的發(fā)展，已有很多教學案例成功地將仿真軟件應用到電磁場與電磁波課程教學中。目前已有的教學案例部分集中于利用MATLAB軟件簡單呈現(xiàn)平面波傳播、平面波反射和折射[3-4]，

利用程序動態(tài)展現(xiàn)三維矢量電場和磁場，其效果沒有專用電磁軟件仿真效果直觀和簡潔。文獻[5]運用3d Max進行實體建模，運用Unity 3d編輯動畫，運用GUI界面控制實現(xiàn)電磁波三維可視化。文獻[6]利用拋物方程（Parabolic Equation，PE）法獲取電磁波在對流層的仿真剖面圖。據(jù)了解，高校運用這些軟件可視化演示平面波的教學案例較少。

HFSS是一款基于麥克斯韋方程組求解、采用有限元法的全波三維電磁仿真軟件，具有操作界面方便易用、參數(shù)設計簡單和仿真精度高等特點。將HFSS仿真軟件用于可視化圖形演示的課程內(nèi)容主要集中在天線和微波器件[7-8]，到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)利用HFSS軟件三維動態(tài)地展現(xiàn)理想介質界面全反射的教學案例。為此，本文將科學研究中常用的電磁場仿真軟件HFSS應用到電磁場和電磁波的課堂教學中，以平面波斜入射理想介質分界面為例，通過創(chuàng)建仿真模型，對全反射時透射波特性和其中的關鍵信息進行詳細介紹與分析，使學生能夠更深入、更透徹地理解TE和TM表面波的物理意義。

1 基本理論

斜入射的均勻平面電磁波，無論任何極化方式，都可以分解為垂直極化和平行極化兩種正交線極化波。因此，只要分別求得這兩種極化波的反射波和透射波，通過疊加原理，就可以獲得任意極化入射波的反射波和透射波。

1.1 垂直極化波

如圖1a所示坐標系，理想介質分界面z=0，入射面為xOz平面（y=0），電場矢量方向垂直入射面。

透射波的電磁場為[2]：

式中，θt是折射角，Ei0是入射波電場幅度，是區(qū)域2的波數(shù)，是區(qū)域2的波阻抗，ε2和μ2分別是區(qū)域2媒質的介電常數(shù)和磁導率，Tc是垂直極化波的透射系數(shù)。對于非磁性媒質，μ1=μ2=μ0，反射系數(shù)Γc和透射系數(shù)Tc則可以分別表示為[2]：

ε1是區(qū)域1媒質的介電常數(shù)，根據(jù)公式（3），令

公式（5）中θc稱為臨界角，當入射角滿足

θc＜θi≤90° （6）

反射系數(shù)的模，即在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。值得注意的是，公式（5）成立的條件是ε2＜ε1。當發(fā)生全反射時，根據(jù)折射定律，令介質分界面的切向（x方向）波數(shù)為β，即：

β=k1sinθi=k2sinθt （7）

是區(qū)域1的波數(shù)，在發(fā)生全反射時，cosθt為純虛數(shù)，令

k2cosθt=-jα （8）

式中α＞0，利用公式（7）（8）（1）和（2），發(fā)生全反射時，區(qū)域2的電磁場可以表達為：

區(qū)域2的平均坡印廷矢量為：

由公式（9）（10）（11）可見，發(fā)生全反射時媒質2中的透射波是沿+x方向傳播的，其相位常數(shù)為β；沿+z方向電磁場是指數(shù)衰減的，衰減常數(shù)為α；而平均坡印廷矢量比電磁場衰減更快，衰減常數(shù)為2α。也就是透射波只能分布在界面附近并沿著界面?zhèn)鞑?，因此把這種電磁波稱為表面波。電場Et和磁場Ht在x方向的分量有Etx=0，Htx≠0，

即縱向（x方向）電場為零而縱向磁場不為零，稱這種表面波為TE波，TE波在x方向的波長為：

1.2 平行極化波

如圖1b所示坐標系，理想介質分界面z=0，入射面為xOz平面（y=0）。

透射波的電磁場為：

式中Tp是平行極化波的透射系數(shù)，對于非磁性媒質，μ1=μ2=μ0，反射系數(shù)Γp和透射系數(shù)Tp則可以表示為：

由公式（15），要使Γp=0，必有

θB為布儒斯特角，公式（17）是平行極化波發(fā)生全透射的條件，此時。反射系數(shù)的模，平行極化波在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。當ε2＜

ε1時，平行極化波臨界角計算公式、反射條件與垂直極化波的相同，即公式（5）（6）也適用平行極化波。發(fā)生全反射時，區(qū)域2的電磁場可以表達為：

區(qū)域2的平均坡印廷矢量為：

由公式（18）（19）和（20）可見，與垂直極化平面波發(fā)生全反射類似，平行極化的透射波也是一種表面波。電場Et和磁場Ht在x方向的分量有Etx≠0，Htx=0，即縱向電場不為零而縱向磁場為零，稱這種表面波為TM波。TM波的衰減常數(shù)、x方向的相位常數(shù)、x方向的波長與TE波相同。

無論是垂直極化波還是平行極化波，本質上都是TEM波，它們在界面沒有發(fā)生全反射時，反射波和透射波的極化性質沒有發(fā)生變化，理解反射波和透射波公式相對并不特別困難。發(fā)生全反射時，入射波是TEM波，透射波是TE波或TM波，入射波和透射波極化性質發(fā)生改變，并引出表面波概念，此時透射波公式變得非常抽象，學生很難建立直觀的認識。利用HFSS電磁仿真軟件建立三維平面波斜入射理想介質表面仿真模型，將抽象的TE波和TM波動態(tài)地展現(xiàn)出來，有利于學生分析和理解平面波斜入射的特性。

2 仿真實驗設計

2.1 基于HFSS的平面波斜入射建模和仿真

基于HFSS仿真平面波斜入射步驟如下。

首先，利用HFSS創(chuàng)建兩個仿真區(qū)域的結構圖并設置結構參數(shù)。如圖2所示，區(qū)域1和區(qū)域2都是由邊長L=15 mm的立方體組成的，區(qū)域1和區(qū)域2的分界面為xOy面，z軸垂直分界面，z軸的方向由區(qū)域1指向區(qū)域2，三維坐標系的設置與圖1和圖2相同。區(qū)域2中在y=7.5 mm畫了一個平行xOz面、邊長為15 mm的正方形，即在圖2中標注1面作為透射波的觀測面，AB是觀測面與分界面的交線。

其次，設置區(qū)域材料屬性。區(qū)域1和區(qū)域2為理想介質，即這兩個區(qū)域的電導率設置為0。區(qū)域1材料設置為真空，區(qū)域2的介電常數(shù)和磁導率分別為ε2=0.702ε0、μ2=μ0。ε0是真空的介電常數(shù)，μ0為真空的磁導率。

再次，設置邊界條件和激勵源。區(qū)域1和區(qū)域2垂直z軸的外表面分別設置為Floquet端口1和Floquet端口2。Floquet端口有兩個基本模式，模式1（TE00模）和模式2（TM00模）分別是垂直極化平面波模式和平行極化平面波模式。垂直x軸的兩個外表面分別設置為主從邊界條件，y軸兩個外表面也分別設置主從邊界條件，主從邊界條件可以模擬仿真單元結構在x方向和y方向都是無窮大的情況。從邊界條件有兩個掃描角度Phi和Theta，

Phi與極化相關，設置Phi=0°，Theta是平面波的入射角。為了獲取反射系數(shù)幅度與入射角的關系，設置Theta為變量Thetai，在HFSS仿真軟件中掃描參數(shù)Thetai設置從0°～90°，步長為1°，平面波的頻率f為20 GHz。

最后，運行HFSS仿真模型，可以獲取反射系數(shù)幅度曲線。

2.2 反射系數(shù)幅度仿真結果與分析

利用公式（5）可以求得全反射的臨界角θc=

57°，利用公式（17）可以求得平行極化波的布儒斯特角θB=40°。利用HFSS軟件獲取模式1（TE00模、垂直極化平面波）反射系數(shù)幅度的仿真值，并利用公式（3）計算垂直極化平面波反射系數(shù)幅度的理論值。垂直極化平面波的反射系數(shù)幅度與入射角關系曲線如圖3a所示。

利用HFSS獲取模式2（TM00模、平行極化平面波）反射系數(shù)幅度的仿真值，并利用公式（15）計算平行極化平面波反射系數(shù)幅度的理論值，平行極化平面波的反射系數(shù)幅度與入射角關系曲線結果如圖3b所示。

由圖3可見，無論是垂直極化還是平行極化平面波反射系數(shù)幅度曲線，HFSS仿真結果和理論計算值相符。在平行極化波入射角θi=40°時，反射系數(shù)幅度，說明平行極化平面波在界面發(fā)生全透射，而垂直極化平面波在界面則不會發(fā)生全透射。垂直極化和平行極化平面波發(fā)生全反射的條件是入射角等于或者大于臨界角，即57°≤θi≤90°。當入射角滿足該條件時，和，這兩種極化平面波都將在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。

2.3 垂直極化平面全反射仿真結果與分析

獲取兩種極化平面波反射幅度曲線后，需要刪去變量Thetai的參數(shù)掃描，將仿真變量Thetai設置為85°，也就是設定入射角θi=85°。設定好仿真變量Thetai后，需要對圖3模型再做一次全反射仿真模擬。理想導體發(fā)生全反射時，導體內(nèi)沒有透射波。與理想導體表面的全反射不同，垂直極化平面波在界面發(fā)生全反射時，根據(jù)公式（9）（10）（11），區(qū)域2還存在復雜的透射波。根據(jù)公式（12），x方向的波長計算值為λx=15 mm，波長與1面的邊長相同。

圖4a和圖4b分別是垂直極化平面波發(fā)生全反射時表面波電場、磁場在1面上的分布。需要說明的是，1面電場和磁場分布是動態(tài)變化的，這里給出的電場和磁場是某一瞬間的分布圖。圖4c是表面波的坡印廷矢量在1面上的分布。圖4中矢量大小用矢量的顏色和矢量的長短來表示，矢量方向用箭頭的方向來描述。圖4a三維地展現(xiàn)了電場方向垂直1面，即電場只有y分量。圖4b中的磁場平行1面，磁場既有x分量又有z分量，沿著+z方向電場和磁場幅度是衰減的。坡印廷矢量方向也是電磁波傳播方向，從圖4c可以發(fā)現(xiàn)，電磁波傳播方向為+x方向，坡印廷矢量幅度在+z方向上比4a中的電場幅度和4b中磁場幅度衰減更快。1面上的電場、磁場和坡印廷矢量分布特征分別與公式（9）（10）（11）描述的TE表面波一致。另外，從AB線段上容易發(fā)現(xiàn)，表面波的電場和磁場傳播的相位相同。

2.4 平行極化平面全反射仿真結果與分析

圖5a和圖5b分別是垂直極化平面波發(fā)生全反射時表面波電場、磁場在1面上的分布。需要說明的是，1面電場和磁場分布是動態(tài)變化的，這里給出的電場和磁場是某一瞬間的分布圖。圖5c是表面波的坡印廷矢量在1面上的分布。圖5三維地展現(xiàn)了電場方向磁場平行1面，即電場只有y分量。圖5a中的磁場垂直1面，磁場既有x分量又有z分量，沿著+z方向電場和磁場幅度是衰減的。坡印廷矢量方向也是電磁波傳播方向，從圖5c可以發(fā)現(xiàn)，電磁波為+x方向，坡印廷矢量幅度在+z方向上比圖5a中的電場幅度和圖5b中磁場幅度衰減更快。1面上的電場、磁場和坡印廷矢量分布特征分別與公式（18）（19）（20）描述的TE表面波一致。

比較TE表面波和TM表面波仿真結果可以發(fā)現(xiàn)，在界面的交線AB端點A和B上，圖4a中的電場方向和圖5b中的磁場方向都是+y方向且幅度最大；而在AB的中點上，圖4a電場方向和圖5b中的磁場方向都是-y方向且幅度最大。這表明圖4a中TE表面波的電場和圖5b中TM表面波的磁場相位相同，這與公式（9）（19）描述一致。圖4b中TE表面波的磁場與圖5a中TM表面波電場相位相反，是由于公式（10）和公式（18）符號相反，導致兩者的相位相差180°。另外，仿真結果顯示：TE表面波的電場和磁場有同相位現(xiàn)象，即在某一空間位置，電場和磁場幅度同時出現(xiàn)最大值或者最小值。TM表面波也表現(xiàn)出同相位現(xiàn)象。通過觀察色標的最大值，TE表面波電磁場和坡印廷矢量幅度比TM波要大。而這兩點從理論公式（9）（10）（11）（18）（19）

和（20）很難直觀看出來。

3 結束語

利用HFSS軟件對平面波的斜入射進行建模和仿真，并繪制平行極化和垂直極化的反射曲線圖，給出入射角為85°時TE表面波和TM表面波電場、磁場和坡印廷矢量分布圖。這些反射曲線和分布圖與理論公式的結論相互印證。另外，通過分布圖還可以得出從理論公式中不能直接發(fā)現(xiàn)的結論，比

如：TE表面波的電場和磁場在空間的分布相位相

同；TE表面波的電磁場和能量幅度比TM表面波大。在平面波發(fā)生全反射時，通過HFSS三維動態(tài)演示透射波，學生可以更直觀地理解TE表面波和TM表面波的物理意義。教學實踐表明，這種將理論公式與三維仿真相結合的教學方式可以極大地激發(fā)學生學習電磁波課程的興趣，豐富課堂教學內(nèi)容，達到良好的教學效果。

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*項目來源：國家自然科學基金地區(qū)項目“電子變壓器電感器的優(yōu)化設計及其可視化算法”（項目編號：51967015）。

作者簡介：徐新河，博士，講師。