一元一次方程助力“農(nóng)場(chǎng)主”的誕生

學(xué)?！吧姓閳@”準(zhǔn)備了12個(gè)長(zhǎng)寬為4m×1.5m的種植箱讓同學(xué)們感受蔬菜從播種到收獲的一生。夏天，飯桌上常以綠色蔬菜和瓜類為主。下表是3月可以開(kāi)始種植，夏季收獲的常見(jiàn)蔬菜，以及它們的產(chǎn)量、平均成本和平均售價(jià)。

[蔬菜品種 番茄 空心菜 黃瓜 絲瓜 產(chǎn)量（kg/m2） 10 7 8 6 平均成本（元/m2） 9 6.5 7.5 2.5 平均售價(jià)（元/kg） 5 5 6.5 8 ]

問(wèn)題一：整個(gè)收獲季，食堂為全校師生烹飪午餐需要兩種蔬菜，共計(jì)600kg，請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)合理規(guī)劃種植面積，讓種植箱發(fā)揮最大的功能，收獲更多的蔬菜，實(shí)現(xiàn)“蔬菜自由”。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級(jí)＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]四種蔬菜選兩種進(jìn)行種植，一共可以產(chǎn)生多少種方案？我們可以通過(guò)舉例的方式列出來(lái)。每種方案是否可取，我們需要根據(jù)題目給的條件進(jìn)行篩選。同時(shí)，為了滿足食堂需求，是需要?jiǎng)偤梅N植出600kg，還是比600kg多，我們要用不同的眼光去看待。

問(wèn)題二：為了滿足食堂的蔬菜需求，現(xiàn)每名同學(xué)擁有600元可支配成本，請(qǐng)根據(jù)每種蔬菜平均JDhKL8gAW3lF2KAgozDzUg==成本及售價(jià)，設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案，實(shí)現(xiàn)600kg蔬菜的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級(jí)＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]600kg蔬菜經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化是指在可使用成本600元之內(nèi)的純利潤(rùn)最大，但在這里并不代表成本要等于600元 ，而是要不超過(guò)600元，所以600元只是方案篩選的一種限制條件。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級(jí)＼12＼P48解法.psd>[解法一：]

問(wèn)題一：12×1.5×4=72（m2）。

①設(shè)種番茄xm2，空心菜（72-x）m2。10x+7（72-x）=600。解得x=32，72-x=40。

②設(shè)種番茄xm2，黃瓜（72-x）m2。10x+8（72-x）=600。解得x=12，72-x=60。

③設(shè)種番茄xm2，絲瓜（72-x）m2。10x+6（72-x）=600。解得x=42，72-x=30。

④設(shè)種空心菜xm2，黃瓜（72-x）m2。7x+8（72-x）=600。解得x=-24，72-x=96（舍）。

⑤設(shè)種空心菜xm2，絲瓜（72-x）m2。7x+6（72-x）=600。解得x=168，72-x=-96（舍）。

⑥設(shè)種黃瓜x(chóng)m2，絲瓜（72-x）m2。8x+6（72-x）=600。解得x=84，72-x=-12（舍）。

所以可以種植番茄32m2和空心菜40m2，或者種植番茄12m2和黃瓜60m2，或者種植番茄42m2和絲瓜30m2。

問(wèn)題二：①32×9+40×6.5=548＜600，10×32×5+7×40×5=3000（元），3000-548=2452（元）；

②12×9+60×7.5=558＜600，12×10×5+60×8×6.5=3720（元），3720-558=3162（元）；

③42×9+30×2.5=453＜600，42×10×5+30×6×8=3540（元），3540-453=3087（元）。

因?yàn)?452＜3087＜3162，所以選擇種植番茄12m2和黃瓜60m2為最優(yōu)化方案。

【點(diǎn)評(píng)】這名同學(xué)認(rèn)為問(wèn)題一需要滿足食堂600kg的需求，通過(guò)枚舉法將四選二的6種可能結(jié)果全部列舉出來(lái)，是標(biāo)準(zhǔn)的解決方案選擇類問(wèn)題的第一步。該同學(xué)通過(guò)考慮實(shí)際問(wèn)題的限制條件來(lái)篩選方案，同時(shí)也關(guān)注到問(wèn)題二中成本對(duì)方案選擇的限制作用。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級(jí)＼12＼P48解法.psd>[解法二：]

問(wèn)題一：12×1.5×4=72（m2）。

600÷10=60（m2），600÷7=[6007]（m2），600÷8=75（m2），600÷6=100（m2）。

因?yàn)?0＜72＜75＜[6007]＜100，所以無(wú)法找到合理數(shù)據(jù)選擇空心菜和黃瓜、空心菜和絲瓜、黃瓜和絲瓜的組合，必須選擇番茄和另一種蔬菜的組合。具體可能情況如下表（單位：m2）：

[番茄+空心菜 番茄+黃瓜 番茄+絲瓜 32 40 ②12 60 ③42 30 39 30 20 50 48 20 46 20 28 40 54 10 ④53 10 36 30 60 0 ①60 0 44 20 52 10 60 0 ]

問(wèn)題二：①方案獲利2460元，但不存在該方案，因?yàn)橹挥幸环N蔬菜；④方案規(guī)劃合理且獲利2458元；②方案獲利3162元；③方案獲利3087元。

根據(jù)驗(yàn)算后的數(shù)據(jù)，我用12m2種番茄，60m2種黃瓜，支出成本558元，全部售價(jià)3720元，獲得最優(yōu)化利潤(rùn)3162元。

【點(diǎn)評(píng)】這名同學(xué)通過(guò)極限思維思考，將四種蔬菜在600kg極根情況下的單位產(chǎn)量進(jìn)行測(cè)算。如果只種一種蔬菜，得到每種蔬菜所需的種植箱面積，發(fā)現(xiàn)空心菜、黃瓜、絲瓜所需要的種植箱面積超出72m2，所以必須種植番茄對(duì)這三種蔬菜進(jìn)行補(bǔ)充。該同學(xué)將每種可能出現(xiàn)的整數(shù)解情況通過(guò)列表展現(xiàn)出來(lái)，不僅得到數(shù)據(jù)的過(guò)程復(fù)雜，而且不全面，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題中會(huì)出現(xiàn)非整數(shù)解情況。針對(duì)這兩種不足，這里如果利用一元一次方程可以很好解決。

同時(shí)，這名同學(xué)在問(wèn)題一中認(rèn)為72m2種植區(qū)域不一定用完，也就是產(chǎn)量可以超過(guò)600kg，但是在問(wèn)題二中又認(rèn)為72m2種植區(qū)域一定要用完，能看出兩種想法的矛盾。這里我們需要對(duì)一種想法一以貫之，堅(jiān)持到底。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年級(jí)＼12＼P48解法.psd>[解法三：]

問(wèn)題一：12×1.5×4=72（m2）。

因?yàn)?0＞8＞7＞6，所以相同面積中，番茄和黃瓜的產(chǎn)量較大。

設(shè)番茄的種植面積為xm2，黃瓜的種植面積為（72-x）m2。

10x+8（72-x）=600。解得x=12。

題目并未有其他要求，只需滿足食堂總需求即可，所以總產(chǎn)量越多越好。當(dāng)番茄種植量越來(lái)越多時(shí)，總產(chǎn)量也會(huì)越來(lái)越多。所以當(dāng)x無(wú)限接近72時(shí)，產(chǎn)量最大，所以12≤x＜72。

問(wèn)題二：考慮1m2各蔬菜的獲利情況。

番茄為10×5-9=41（元），空心菜為7×5-6.5=28.5（元），黃瓜為8×6.5-7.5=44.5（元），絲瓜為6×8-2.5=45.5（元）。

因?yàn)?5.5＞44.5＞41＞28.5，所以相同面積（1m2）中，絲瓜、黃瓜、番茄的獲利較高。

以等于600kg為臨界位置，總產(chǎn)量越多越好。

①設(shè)種黃瓜ym2，絲瓜（72-y）m2。

8y+6（72-y）=600。解得y=84＞72（舍）。

②設(shè)種番茄xm2，絲瓜（72-x）m2，總獲利W元。

10x+6（72-x）=600。解得x=42＜72。W=41x+45.5（72-x）=3276-4.5x。

當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，利潤(rùn)W會(huì)越來(lái)越小。所以當(dāng)x=42時(shí)，W有最大值，為3087元。

③設(shè)種番茄xm2，黃瓜（72-x）m2，總獲利W元。

10x+8（72-x）=600。解得x=12＜72。W=41x+44.5（72-x）=3204-3.5x。

當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，利潤(rùn)W會(huì)越來(lái)越小。所以當(dāng)x=12時(shí)，W有最大值，為3162元。

所以選擇種植番茄12m2、黃瓜60m2所得經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化。

【點(diǎn)評(píng)】這名同學(xué)關(guān)注到“食堂需求是600kg”并不代表“種植箱”產(chǎn)能只能為600kg，而是代表在滿足學(xué)校食堂需求量的情況下，“種植箱”的最低產(chǎn)能為600kg。因此，他利用一元一次方程將x的取值調(diào)整為一個(gè)范圍，這是非常值得贊賞的。但他忽略的是，在選取蔬菜時(shí)，并不能簡(jiǎn)單以單位產(chǎn)量最大作為滿足條件的選擇對(duì)象，也存在最大產(chǎn)量與中間產(chǎn)量的組合作為滿足條件的選擇對(duì)象。例如解法一中，番茄和空心菜、番茄和絲瓜的組合也能夠滿足需求，所以在方案設(shè)計(jì)最初出現(xiàn)了漏解的情況，但在進(jìn)一步優(yōu)化方案時(shí)又體現(xiàn)了可以有三種方案的選擇。

為什么在三種解法中，大家最終提供的可選取方案中總是要選取番茄呢？

在四種蔬菜中，產(chǎn)量最高的是番茄，其次是黃瓜。當(dāng)所有面積全部用于種黃瓜時(shí)，總計(jì)可獲得576kg黃瓜，沒(méi)有達(dá)到食堂需求。因此，在所選取的兩種蔬菜中一定需要單位面積產(chǎn)量最高的番茄作為填補(bǔ)。

可見(jiàn)，對(duì)于方案規(guī)劃類問(wèn)題，首先，我們要對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果分類，堅(jiān)定以一種想法走到底，抓住問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出對(duì)應(yīng)的一元一次方程并解出答案。其次，我們要根據(jù)問(wèn)題中的條件限制、生活中的常識(shí)等對(duì)方案進(jìn)行取舍。當(dāng)然，也可以利用等量關(guān)系將需要求解的內(nèi)容用字母表示出來(lái)，通過(guò)一般規(guī)律對(duì)方案進(jìn)行理性篩選。