新課標背景下小學分數(shù)教材體系的重塑

摘 要 分數(shù)是小學數(shù)學公認的學習難點?，F(xiàn)行分數(shù)教材存在分數(shù)概念與整數(shù)概念缺乏實質貫通、分數(shù)運算與整數(shù)運算缺乏整體溝通、分數(shù)認識與分數(shù)運算缺乏系統(tǒng)融通等問題。在新課標實施、新教材修訂的背景下，重塑小學分數(shù)教材體系，是教材修訂者面臨的一大挑戰(zhàn)，也是一線教師關注的熱點問題。前移簡單分數(shù)乘除，促進分數(shù)認識與運算系統(tǒng)融通；強化分數(shù)度量意義，實現(xiàn)分數(shù)概念與整數(shù)概念本質貫通；運用計數(shù)單位工具，推動分數(shù)運算向整數(shù)運算整體轉化，可以實現(xiàn)對小學分數(shù)教材體系的重塑。

關 鍵 詞 新教材；新課標；分數(shù)與運算；教材體系

分數(shù)是小學數(shù)學公認的學習難點，也是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）的改革重點。重塑分數(shù)內容的教材體系，以充分體現(xiàn)新課標改革精神、有效化解分數(shù)學習難點，是教材修訂者面臨的一大挑戰(zhàn)，也是一線教師關注的熱點問題。本文從反思現(xiàn)行分數(shù)教材、研讀《新課標》出發(fā)，在合理吸收中外分數(shù)教材及其研究成果的基礎上，提出小學分數(shù)教材體系重塑的構想。

一、 現(xiàn)實反思：我國小學分數(shù)教材的主要問題

1.分數(shù)概念與整數(shù)概念缺乏實質貫通，導致整數(shù)知識向分數(shù)遷移不暢

分數(shù)概念的內涵非常豐富。我國現(xiàn)行小學數(shù)學教材中，分數(shù)主要包括比率、度量和除法三種意義。

分數(shù)的比率意義，意即將一個整體均分成若干等份，分數(shù)即為所表示的部分量（一等份或幾等份）與整體的比率；分數(shù)的度量意義，意即將均分整體得到的單位分數(shù)（一等分）作為度量單位，分數(shù)即為所表示的量用單位分數(shù)測量所得的結果，也即分數(shù)表示單位分數(shù)的迭代（累加）結果（即為單位分數(shù)的個數(shù)）；分數(shù)的除法意義，意即將分數(shù)視為兩個整數(shù)相除所得的商。

雖然比率意義是分數(shù)意義生成的根本[1]，但度量意義更能體現(xiàn)分數(shù)作為數(shù)的本質意義[2]。在分數(shù)的比率意義中，整體就是用作比較的標準量，實質上被當成了計數(shù)單位，也即分數(shù)可以表示成比率與計數(shù)單位的乘積。但比率一般不是整數(shù)，所以分數(shù)的比率表征與整數(shù)的計數(shù)模式（即整數(shù)都可表示成計數(shù)單位與所含個數(shù)的乘積）不相一致。而在分數(shù)的度量意義中，單位分數(shù)被當成了計數(shù)單位，也即分數(shù)可以表示成計數(shù)單位與所含個數(shù)的乘積，所以分數(shù)的度量表征與整數(shù)的計數(shù)模式一致，即與整數(shù)一樣都是數(shù)（shǔ）的結果，因此，分數(shù)的度量意義更能體現(xiàn)分數(shù)作為數(shù)的本質意義。

但我國現(xiàn)行各種版本小學數(shù)學教材中，過分強調比率意義、相對忽視度量意義，導致一些教師和學生將分數(shù)的意義等同于分數(shù)的比率意義。因為分數(shù)概念與整數(shù)概念未能實質貫通，造成整數(shù)知識向分數(shù)知識遷移受阻。

2.分數(shù)運算與整數(shù)運算缺乏整體溝通，導致分數(shù)乘除算法未能數(shù)學化

整數(shù)運算法則本是分數(shù)運算法則的知識基礎和重要支撐，但我國現(xiàn)行各種版本小學數(shù)學教材除分數(shù)加減運算外，在分數(shù)乘除運算法則的探索中，未能將其與整數(shù)乘除整體溝通。

現(xiàn)行各種版本的小學數(shù)學教材都將分數(shù)乘除運算內容安排在第三學段，除“分數(shù)乘整數(shù)”“分數(shù)除以整數(shù)”等特殊情形外，對“分數(shù)乘分數(shù)”“數(shù)（整數(shù)、分數(shù)）除以分數(shù)”等一般情形的算法探索主要依賴直觀和情境，而非基于分數(shù)概念和邏輯規(guī)則，將其轉化為整數(shù)運算。如對于“分數(shù)乘分數(shù)”，現(xiàn)行教材大多通過對長方形模型進行兩次均分，借助直觀操作得出算法；對于“數(shù)（整數(shù)、分數(shù)）除以分數(shù)”，現(xiàn)行教材大多通過均分操作或速度模型，借助具體情境得出算法。

對直觀操作和具體情境的過度依賴，不僅在思維層次上明顯滯后于第三學段學生的認知發(fā)展水平，而且得到的算法未能達到數(shù)學結論應該具有的一般性要求，即數(shù)學化，其算理也未能實現(xiàn)與整數(shù)運算本質上的一致性[3]。

3.分數(shù)認識與分數(shù)運算缺乏系統(tǒng)融通，導致分數(shù)內容的教學低質高耗

“數(shù)的認識與數(shù)的運算具有密切的聯(lián)系”“數(shù)的認識是數(shù)的運算的基礎，通過數(shù)的運算有助于學生更好地認識數(shù)?！盵4]但《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將分數(shù)的認識與分數(shù)的運算分別歸入“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”兩個學習主題，導致在內容安排與教學實施上，分數(shù)的認識與運算缺乏系統(tǒng)融通和必要呼應，造成分數(shù)內容教學低質高耗。

一方面，在分數(shù)學習的第一階段（3～4年級），內容安排主要集中于分數(shù)的初步認識，除了借助面積或數(shù)線等分數(shù)直觀模型，安排了分母不超過10的同分母分數(shù)加減運算外，分數(shù)的其他運算概未提及。因缺少足夠數(shù)量和類型的分數(shù)運算體驗，不少學生對分數(shù)的理解停留在分數(shù)比率意義的初始階段。由于對分數(shù)的度量意義缺乏認知，他們常常無法解釋現(xiàn)實生活中常見的非標準形式分數(shù)。如某同學在滿分為100的數(shù)學考試中得到85分，不少學生并不認可85是一個分數(shù)。因為它取的是分數(shù)的度量意義，沒有分數(shù)的標準外形，即分子、分母及分數(shù)線，所以一些學生不予認可。另一方面，分數(shù)學習的第二階段（5～6年級），在分數(shù)乘除運算法則的探索中，由于未能將其建立在分數(shù)概念本質意義（即計數(shù)單位的個數(shù)）的基礎之上，致使整數(shù)乘除運算法則的支撐作用不能充分發(fā)揮，導致分數(shù)乘除算法的探索只能從原始的直觀實物（模型）均分情境起步，極大影響了教學效率。

二、課標研讀：小學分數(shù)課程內容的改革要點

1.確立素養(yǎng)導向的課程目標

《新課標》確立了以“三會”為核心素養(yǎng)導向的課程目標，“把學生的數(shù)學學習提升到對現(xiàn)實世界的觀察、思考與表達的新境界，使得數(shù)學課程目標直接指向學生未來社會生活和職場情境中的思維模式和行事方式”[5]。在“分數(shù)與運算”教學中，“三會”主要表現(xiàn)為數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、推理意識五種數(shù)學關鍵能力（見表1）。

因此，創(chuàng)設面向現(xiàn)實世界的問題情境，讓學生“在探索真實情境所蘊含的關系中”[6]，逐步發(fā)展以上五個數(shù)學關鍵能力為重點的“三會”核心素養(yǎng)，是《新課標》對小學分數(shù)教學目標提出的新要求。

2.構建整體貫通的內容結構

結構化整合是新課標關于課程內容組織的改革重點[7]。新課標將數(shù)與代數(shù)中的“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”合并為一個主題“數(shù)與運算”，并提出“感悟數(shù)的概念本質上的一致性”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系”“體會數(shù)的運算本質上的一致性”[8]（簡稱“兩感悟、一體會”）等具體要求，就是對數(shù)與代數(shù)內容進行結構化整合的重要體現(xiàn)。具體到“分數(shù)與運算”，“兩感悟、一體會”就是要求感悟分數(shù)概念與整數(shù)、小數(shù)概念的一致性，以及分數(shù)四則運算之間的關系，體會分數(shù)運算與整數(shù)、小數(shù)運算本質上的一致性，構建“整”“分”“小”數(shù)概念縱向貫通、“加”“減”“乘”“除”四則運算橫向融通的“分數(shù)與運算”內容結構。

3.突出計數(shù)單位的基礎作用

計數(shù)單位是建立數(shù)的概念的基礎，數(shù)的概念又是進行數(shù)的運算的基礎，也即計數(shù)單位在“數(shù)與運算”中具有基礎性作用?！缎抡n標》在“分數(shù)與運算”的第一階段增加了“感悟分數(shù)單位”、第二階段增加了“感悟計數(shù)單位”，而分數(shù)單位本質上就是分數(shù)的計數(shù)單位，因此，增加上述內容就是為了突出計數(shù)單位的基礎性作用。一方面，借助分數(shù)的計數(shù)單位，每一個分數(shù)都可視為分數(shù)計數(shù)單位的累加結果，也即分數(shù)單位的個數(shù)，分數(shù)概念也就因此獲得了與整數(shù)概念本質上的一致性；另一方面，運用分數(shù)的計數(shù)單位，可將分數(shù)的四則運算順利轉化為整數(shù)的四則運算，分數(shù)運算也就因此獲得了與整數(shù)運算本質上的一致性。

三、體系重塑：小學分數(shù)教材內容的基本構想

1.在內容架構上，前移簡單分數(shù)乘除，促進分數(shù)認識與分數(shù)運算的系統(tǒng)融通

現(xiàn)行分數(shù)教材中分數(shù)的認識與分數(shù)的運算分屬兩個學習主題，兩者之間缺乏必要呼應。由于分數(shù)認識與分數(shù)運算的內在聯(lián)系被削弱，導致分數(shù)知識的學習低質高耗。因此，小學分數(shù)教材內容架構的重塑重點是促進分數(shù)認識與分數(shù)運算的系統(tǒng)融通。

依據(jù)將“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”合并為“數(shù)與運算”的內容重組思路，以及對3～4年級學生認知發(fā)展階段的基本判斷，可將5～6年級 “分數(shù)乘整數(shù)”與“整數(shù)乘分數(shù)”（積為真分數(shù)）、“同分母分數(shù)相除”（除數(shù)分子能夠整除被除數(shù)分子）、“分數(shù)除以整數(shù)”等簡單的分數(shù)乘除內容前移至3～4年級。通過前移上述內容對分數(shù)教材內容架構進行重塑，既具有可行性又具有科學性。

2=4，也即“同分母分數(shù)相除，用兩個分數(shù)的分子直接相除”。在實際教學中，可借助實物（模型）的均分操作，將相對抽象的分數(shù)單位用具象易感的一等份實物（模型）“小塊（片）”代替。借助這樣的實體“小塊（片）”，抽象的分數(shù)乘除運算問題就變?yōu)橘x予具體情境的整數(shù)乘除運算問題，完全能夠被3～4年級學生理解和接受。

之所以說前移上述運算具有科學性，是因為適當采用螺旋式方式呈現(xiàn)課程內容是小學數(shù)學課程的一個重要理念[9]，前移簡單的分數(shù)乘除內容，不僅可為后續(xù)分數(shù)運算教學進行必要鋪墊，分散5～6年級分數(shù)運算的學習難點，提高5～6年級分數(shù)內容的教學層次，還可使3～4年級學生借助簡單分數(shù)四則運算法則的探索過程，獲得對分數(shù)概念多重含義的全面體驗，促進分數(shù)認識與分數(shù)運算的整體融合。

2.在分數(shù)認識中，強化分數(shù)度量意義，實現(xiàn)分數(shù)概念與整數(shù)概念的本質貫通

現(xiàn)行分數(shù)教材因未能實現(xiàn)分數(shù)與整數(shù)概念的實質貫通，導致整數(shù)知識向分數(shù)遷移不暢。因此，小學分數(shù)教材分數(shù)認識的重塑重點是實現(xiàn)分數(shù)概念與整數(shù)概念的本質貫通。

關于分數(shù)概念教材的已有研究，主要分歧在于分數(shù)概念的引入方式以及應該強化分數(shù)的何種意義。

在分數(shù)概念的引入方式上，雖然有學者建議從“商”定義入手，以此為核心逐步給出分數(shù)的其他定義[10]。但中外現(xiàn)行各種教材幾乎都以“比率”（“份數(shù)”“部分/整體”）定義作為分數(shù)學習的起點。從數(shù)學的觀點看，“商”的定義源自整數(shù)除法推廣的需要，也是創(chuàng)造分數(shù)的內在動力，用它引入分數(shù)定義似乎更為科學。但從認識的角度看，學生在接受正式的分數(shù)教育前，已經具備了分割計數(shù)的生活經驗，借助分割計數(shù)的直觀操作引入分數(shù)，更容易完成個體對分數(shù)概念的初步構建。因此，沿用現(xiàn)行教材以部分/整體的“比率”定義引入分數(shù)更為可行。

在應該著重強調的分數(shù)意義方面，各國不同版本教材存在差異：中、美等國教材突出“比率”意義，日本、新加坡等國教材重視“度量”意義[11]。但學者們對這個問題的看法比較一致，即要強化分數(shù)的度量意義。如不宜過分強調“份數(shù)”（“比率”）定義，在數(shù)直線上對分數(shù)作幾何解釋（“度量”定義）非常重要[12]；認識分數(shù)之初強調“比率”意義會給學生學習帶來困難，要強化分數(shù)作為數(shù)（量）的涵義[13]，等等。

事實上，分數(shù)的度量意義，是溝通分數(shù)各種表征形式、促進分數(shù)理解的有力工具。從分數(shù)度量意義的視角去觀察，分數(shù)概念與整數(shù)概念在本質上具有一致性，它們都可視作計數(shù)單位的迭代（累加）結果。因此，強化分數(shù)的度量意義，可以實現(xiàn)分數(shù)與整數(shù)的概念貫通，打通整數(shù)知識向分數(shù)知識遷移的通道，把“整數(shù)偏向”[14]對兒童學習分數(shù)的抑制因素，轉化為整數(shù)知識對兒童分數(shù)學習的支撐因素，進而提高分數(shù)學習的質量和效率。

強化分數(shù)度量意義遇到的現(xiàn)實問題是，教學時間從何而來？現(xiàn)行教材分數(shù)比率意義的時間安排較為充裕，但壓縮其教學時間，可能會影響小學生對分數(shù)比率意義的理解。由于單位“1”概念的引入，導致小學生理解分數(shù)的比率意義變得困難。根據(jù)本文第一部分的分析，在分數(shù)比率意義中，被均分的整體實質上被當作了單位量，即用來計數(shù)的比較標準，將其稱為單位“1”本身沒有問題，但要讓小學生在更短時間內，理解整體所具有的“單位”屬性，客觀上并不容易。

一個可行的做法是，在分數(shù)比率意義教學中，刪除單位“1”的概念，為分數(shù)度量意義的強化騰出時間。事實上，單位“1”概念對分數(shù)的比率意義并非不可或缺。如現(xiàn)行北師大版、滬教版等教材在表達分數(shù)的比率意義時，就沒有出現(xiàn)單位“1”而是直接使用“整體”這個概念。如果沒有單位“1”，有些教師可能擔心，在后續(xù)解決與一個整體比率有關的分數(shù)應用題時，小學生不能理解為什么可將整體視為“1”。其實，借助與整體比率有關的具體問題情境，讓小學生明白這一點并不難。因為說到一個量相對于一個整體的比率時，實質上是將這個整體作為比較標準，看這個量占整體的幾分之幾。求整體相對于自身的比率，就是將自身作為比較標準，用整體與自身相比。不管問題情境中的整體被分成了多少等份，表示整體比率的分數(shù)中分子與分母都相等，都是將均分整體得到的各個等份全部取出的總份數(shù)，也即整體相對于自身的比率為“1”，因此可將整體視為“1”。

分數(shù)度量意義的強化，消除了分數(shù)概念與整數(shù)概念之間的隔膜，使得分數(shù)問題轉化成整數(shù)問題成為可能。但要順利實現(xiàn)上述轉化，最大的挑戰(zhàn)來自分數(shù)的計數(shù)單位。因為分數(shù)的計數(shù)單位與整數(shù)的計數(shù)單位內在性質不同，整數(shù)的任意兩個相鄰計數(shù)單位之間具有統(tǒng)一的十進關系，而分數(shù)的計數(shù)單位之間沒有這樣的進率關系。因此，根據(jù)分數(shù)的度量意義，雖然分數(shù)問題一般都可轉化為整數(shù)問題，但對于含有兩個以上不同計數(shù)單位的分數(shù)問題，如何處理計數(shù)單位，往往成為能否成功解決問題的關鍵。

3.在分數(shù)運算中，運用計數(shù)單位工具，推動分數(shù)運算向整數(shù)運算的整體轉化

現(xiàn)行分數(shù)教材因分數(shù)運算與整數(shù)運算缺乏整體溝通，導致分數(shù)乘除算法未能實現(xiàn)數(shù)學化。因此，小學分數(shù)運算教材的重塑重點是實現(xiàn)分數(shù)乘除算法的數(shù)學化。

關于分數(shù)運算教材的已有研究，重點指向分數(shù)除法。在實現(xiàn)分數(shù)除法算法數(shù)學化方面，主要有三種思路[15]：第一種（日本教材），先討論“分數(shù)除以整數(shù)（整數(shù)能夠整除分子）”這一特殊情形，再依次將“分數(shù)除以整數(shù)（整數(shù)不能整除分子）”轉化為“分數(shù)除以整數(shù)（整數(shù)能夠整除分子）”（分數(shù)的分子與分母同時乘以整數(shù)）、“數(shù)（整數(shù)、分數(shù)）除以分數(shù)”轉化為“分數(shù)除以整數(shù)”（被除數(shù)與除數(shù)同時乘以除數(shù)分數(shù)的分母）；第二種（美國教材），先討論“同分母分數(shù)相除”（借助分數(shù)的計數(shù)單位，轉化為整數(shù)包含除法，參見本文第三部分（一）），再依次將“整數(shù)除以分數(shù)”化為“同分母分數(shù)相除”（整數(shù)寫成與除數(shù)分數(shù)分母相同的分數(shù)）、“異分母分數(shù)相除”化為“同分母分數(shù)相除”（通分）；第三種（學者觀點），先通過形式化的邏輯推理得出：“在整數(shù)除法中，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”（簡要過程：由“被除數(shù)÷除數(shù)=？”得到“被除數(shù)=？×除數(shù)”；由“被除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)=？×除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)”得到“被除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)=？”，從而有“被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)”），再將這個結論推廣到分數(shù)除法中去。

上述三種思路雖然都能實現(xiàn)分數(shù)除法算法的數(shù)學化，但第一、三種思路主要依據(jù)相關的數(shù)學關系、性質及基本事實，屬于基于邏輯規(guī)則的抽象化形式推演；第二種思路直接運用計數(shù)單位將分數(shù)化為“整數(shù)”，從而將分數(shù)除法轉化為整數(shù)除法，屬于對已有運算模式的關聯(lián)性意義轉換。兩者比較，雖然第一、三種思路能夠訓練和發(fā)展學生的抽象思維能力，但第二種思路更能實現(xiàn)對分數(shù)概念本質的深度認識，更能體會分數(shù)與整數(shù)除法本質的一致性，更能感悟分數(shù)除法算法與分數(shù)加減算法思考方法的相似性。因而是重塑分數(shù)除法內容的理想選擇。

作為《新課標》在“分數(shù)與運算”中著重強調的課程內容，計數(shù)單位是分析和研究分數(shù)運算的絕佳工具。運用這個工具，可以推動分數(shù)運算向整數(shù)運算的整體轉化，充分體現(xiàn)分數(shù)與整數(shù)四則運算本質的一致性。以分數(shù)乘法為例，說明運用計數(shù)單位推動分數(shù)運算向整數(shù)運算轉化的基本思路，并據(jù)此實現(xiàn)分數(shù)乘法算法的數(shù)學化，完成對分數(shù)乘法教材內容的重塑。下面按分數(shù)學習的兩個階段分別陳述：

第一階段（3～4年級），安排“分數(shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分數(shù)”（積為真分數(shù)）等特殊情形。借助計數(shù)單位，將其轉化為整數(shù)相關運算，具體的轉化思路與同分母分數(shù)除法類似，參見本文第三部分（一）。

對小學分數(shù)教材體系的重塑，為分數(shù)教學落實《新課標》精神提供了重要支撐。在教學實施中還需要建立分數(shù)學習內容與五種數(shù)學關鍵能力的關聯(lián)，確立核心素養(yǎng)立意的學科育人思維。只有這樣，以五種數(shù)學關鍵能力為主要表現(xiàn)的“三會”導向課程目標才可能在“分數(shù)與運算”學習中有效實現(xiàn)。

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