基于傅里葉變換的雷電磁頻譜研究

摘" 要： 為了研究直擊雷和感應雷的電磁頻譜特性，采用Matlab仿真軟件繪制出標準雷電流波形圖，再通過快速傅里葉變換分析標準的雷電流波形的頻譜特性，并提取出雷電流波形在相應頻域的有害頻率范圍，最后從頻譜圖中提取雷電流的基波和高次諧波，取前5次諧波的幅值與相位還原諧波的函數(shù)表達式。通過分析有害諧波存在的頻率范圍和過濾有害諧波的科學方法，為雷電磁脈沖輻射防護措施的制定提供了參考依據(jù)。

關鍵詞： 雷電磁頻譜； 快速傅里葉變換； 直擊雷； 感應雷； 雷電流波形； 諧波提取

中圖分類號： TN712+.1?34； O441.4" " " " " " " " 文獻標識碼： A" " " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2024）24?0013?05

Research on lightning magnetic spectrum based on Fourier transform

SUN Junmin

（School of New Energy， Longdong University， Qingyang 745000， China）

Abstract： In order to study the magnetic spectrum characteristics of direct lightning and inductive lightning， the standard lightning current waveform is drawn by means of Matlab simulation software. The spectral characteristics of the standard lightning current waveform is analyzed by means of fast Fourier transform， and the harmful frequency range of the lightning current waveform in the corresponding frequency domain is extracted. The fundamental wave and high?order harmonics of the lightning current are extracted from the spectrum， and the amplitude and phase of the first 5 times harmonics are extracted to restore the function expression of the harmonics. The frequency range of harmful harmonics is analyzed and the scientific methods are used to filter them， which can provide a reference for the development of lightning magnetic pulse radiation protection measures.

Keywords： lightning magnetic spectrum; fast Fourier transform; direct lightning; inductive lightning; lighting current waveform; harmonic extraction

0" 引" 言

雷電是一種劇烈的大氣靜電放電現(xiàn)象，據(jù)統(tǒng)計，全球每秒約有上百次雷擊現(xiàn)象，每小時內(nèi)全球有1 600場雷雨發(fā)生，雷電經(jīng)常以放電的形式發(fā)生在雷云與大地之間以及相近的雷云之間。

在科技進步的同時，人們不斷探索雷電的發(fā)生機制，目的是把雷電對人類的生活危害降到最低[1?4]。從雷電防護的意義上來說，直擊雷是雷電直接擊中地面物體與設備，并且傳導至地下的雷擊現(xiàn)象，其放電電流和電壓非常大，對周邊物體的破壞力不言而喻；但是直擊雷卻很難發(fā)生，只占到所有雷擊的[110]。感應雷對電子設備造成的危害最多，感應雷也稱為雷電感應或感應過電壓，會產(chǎn)生很強的電場和磁場，能夠在金屬導體中產(chǎn)生感應電壓和電流，經(jīng)傳輸通道侵入弱電系統(tǒng)，破壞電子設備。感應雷產(chǎn)生的過電壓峰值高達上萬伏，過電流峰值也有上千安，一般的電子設備承受不了如此高的電壓和電流，帶來了巨大的破壞和經(jīng)濟損失[5?9]。

現(xiàn)實生活中，人們的關注主要集中在直擊雷，許多防護直擊雷的設施被布置在建筑物中，但是對于感應雷的防護則少之又少。本文通過分析感應雷的電磁頻譜特性得出感應雷的諧波危害頻段，對感應雷的研究具有重要意義。

1" 雷電流波形分析

雷電是云層之間、云層與大地之間的一種放電現(xiàn)象。其中標準直擊雷?電?流?波?形?如?圖1所?示，標準感應雷電流波形如圖2所示。從圖中可以得到[820]波的峰值I為20 kA，T1波頭時間為8 μs，T2半值時間為20 μs。在感應雷電流波形圖的上升階段，尤其在到達峰值90%之前，波形陡峭，從數(shù)學的角度描述就是一階導數(shù)比較大。

Matlab是MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，是用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境，后來逐漸發(fā)展為可視化程度比較高，可以進行復雜交互式程序設計的開發(fā)平臺。在Matlab軟件的迭代過程中，引入了Simulink，這是一個可以進行圖形仿真的工具，可以在Matlab平臺上動態(tài)建模。Matlab軟件簡化了科學研究者的手工計算量，讓龐大且復雜的科學計算變得容易。

2" 雷電流頻譜特性分析

2.1" 傅里葉變換原理

本文的電磁脈沖頻譜分析是使用Matlab來實現(xiàn)對信號的頻譜分析。在數(shù)字信號處理中，常用傅里葉變換把“信號函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“頻譜函數(shù)”，實現(xiàn)時間變量向頻率變量的轉(zhuǎn)化[10?13]。

用計算機計算連續(xù)時間信號的頻譜時，需要用到離散時間傅里葉變換，將x（t）的抽樣值以離散時間信號[xn]的形式表示，進行離散傅里葉變換（DFT），如式（1）所示。

[X（ωT）=DFT⊕xn=n=-∞+∞xne-jnωT]" （1）

然而，因為[X（ωT）]是與頻率相關的連續(xù)函數(shù)，不能由計算機直接表示，需要一個離散頻率樣本來近似分析[X（ωT）]。為了能夠取到所有的[xn]，需要一個足夠大的N來進行取值，因此得到一個用于計算的樣本集，如下：

[xNn=xnωn=xn，" n=0，1，2，…，N-10，" " " " "其他] （2）

[X（ωT）=DFTxn=n=-∞+∞xne-jnωT] （3）

結(jié)合式（2）、式（3）得到樣本集xN[n]的頻譜，如式（4）所示。

[xNωT=DFTxNn=n=-∞+∞xne-jnωT=n=0N-1xNne-jnωT]" " " （4）

將ωT=2π代入，可將離散序列[xNωT]表示為：

[X（k）=XN2πkN，" k=0，1，2，…，N-1] （5）

因此，可得到對離散時間信號的離散傅里葉變換，如式（6）所示。

[X（k）=DFTxn=n=0N-1xne-j2πknN] （6）

快速傅里葉變換（FFT）的提出?，?主?要?解?決了?離散傅里葉變換的計算量問題。對???于?有?限?長?的離?散時域信號，可以用離散傅里葉變換轉(zhuǎn)化為有限長的離散頻譜信號。

2.2" 繪制直擊雷電流波形和頻譜

2.2.1" 直擊雷電磁頻譜繪制

利用Getdata軟件從圖1標準直擊雷電流波形中獲取140對坐標點，利用Matlab軟件加載命令以及plot函數(shù)完成直擊雷波形的重構，如圖3所示。

完成波形重構時，使用Photoshop軟件需確定其還原后的波形與原波形是否有著較高的擬合度，只有有較高的擬合度才可以說明取點過程的準確性，才可以進行下一步的頻譜分析工作。原波形與重構波形的擬合結(jié)果如圖4所示，可以看到擬合精度較高，偏差很小。

2.2.2" 直擊雷電磁頻譜分析

將前面得到的140組數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換后得到頻譜。設置采樣頻率為[140600] MHz，其中600代表原波形中時間的最大值。得到的頻率、采樣點數(shù)、時間與幅值的關系圖如圖5所示。

圖5由3張圖構成，包括時間與電流幅值、采樣點數(shù)與電流幅值以及頻率與振幅的關系圖，完整地展示了時域向頻域轉(zhuǎn)化的過程。

在完?成?波?形?重?構?后?，??為了得到直擊雷頻譜的各次諧波組成，需要使用stem函數(shù)對傅氏變換得到的結(jié)果進行離散處理。使用stem函數(shù)得到離散的頻譜如圖6所示，完成了對直擊雷頻譜主要成分的提取。

對該頻譜圖中的直流分量及諧波成分進行統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如表1所示。從圖6數(shù)據(jù)可以看出：直擊雷電流的頻譜在0～15 MHz振幅變化明顯；頻率從1.438 8 MHz開始，譜線呈下降趨勢；在15 MHz左右時，幅值基本降為0。N次諧波的頻率是基波（1次諧波）的N倍，在1次諧波時取得最大幅值，而后一直下降，2次和5次諧波的相位出現(xiàn)了負值。

結(jié)合表1所得數(shù)據(jù)和式（7）：

[i（t）=Imsin2πfn+φn]" " " " （7）

計算前5個諧波幅值與時間的函數(shù)關系，公式如下：

[i1（t）=94.42×103sin（2πt×1.43×106+0.94π）]

[i2（t）=17.37×103sin（2πt×2.87×106-0.16π）]

[i3（t）=4.94×103sin（2πt×4.31×106+0.81π）]

[i4（t）=2.19×103sin（2πt×5.75×106+0.69π）]

[i5（t）=0.98×103sin（2πt×7.19×106-0.24π）]

式中t的單位為μs。

通過以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)對直擊雷的諧波防護是必要的，因此可通過在信號系統(tǒng)增加相應的濾波設備來減少低頻段電流對系統(tǒng)的破壞。

2.3" 繪制感應雷電流波形和頻譜

2.3.1" 感應雷電磁頻譜繪制

利用Getdata軟件從圖2標準感應雷電流波形中獲取210對坐標點，利用Matlab軟件加載命令以及plot函數(shù)完成感應雷電流波形的重構，如圖7所示。

雖然通過Matlab軟件還原了8/20感應雷電流波形圖，但是需要確定還原后的波形圖與原圖是否能很好的擬合，只有完整擬合才能確定所取的點坐標是準確無誤的，才能對這些采樣點數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換，得到頻譜圖從而繼續(xù)研究。通過Adobe Photoshop CC軟件進行波形的擬合，如圖8所示。從圖中可以看出，通過Matlab繪制的波形圖與原圖擬合很好，基本沒有偏差。

2.3.2" 感應雷電磁頻譜分析

以Getdata軟件中采樣的210對坐標為基礎，在Matlab軟件中繪制出原圖像并且進行傅里葉變換，再采用subplot函數(shù)繪制在一張圖中，如圖9所示。

通過傅里葉變換后的圖像兩邊陡、中間平穩(wěn)。感應雷電流波形頻譜圖如圖10所示。

從圖10中可以看出，雷電波頻譜中振幅在剛開始的時候特別高，之后在低頻帶寬內(nèi)驟減，感應雷電流波形頻譜主要集中在低頻段。

為了分析感應雷諧波的成分，需要從感應雷電流頻譜圖中提取有關的數(shù)據(jù)，本文提取了從基波到5次諧波的幅值，如圖11所示。

通過提取感應雷電流頻譜圖中的有害諧波，得到表2所示的數(shù)據(jù)。

從表2中可以看出，感應雷電流頻譜圖中所含有的直流分量為9.221 6 kA，N次諧波的頻率是1次諧波（也稱為基波）的N倍。幅值在1次諧波時取得最大值，之后大幅降低，到5次諧波時僅有58 A。1次諧波的8 877.1 A比5次諧波的電流大了約153倍，可見感應雷的幅值隨頻率的增加而下降得非?？臁?個諧波中只有1次諧波的相位是負數(shù)，其他諧波的相位均為正值。

已知點[n]在快速傅里葉變換之后可以用一個復數(shù)表達，假設這個復數(shù)為[a+bi]，可以輕松求出其模值[An=a2+b2]，其相位可以表示為[Pn=atan（b，a）]，那么高次諧波的函數(shù)表達式為：

[fn=2AnM·cos（2πft+Pn）]" " （8）

式中：fn代表n點的頻率；M表示采樣點數(shù)，在本文中為210。

理論上就可以求出高次諧波的函數(shù)表達式，但是從頻譜圖中可以直接提取出各次諧波對應的幅值，所以可以通過公式（9）進行簡化計算，得出高次諧波的函數(shù)表達式。

[fn=An·cos（2πft+Pn）] （9）

式中[An]表示n點的幅值。

從表2列出的參數(shù)可以得到各次諧波的函數(shù)表達式，如下：

[f1=8 877.1cos（1.913 8×106πt-0.907 2π）]

[f2=1 373.6cos（3.827 8×106πt+0.419 4π）]

[f3=320.5cos（5.741 6×106πt+0.837 7π）]

[f4=282.2cos（7.655 6×106πt+0.597 6π）]

[f5=58cos（9.569 4×106πt+0.088 2π）]

通過在弱電系統(tǒng)中加入能去除諧波所在頻段的濾波設備，就可以降低感應雷對弱電系統(tǒng)的危害。

3" 結(jié)" 論

本文從時域分析了直擊雷和感應雷電流波形，又通過快速傅里葉變換從頻域研究其頻譜特性。通過研究感應雷電流特征，在頻域直觀地發(fā)現(xiàn)感應雷電流所處的頻段，進而研究防護方法，這對于防護感應雷給人類生活帶來的危害意義重大。通過增加有效的電感和電容，能濾除這些有害的頻段，達到防護的目的。

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作者簡介：孫軍民（1993—），男，甘肅人，碩士研究生，講師，從事復雜電磁環(huán)境防護與安全評估的研究工作。