模型觀念：內(nèi)涵、培養(yǎng)路徑及教學示例

【摘 要】培養(yǎng)學生的模型觀念是義務(wù)教育階段數(shù)學教育的重要目標之一?；趯δＰ陀^念的內(nèi)涵理解，教師可以從以下三個途徑優(yōu)化應(yīng)用類問題教學：緊貼生活，呈現(xiàn)實際問題的原生性；合作探究，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程性；分步實施，體悟數(shù)學建模的階段性。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；模型觀念；數(shù)學學科德育；數(shù)學建模能力；應(yīng)用類問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）39-0046-05

【作者簡介】孫凱，江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校（江蘇蘇州，215151）教師，高級教師。

數(shù)學是一門邏輯性很強的基礎(chǔ)科學，也是一種應(yīng)用廣泛的技術(shù)。數(shù)學應(yīng)用性的實現(xiàn)途徑主要是數(shù)學建模。近年來，國際數(shù)學教育界越來越重視數(shù)學建模，都將培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力作為重要內(nèi)容寫入數(shù)學課程標準。［1］我國數(shù)學教育也尤為注重學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)。根據(jù)學生的心理特征和認知水平，新的數(shù)學課程標準在小學、初中、高中三個學段分別提出了模型意識、模型觀念和數(shù)學建模的課程目標和教學要求。

為了凸顯數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，蘇科版初中數(shù)學教材中設(shè)置了大量與生活實際緊密聯(lián)系的問題情境（尤其在數(shù)學概念和數(shù)學知識應(yīng)用的內(nèi)容部分），但這些問題情境的教學目標單一，問題的數(shù)學化程度高，更側(cè)重于建構(gòu)標準數(shù)學模型求解問題，有利于培養(yǎng)學生模型觀念的再現(xiàn)水平，在模型觀念的聯(lián)系和反思水平上卻表現(xiàn)不足。在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)這些問題情境具有簡化性、封閉性、確定性等特征，與綜合性、開放性、不確定性的數(shù)學建模問題相比，這樣的問題情境難以驅(qū)動學生完整經(jīng)歷數(shù)學建模活動過程，培養(yǎng)初中生模型觀念的效果不佳。

一、模型觀念的內(nèi)涵

1.對模型觀念的理解

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確提出，要培養(yǎng)初中生的模型觀念。模型觀念是指初中生在解決實際問題時，對建立數(shù)學模型，求解模型并驗證結(jié)果，最終闡釋實際問題的過程有清晰的認識。具體要求為，“對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識，知道數(shù)學建模是數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑，初步感知數(shù)學建模的基本過程，逐步建立模型觀念”［2］。

模型觀念是一種基于對數(shù)學概念的理解，逐步形成的對數(shù)學模型特征、問題與思考方式的理性認識；模型意識是一種數(shù)學學習經(jīng)驗的積累，是學生在簡單數(shù)學建?；顒又行纬傻母行哉J識；建模能力是一種穩(wěn)定的心理特征，是學生經(jīng)歷數(shù)學建模活動，在問題解決的過程中形成的數(shù)學能力和思維品質(zhì)。［2］51小學、初中、高中階段學生的數(shù)學建模表現(xiàn)如圖1所示。相較于“數(shù)學建模的能力”而言，“模型觀念的認識”的要求稍微低一些，這與初中生數(shù)學知識和能力水平不高以及掌握的數(shù)學模型有限等因素相關(guān)。從模型觀念的“認識”的內(nèi)容看，主要包括“運用數(shù)學模型”“解決實際問題”兩個方面；從“認識”的過程看，主要包括從實際問題中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計、概率等數(shù)學模型，求解模型獲得數(shù)學結(jié)果，討論結(jié)果的意義并闡釋問題。［3］模型觀念的功能體現(xiàn)在讓學生知道數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學世界與現(xiàn)實世界的基本途徑，其意義在于在問題解決的過程中提高數(shù)學語言表達能力，感悟數(shù)學應(yīng)用價值。

2.模型觀念與數(shù)學建模的關(guān)系

新課標給出了數(shù)學建模的基本過程。研究發(fā)現(xiàn)，模型觀念下的數(shù)學建?；具^程與《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂》（以下簡稱“高中數(shù)學新課標”）中數(shù)學建模的過程基本一致，一般將其簡稱為數(shù)學建模五階段循環(huán)模型［4］（如圖2），具體包括：從現(xiàn)實原型簡化出現(xiàn)實模型（實際模型），從現(xiàn)實模型數(shù)學化形成數(shù)學模型（數(shù)學形式），求解數(shù)學模型獲得結(jié)果，用數(shù)學結(jié)果解釋現(xiàn)實問題，解答并驗證現(xiàn)實問題。

模型觀念是對數(shù)學建模的一種認識，學生的模型觀念必然形成于數(shù)學建模活動，因此，開展數(shù)學建模活動是培養(yǎng)學生模型觀念的重要路徑。數(shù)學建?；顒泳哂鞋F(xiàn)實性、開放性、過程性、階段性等特征。數(shù)學建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是“現(xiàn)實原型—實際模型—數(shù)學形式”這一子過程。［5］從這個維度看，蘇科版初中數(shù)學教材上提供的數(shù)學概念類問題情境和數(shù)學知識應(yīng)用類問題情境非常適合開展數(shù)學建模活動，但這些問題情境削弱甚至缺失了數(shù)學建模的簡化環(huán)節(jié)、數(shù)學化環(huán)節(jié)，教師在教學時可根據(jù)教學需要對其進行改編和優(yōu)化。

二、模型觀念的培養(yǎng)路徑

創(chuàng)設(shè)真實、合適的問題情境是培養(yǎng)模型觀念的基礎(chǔ)，經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程是形成模型觀念的必經(jīng)路徑。［6］初中代數(shù)的許多應(yīng)用問題具備了數(shù)學建?；顒拥牟糠痔攸c，有助于學生形成與發(fā)展模型觀念。［3］80在蘇科版初中數(shù)學教材中，方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計、概率等內(nèi)容適合開展數(shù)學建模教學活動。從數(shù)學建?；顒舆^程看，以現(xiàn)實原型為背景的數(shù)學應(yīng)用類問題（以下簡稱“應(yīng)用題”），適合開發(fā)和組織數(shù)學建模活動?；趯μK科版初中數(shù)學教材設(shè)置的問題情境的理解和認識，以教材提供的應(yīng)用題為基礎(chǔ)，筆者建議從以下三個途徑優(yōu)化應(yīng)用題教學，培養(yǎng)學生的模型觀念。

1.緊貼生活，呈現(xiàn)實際問題的原生性

原生性是對實際問題屬性的一種描述，是指實際問題應(yīng)源于學生身邊熟悉的現(xiàn)實生活現(xiàn)象，不加任何簡化、假設(shè)和修飾，表現(xiàn)出現(xiàn)實原型的原始樣態(tài)。原生性的實際問題與傳統(tǒng)的應(yīng)用題相比，具有真實性、綜合性、復(fù)雜性、開放性、挑戰(zhàn)性等特點，在培養(yǎng)學生的數(shù)學化能力上具有重要價值。事實上，在現(xiàn)實生活中，我們遇到的絕大多數(shù)問題都是“原生態(tài)”的。就數(shù)學學科而言，往往需要問題解決者會用數(shù)學的眼光對實際問題進行觀察和抽象，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，用數(shù)學的語言建立數(shù)學模型并求解。因此，在應(yīng)用題教學中，教師應(yīng)根據(jù)學生的認知水平，以教材上與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系的應(yīng)用題為基礎(chǔ)，結(jié)合真實的現(xiàn)實生活對其加以“回溯”，追根溯源，弱化數(shù)據(jù)信息，還原真實的問題原型，凸顯實際問題的真實性、開放性、原生性，以更“原生”的樣態(tài)呈現(xiàn)給學生，創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學建模情境。

2.合作探究，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程性

原生性的問題情境為學生提供了良好的建模載體，這種問題情境具有綜合性、復(fù)雜性、開放性、挑戰(zhàn)性的特征，適宜使用“自主+合作”探究的學習方式。教學中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學生獨立探究與合作探究相結(jié)合，積極參與相對完整的數(shù)學建?；顒?，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程。數(shù)學建?；顒右话惆ㄒ韵聨讉€環(huán)節(jié)。

（1）簡化原生性問題，形成現(xiàn)實原型；

（2）現(xiàn)實模型數(shù)學化，建立數(shù)學模型；

（3）求解數(shù)學模型，獲得數(shù)學結(jié)果；

（4）運用數(shù)學結(jié)果解釋現(xiàn)實原型；

（5）根據(jù)驗證結(jié)果，修正模型。

學生只有經(jīng)歷相對完整的數(shù)學建模活動過程，才能從對數(shù)學建模的初步感知發(fā)展到對數(shù)學建模的清晰認識，從而逐步發(fā)展模型觀念。

3.分層實施，體悟數(shù)學建模的階段性

國內(nèi)外學者對數(shù)學建模內(nèi)涵的認識是多維度的，比較有代表性的理解有三種：數(shù)學建模是一種活動過程，數(shù)學建模是一種數(shù)學思想，數(shù)學建模是一種數(shù)學能力。［7］三種理解是學科視點的差異，雖側(cè)重點不同，但沒有本質(zhì)上的差別?；趯Ω咧袛?shù)學新課標中數(shù)學建模的理解，結(jié)合新課標中關(guān)于“數(shù)學建模的基本過程”的分析，筆者將數(shù)學建模理解為在數(shù)學建?；顒舆^程中培養(yǎng)學生的模型觀念。數(shù)學建模是一個相對完整的活動過程，在整個過程中大致可以分為五個階段，每個階段對模型觀念培養(yǎng)的側(cè)重點不同。例如，在將原生性問題（現(xiàn)實原型）簡化為現(xiàn)實模型階段，教學側(cè)重點在于引導(dǎo)學生分析和思考問題的相關(guān)影響因素，剔除次要因素，確定主要因素，對原生性問題進行必要的簡化、假設(shè)、抽象，體會數(shù)學建模中簡化環(huán)節(jié)的重要性。又如，在將現(xiàn)實模型數(shù)學化建立數(shù)學模型階段，教學側(cè)重點在于培養(yǎng)學生的數(shù)學化能力，具體包括關(guān)系梳理、主要因素分析、數(shù)據(jù)收集、主要問題篩選、提出問題、符號表征等。通過數(shù)學建?；顒与A段性的分步實施，驅(qū)動學生體悟建?；顒舆^程，發(fā)展模型觀念。

三、教學示例

1.教學內(nèi)容

蘇科版初中數(shù)學八年級上冊第6章第4節(jié)“用一次函數(shù)解決問題”第1課時。

2.教學目標

（1）能從實際問題中抽象出數(shù)學問題，并建立函數(shù)模型并求解，在用一次函數(shù)表述數(shù)量變化及其關(guān)系的過程中，發(fā)展模型觀念；

（2）經(jīng)歷“現(xiàn)實問題—數(shù)學問題—建立模型—求解驗證”的數(shù)學活動過程，積累數(shù)學建?；顒咏?jīng)驗；

（3）在問題的解決過程中，感悟數(shù)學的抽象性、嚴謹性和應(yīng)用的廣泛性，體會數(shù)學的應(yīng)用價值。

3.教學過程

（1）呈現(xiàn)原生問題

【問題情境1】玉龍雪山

踏進麗江，首先映入眼簾的是那拔地而起的巍巍玉龍雪山。玉龍雪山為云南省麗江市境內(nèi)雪山群，由13座山峰從南向北縱向排列組成，宛如一條“巨龍”騰越。遠眺玉龍雪山，能看到一條黑白分明的分界線，人們把它稱為“雪線”。雪線以上銀裝素裹、云霧繚繞，雪線以下山林密布、湖水相依。近年來，很多游客包括麗江本地人都說，玉龍雪山上的雪，遠不及以前壯觀了。由于氣候變暖等原因，玉龍雪山的雪線每年都在上升，這樣下去雪線是否會退至山頂而消失？

【教學說明】呈現(xiàn)原生性的問題情境，引導(dǎo)學生用數(shù)學的眼光觀eac5969c21f403149b88c6319273de75察現(xiàn)實生活中的問題，從實際問題中抽象出數(shù)學問題，建構(gòu)適切的數(shù)學模型并求解，會用求解的數(shù)學結(jié)果解釋實際問題。在這里，將教材上的原問題情境中的數(shù)據(jù)剔除（主峰海拔5596m，雪線海拔4500m），意在呈現(xiàn)真實問題的現(xiàn)實原型，凸顯問題情境的現(xiàn)實性、真實性、開放性，激發(fā)學生探究問題的興趣。

（2）簡化現(xiàn)實原型

學生活動預(yù)設(shè)：小組合作嘗試將原生性問題進一步抽象，進行數(shù)學化表達，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，制訂解決問題的方案。

影響因素預(yù)設(shè)：全球性氣候變暖；冰雪消融量增加，冰雪來源減少；大量游客涌上玉龍雪山與冰川親密接觸，也使得冰川冰雪加快融化。

【教學說明】因原生性問題中沒有提供相關(guān)數(shù)據(jù)，學生一開始是茫然的、手足無措的。但隨著對影響因素的分析，學生逐步認識到要收集主要影響因素的數(shù)據(jù)，并對問題進行必要的簡化和假設(shè)，從現(xiàn)實原型中簡化出現(xiàn)實模型，形成數(shù)學問題。

（3）建構(gòu)現(xiàn)實模型

教師提供數(shù)據(jù)：主峰海拔5596m，雪線海拔4500m，麗江玉龍雪山冰川與環(huán)境觀測站觀測發(fā)現(xiàn)2003年至2008年，玉龍雪山雪線上升約50m。

數(shù)學問題：玉龍雪山由13座山峰組成，主峰海拔5596m，在海拔4500m處的雪線平均每年上升約10m。假設(shè)雪線的高度按此速度不斷變化，幾年后玉龍雪山的雪線將由現(xiàn)在的海拔4500m退至山頂而消失？

【教學說明】在建構(gòu)現(xiàn)實模型環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、抽象、假設(shè)等階段性建模過程，在探究中分析、篩選主要影響因素，確立時間與雪線海拔兩個主要因素，為建立數(shù)學模型作鋪墊。結(jié)合主要影響因素的數(shù)據(jù)信息，進一步對現(xiàn)實模型進行數(shù)學化表達，形成清晰的數(shù)學問題。

（4）建立數(shù)學模型

建構(gòu)模型：玉龍雪山問題情境中的數(shù)學模型具有一定的開放性，預(yù)設(shè)學生會建構(gòu)不同的數(shù)學模型求解。

活動預(yù)設(shè)：模型1—算術(shù)模型：（5596-4500）/10；模型2—方程模型：設(shè)經(jīng)過x年玉龍雪山的雪線將退至山頂，根據(jù)題意，得10x+4500 = 5596（求解略）；模型3—函數(shù)模型：設(shè)雪線海拔為y（m），時間為x（年），則函數(shù)表達式為y=10x+4500。

【教學說明】鼓勵學生建立不同的數(shù)學模型求解數(shù)學問題，體現(xiàn)模型的多樣性，引導(dǎo)學生比較不同數(shù)學模型的優(yōu)劣，凸顯函數(shù)模型的優(yōu)越性。

（5）求解數(shù)學模型（略）

【教學說明】教學中教師還可以根據(jù)數(shù)學模型的求解結(jié)果，實施數(shù)學學科德育滲透。例如，建設(shè)觀測站，修建濕地湖泊群，增加植被覆蓋率，增加地表水體，限制旅游人數(shù)等。又如，低碳出行，保護水源，節(jié)約用水，保護動物等。

（6）建?；顒犹骄?/p>

【問題情境2】停車場收費

某記者自駕前往玉龍雪山調(diào)查研究“雪線”最新的變化狀況，準備將小轎車停放在山腳下的小型車停車場，停車場收費公示牌信息顯示：半小時內(nèi)免費，首小時4元，超過1小時后每半小時2元，不足半小時按半小時計算。（圖片略）

活動要求：根據(jù)提供的信息，自主提出有價值的問題，并嘗試解決。（學生先獨立探究，再合作交流，最后推薦組員展示小組的研究成果）

問題預(yù)設(shè)：小型車停車場是如何計費的？

【教學說明】圖片采集于玉龍雪山附近的停車場，以“原生”的樣態(tài)直接呈現(xiàn)，給學生提供一種現(xiàn)實原型情境，有利于驅(qū)動學生自主發(fā)現(xiàn)和提出有價值的問題，分析問題，建立數(shù)學模型（y=kx+b）并求解，經(jīng)歷完整的數(shù)學建模活動過程。

（7）建模作業(yè)布置

在確保安全的情況下，拍攝出租車的收費信息，作為數(shù)學建模素材，提出有價值的問題，收集相關(guān)信息，解決問題，并撰寫研究報告。

【教學說明】通過開放性的建模作業(yè)驅(qū)動學生綜合運用數(shù)學和其他學科的知識與方法，在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，抽象出合理的、有意義的數(shù)學問題，提出解決問題的思路，設(shè)計解決問題的方案，建立適切的數(shù)學模型并求解，從而經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程，發(fā)展學生的模型觀念。

在初中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的模型觀念既是數(shù)學教育最重要的目標之一，也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要路徑。學生模型觀念的建立不可能一蹴而就，必然是一個綜合性、長期性兼具階段性的過程。這就要求我們初中數(shù)學教師既要做好以數(shù)學概念、公式、原理等為主的廣義數(shù)學模型的教學，也要發(fā)掘好以數(shù)學應(yīng)用題、綜合實踐活動等為主的狹義數(shù)學模型的教學，著重引導(dǎo)學生感受建立數(shù)學模型求解實際問題的過程，經(jīng)歷相對完整的數(shù)學建模活動，逐步培養(yǎng)初中生的模型觀念。

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