基于初中視角的初高中數(shù)學銜接教學探究

【摘 要】初高中數(shù)學銜接教學歷來是教研重點，也是課程建設的一個難點。檢索發(fā)現(xiàn)，當下關于“初高中銜接”類文獻多是從高中視角開展的研究或提出的教學建議。從初中視角看初高中數(shù)學銜接教學，可以重點關注以下方面：初高中研究路徑的銜接、初高中思想方法的銜接、初高中解題策略的銜接、初高中數(shù)學知識的銜接。

【關鍵詞】初中數(shù)學；初高中銜接；研究路徑；思想方法；解題策略；數(shù)學知識

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）39-0041-05

【作者簡介】劉東升，江蘇省南通市教育科學研究院（江蘇南通，226006）初中數(shù)學教研員，高級教師。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在“前言”的“主要變化”中特別提出“加強了學段銜接”，既要注重幼小銜接，也要重視小初銜接，同時還提到“了解高中階段學生特點和學科特點，為學生進一步學習做好準備”［1］4。而“學段之間的銜接歷來是課程建設的一個難點”［2］2。檢索發(fā)現(xiàn)，當下關于“初高中銜接”類文獻多是從高中視角開展的研究或提出的教學建議。本文基于初中視角提出初高中數(shù)學銜接教學的一些思考與建議。

一、構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，注重初高中研究路徑銜接

新課標在課程實施的“教學建議”中指出：“核心素養(yǎng)是在長期的教學過程中逐漸形成的，核心素養(yǎng)在不同學段的主要表現(xiàn)體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的階段性和各階段之間的一致性?！保?］85

章建躍博士曾對一節(jié)“圓與圓的位置關系”課例做出深度評析，提醒初中教師在教學“圓與圓的位置關系”時要抓住重點（從定性分析到定量刻畫，從概念出發(fā)研究性質）、突破難點（利用極端位置，采取先易后難的策略），并指出要努力“構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考”。［3］上述教學建議中提到的“研究路徑”不但對于初中學段平面幾何的同類課題（如點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系等）的教學具有普遍指導價值，同樣也有利于高中階段立體幾何、解析幾何的教學銜接。

王紅權老師選取初中起始階段七年級有理數(shù)和幾何圖形初步的教學內容，給出具體的教學設計，從操作層面詳細解讀了“小初銜接”的主要內容，包括學習數(shù)學語言（研究工具）、學習研究一個數(shù)學對象的基本套路（研究方式）和發(fā)展適合初中數(shù)學學習的思想方法（學習習慣）。［4］可以發(fā)現(xiàn)，王老師在該文中給出的雖然是“小初銜接”教學指導，實則也指明了“初高中銜接”的教學要義。因為，這與章建躍博士所指出的“初高中數(shù)學學習的銜接任務應包括知識技能、語言表達、思想方法、思維方式等方面”［2］4是“一脈相承”的。

還可提及，初中數(shù)學教師教學二次函數(shù)y=ax2圖象時，應該注重由“數(shù)（式）”想“形”的過程，即引導學生先根據(jù)這個函數(shù)解析式，探索它的圖象可能具有什么特征，再由“形”想“數(shù)”，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的一些變化規(guī)律。這樣，學生在高中學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的圖象時，就有了堅實的基礎。筆者二十多年來跟隨全國著名特級教師李庾南老師學習，李老師在教學二次函數(shù)的圖象和性質、反比例函數(shù)的圖象和性質時，都是采取了先由“數(shù)（式）”想“形”，再由“形”想“數(shù)”的研究路徑，并且經過多輪次的培訓、觀摩與評課指導后，目前南通地區(qū)初中函數(shù)圖象和性質的教學中，老師們大多采取上述做法。

二、精選典型問題變式教學促進深度思考，注重初高中思想方法銜接

日本數(shù)學家、數(shù)學教育家米山國藏在《數(shù)學的精神、思想和方法》一書中提到“貫穿在整個數(shù)學中的精神”，包括“充滿在整個數(shù)學中的統(tǒng)一建設的精神”，并指出很多同類問題“無論表面上看來多么不同，都可用同樣的方法處理”。［5］人民教育出版社課程教材研究所姜航高級編輯指出，“初高中銜接不僅要關注知識的補充，更重要的是還要以知識為載體培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的思維習慣和學習方法”［6］。初中教材上有很多典型問題，如何發(fā)揮這些典型問題的教學價值是一個值得深入探討的教研課題。筆者以為，重視典型問題的變式教學，促進學生深度思考，感悟其中的數(shù)學思想方法，可以促進初高中思想方法上的銜接。

以“雞兔同籠”問題為例。這類問題學生在小學時往往就作為算術題練習過，但是常常不能理解所列算式，到了七年級學習方程（組）之后，理解起來就比較自然、順利。這說明數(shù)學學習的進展和新工具的出現(xiàn)，使得原先較難的問題變得簡單，學生也就感受到“從算術到方程”的解法優(yōu)勢。這個過程不但讓學生學會了經典問題的不同解法，初步感悟方程思想方法的威力，同時激發(fā)了學生的數(shù)學興趣和學習動機，讓他們對進一步學習更多數(shù)學知識、工具充滿期待，使得非認知因素在數(shù)學銜接上的價值得到彰顯。

再如，“三角形角平分線”問題。高中學生解三角形問題時，常常要用到三角形的角平分線所帶來的比例性質，而初中幾何教材對這一性質并沒有直接提及。因此，在初中數(shù)學教學時，教師可以圍繞一些典型習題適時變式、補充拓展。例如，八年級學習全等三角形之后，常常會訓練這樣一道習題。

習題1：如圖1，△ABC中，BD是三角形角平分線。求證[S△ABDS△BCD] = [ABBC]。

八年級教學時如果只是滿足于作出兩條垂線段，利用面積法證出結論（見下頁圖2），則是“入寶山而空返”。此時教師應該追問學生，如何證出[ABBC] = [ADDC]。待到九年級學習相似三角形之后，可再構造如圖3這樣的平行線，再次證明角平分線的性質。此種方式可以讓學生感受到隨著所學知識的增多、新工具的出現(xiàn)，對典型問題的解決又新增了不同方法。這也正如章建躍博士所指出的，“數(shù)學思想方法不僅蘊含在一個個概念、原理中，更體現(xiàn)在概念的體系、知識的聯(lián)系中”。在銜接教學中，“對已學知識進行回顧整理，用新的語言進行再表達，形成思想性、結構性、系統(tǒng)性更強的認識”［2］3。

三、訓練“程序性解題”要避免思維定式，注重初高中解題策略銜接

我國著名數(shù)學教育家曹才翰先生曾指出：“初中代數(shù)教材中，大量的是按法則、公式的形式出現(xiàn)，而這些法則、公式大都是帶有程序性的?！保?］具體來說，一元一次方程（不等式）、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程等解法都帶有“程序性解題”的特征。當然，代數(shù)“程序性解題”有其積極的一面，比如有利于形成技能，大面積提升解題教學質量。但是，過量的“程序性解題”容易造成思維定式，對學生思維靈活性的發(fā)展無益。比如，下面這道七年級一元一次方程的習題。

習題2：若關于x的一元一次方程[12023]x + 4 =3x + m的解是x = -2023，那么關于y的一元一次方程[12023]（y - 1） -4 = 3y - m - 3的解是 。

解法分析：如果只是想到常規(guī)“程序性解題”思路，由已知條件，將x = -2023代入所給的關于x的方程，求出m的值，再代入關于y的一元一次方程，求出y，解法比較繁瑣，沒有體現(xiàn)出思維靈活性。如果能認真觀察所給的兩個方程的結構特征，將關于y的一元一次方程恰當變形為[12023]（1-y）+4 = 3（1-y）+m，對比關于x的方程的結構特征，可以直接看出1-y = -2023，求出y = 2024。

讓我們再來看一道高考題。

習題3：（2022年全國高考甲卷）已知△ABC中，D在邊BC上，∠ADB = 120°，AD = 2，CD = 2BD。當[ACAB]取得最小值時，BD = ____。

解法分析：設BD = x，CD = 2x，運用余弦定理，在△ACD，△ABD中可分別得出：AC2 = 4x2-4x+4，AB2 = x2+2x+4。要使[ACAB]取得最小值，即[AC2AB2]最小，也就是要分析[4x2-4x+4x2+2x+4]的最小值。對這個分式最小值的分析有不同的方法，讓我們從恰當變形的角度做如下處理：

[4x2-4x+4x2+2x+4] = [4（x2+2x+4）-12x-12x2+2x+4] =4-12·[x+1x2+2x+4]=4-12·[x+1（x+1）2+3]=4-[12（x+1）+3x+1] 。

連續(xù)“逆向”變形，直到出現(xiàn)基本不等式的結構特征，可得（x+1）+[3x+1]≥2[3]，此時[AC2AB2]≥4-2[3]，當且僅當（x+1）2 = 3時（x = [3]-1或-[3]-1（舍去））可取等號，故BD = [3]-1。

寧連華教授針對學生在數(shù)學新高考中答題素養(yǎng)上的四個不足：想得不深、變得不當、算得不好、寫得不精，建議數(shù)學教學要重視“教深度思考，教合理變換，教運算思維，教精準表達”。［8］從本文關注的初高中銜接教學來看，在初中階段開展必要的“程序性解題”訓練的同時，還應該重視像“習題2”這樣“合理變換”的解題策略，為學生進入高中處理類似“習題4”連續(xù)“逆向變形”進行解題策略上的銜接訓練。

四、采取螺旋方式逐漸拓展加深課程內容，注重初高中數(shù)學知識銜接

新課標在“課程內容的呈現(xiàn)”中明確提出，“根據(jù)學生的年齡特征和認知規(guī)律，適當采取螺旋式的方式，適當體現(xiàn)選擇性，逐漸拓展和加深課程內容，適應學生的發(fā)展需求”［1］3。根據(jù)教學經驗，采取螺旋上升的方式對一些前后聯(lián)系的數(shù)學知識逐漸拓展并加深，的確有利于提升學生對數(shù)學整體性的認識。以下選取高中階段基本不等式、二項式定理兩個知識點，構建出初中階段螺旋上升式的知識生長圖示（如圖4）。

從圖4可見，七年級一些基礎知識在八年級學習完全平方式、九年級學習圓和相似之后，可以融合在一起如“藤蔓一樣繼續(xù)生長”［9］，自然而然地拓展出高中基本不等式和二項式定理的雛形。至于對這兩個知識點的深刻理解、系統(tǒng)梳理并繼續(xù)運用它們解題，則留待高中階段進一步學習探究。

本文主要是從初中角度看初高中銜接教學，對于初中學段七、八、九三個年級的銜接也有一定的啟示。當初中各個年級的任課教師都能“站在高處”理解“學材”（教學內容）時，也就能更好地把握重點、看清難點，從而在本年級教學過程中做到削枝強干、突出重點。特別是面對一些對后續(xù)銜接教學意義不大的人為編造的“無趣題”時，也就能果斷刪減、及時舍棄。在一定意義上說，這也正是為“切實減輕學生過重的學業(yè)負擔”做出一份貢獻吧！

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］章建躍．“預備知識”預備什么、如何預備［J］.數(shù)學通報，2020，59（8）：1-14．

［3］章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013，52（6）：5-8，66．

［4］王紅權.一般觀念統(tǒng)領下的“初小銜接”要銜接什么、如何銜接［J］.數(shù)學通報，2022，61（10）：29-34，38．

［5］［日］米山國藏.數(shù)學的精神、思想和方法［M］.毛正中，吳素華，譯.上海：華東師范大學出版社，2019：42-59.

［6］姜航.初高中數(shù)學學習的順利過渡：基于教科書使用的視角［J］.中國數(shù)學教育，2024（4）：4-8.

［7］曹才翰.曹才翰數(shù)學教育文選［M］.北京：人民教育出版社，2005：210-222.

［8］寧連華.指向核心素養(yǎng)的數(shù)學高考評價及教學轉向審思［J］.中學數(shù)學月刊，2022（11）：1-4.

［9］Greg McColm.數(shù)學教育的一個比喻［J］.姜紅，譯.陸柱家，校.數(shù)學譯林，2012，31（3）：212，264-267．