J#-U-clean環(huán)與強J#-U-clean環(huán)

摘要：設(shè)R是一個環(huán)，如果U（R） = U（R） + J #（R），則稱R是GUJ環(huán)；如果對于任意a∈R，都存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d（且ap = pa），則稱R是（強） J #-U-clean環(huán)。GUJ環(huán)和J #-U-clean環(huán)分別是GUJ環(huán)和GJ-clean環(huán)的真推廣。文章研究了GUJ環(huán)的基本性質(zhì)，證明了R是GUJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J是UU環(huán)且U（R/J） = （U（R） + J）/J，R是UJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是GUJ環(huán)且R/J是reduced的。此外，給出了（強） J #-U-clean環(huán)的例子，得到了（強）" J #-U-clean環(huán)的性質(zhì)和一些等價刻畫，證明了若R是一個交換環(huán)，則R是GJ-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n≥1使得T（R）是GJ-clean環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n≥2使得T（R）是J #-U-clean環(huán)。進一步地，研究了強J #-U-clean環(huán)的Morita不變性。

關(guān)鍵詞：GUJ環(huán)；GJ-clean環(huán)；GUJ環(huán)；J #-U-clean環(huán)；強J #-U-clean環(huán)

中圖分類號： O153.3" " " " " " " " 文獻標(biāo)志碼： A文章編號： １６７３－２３４０（２０24）０1－００87－０8

Abstract： A ring R is GUJ if U（R） = U（R） + J #（R）; R is （strongly） J #-U-clean ring if for any a∈R， there exists g∈U（R）， p = p∈R，d∈J #（R）， such that ag = p + d （and ap = pa）. GUJ rings and J #-U-clean rings are proper generalizations of GUJ rings and GJ-clean rings， respectively. The properties of GUJ rings are obtained. It is proved that a ring R is GUJ if and only if R/J is UU and U（R/J） = （U（R） + J）/J， R is a UJ ring if and only if R is GUJ and R/J is reduced. Furthermore， examples， extension properties and some equivalent characterizations of （strongly） J #-U-clean rings are studied， and it is proved that if R is a commutative ring， then R is GJ-clean if and only if T（R） is GJ-clean for some integer n≥1， if and only if T（R） is J #-U-clean for some integer n≥2. Additionally， the study explores the Morita invariance of strong J#-U-clean rings.

Key words： GUJ ring; GJ-clean ring; GUJ ring; J#-U-clean ring; strongly J#-U-clean ring

文中討論的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)。設(shè)R是一個環(huán)，用符號J（R）、U（R）、C（R）和nil（R）分別表示環(huán)R的Jacobson根、R中可逆元集合、環(huán)R的中心和R中冪零元集合。為方便起見，記U（R） = U（R）∩C（R）。令J #（R） = {x∈Rx∈J（R），存在整數(shù)n≥1}。顯然，nil（R）和J（R）都包含在J #（R）中。用M（R）表示環(huán)R上n階全矩陣環(huán)，用I表示n階單位矩陣。

環(huán)中元素的加法分解性質(zhì)是環(huán)論研究的重要內(nèi)容之一。1977年，Nicholson[1]引入了clean環(huán)的概念。如果環(huán)R中每個元素都可以表示為一個冪等元與一個可逆元之和，則稱R是clean環(huán)。2005年，Nicholson等[2]引入了半布爾環(huán)的概念。如果環(huán)R中每個元素都可以表示為一個冪等元與一個J（R）中元素之和，則稱R是半布爾環(huán)（亦稱為J-clean環(huán)[3]）。2013年，Diesl[4]引入了詣零-clean環(huán)。如果環(huán)R中每個元素都可以表示為一個冪等元與一個冪零元之和，則稱R是詣零-clean環(huán)。文獻[5-14]進一步研究了環(huán)的詣零-clean性。2020年，Cui等[15]將J-clean環(huán)進行了推廣，引入了GUJ環(huán)和GJ-clean環(huán)。如果U（R） = 1 + J #（R），則稱R是GUJ環(huán)；如果對于任意a∈R，都存在e = e∈R，b∈J #（R）使得a = e + b，則稱R是GJ-clean環(huán)。2022年，Tang等[16]引入了（強）詣零G-clean環(huán)和UU環(huán)，其中G稱為“unit-picker”。根據(jù)文獻[16]，如果對于任意a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈nil（R）使得a = ve + b（且ae = ea），則稱R是（強）詣零U-clean環(huán)；如果U（R） = U（R） + nil（R），則稱R是UU環(huán)。根據(jù)文獻[17]，如果U（R） = U（R） + J（R），則稱R是UJ環(huán)。

受上述研究的啟發(fā)，本文引入并研究了GUJ環(huán)和（強）J#-U-clean環(huán)，給出了UU、UJ環(huán)和GUJ環(huán)之間的關(guān)系。R是GUJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J是UU環(huán)且U（R/J） = （U（R） + J）/J；R是UJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是GUJ環(huán)且R/J是reduced的。證明了若R是一個交換環(huán)，則R是GJ-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n≥1使得T（R）是GJ-clean環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù)n≥2使得T（R）是J#-U-clean環(huán)。此外，得到了強J#-U-clean環(huán)的刻畫。環(huán)R是強J#-U-clean的當(dāng)且僅當(dāng)冪等元模J（R）可提升，U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J是強詣零U-clean環(huán)。進一步地，研究了強J#-U-clean環(huán)的Morita不變性。若R是強J#-U-clean環(huán)，則對任意e = e∈R，eRe也是強J#-U-clean環(huán)；對任意整數(shù)n≥2，M（R）均不是強J#-U-clean環(huán)。

1" "GUJ環(huán)

在本節(jié)中，我們引入GUJ環(huán)。根據(jù)文獻[16]，設(shè)R是一個環(huán)。令I(lǐng)是環(huán)R的一個理想，X是環(huán)R的一個子集。為了方便，我們用X + I/I來表示R/I的子集{x + I：x∈X}。

定義1" "設(shè)R是一個環(huán)，u∈U（R）。如果存在g∈U（R），d∈J #（R）使得ug = 1 + d，則稱u是GUJ的；如果R中的每個可逆元都是GUJ的，則稱R是GUJ環(huán)。

易見，R是GUJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的u∈U（R），都存在v∈U（R），b∈J #（R）使得u = v + b（即U（R） = U（R） + J #（R））。

命題1" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列結(jié)論成立：

1）設(shè)T是R的商環(huán)且T中的可逆元可提升到R中，若R是GUJ環(huán)，則T也是GUJ環(huán)；

2）若R是GUJ環(huán)，則對任意的e = e∈R，eRe也是GUJ環(huán)。

證明：1）設(shè)f：R → T是滿的環(huán)同態(tài)。任取v∈U（T）。由假設(shè)，存在u∈U（R）使得v = f（u）。因為R是GUJ環(huán)，所以存在g∈U（R），b∈J（R）（n為正整數(shù)）使得u = g + b。于是v = f（u） = f（g） + f（b），其中f（g）∈U（T），f（b） = f（b）∈J（T）。因此，T是GUJ環(huán)。

2）任取u∈U（eRe）。注意到u + 1 - e∈U（R），且逆為u + 1 - e。由于R是GUJ環(huán)，因此存在g∈U（R），b∈J #（R）使得u + 1 - e = g + b。又因為e（g + b） = e（u + 1 - e） = u = （u + 1 - e）e = （g + b）e，可得eb = be，所以u = eg + eb，其中eg∈eU（R）？哿U（eRe），eb∈J #（eRe）。于是，eRe也是GUJ環(huán)。

對任意的正整數(shù)n，令Z為整數(shù)環(huán)Z模n的剩余類環(huán)。下面的結(jié)論是顯然的。

例1" "1）任意的域均為GUJ環(huán)；

2）若R是一個交換環(huán)，則R是GUJ環(huán)；

3）令R = Z，則R是GUJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n = 2（t≥1）。易見，R是GUJ環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)，I是環(huán)R的理想，元素a∈R。商環(huán)R/I中的元素記為。

引理1" "環(huán)R是GUJ的當(dāng)且僅當(dāng)R/J是GUJ環(huán)，且U（R/J） = （U（R） + J）/J。

證明：假設(shè)R是GUJ環(huán)，則由命題1可知，R/J是GUJ環(huán)。顯然有（U（R） + J）/J？哿U（R/J）。下證U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。任取∈U（R/J），則u∈U（R）。由R是GUJ環(huán)可知，存在v∈U（R），b∈J（R）（n為正整數(shù)）使得u = v + b。從而在R/J中， = "- 是中心的。又由b∈J（R）可得（） = "= 0。于是可知∈J（R/J） = 0，故 = 。因此，U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。

反之，任取u∈U（R）。由假設(shè)可知在R/J中存在∈U（R/J），（）∈J（R/J）（m為正整數(shù)）使得 = "+ 。由于U（R/J） = （U（R） + J）/J，從而可設(shè)g∈U（R）。又由于J（R/J） = 0，從而 = （） = 0，因此b∈J（R）。綜上可知，存在j∈J（R）使得u = g + （b + j），且（b + j）∈b + J（R）？哿J（R）。這就表明R是GUJ環(huán)。

如果環(huán)R中不包含非零的冪零元，則稱R是reduced環(huán)。眾所周知，reduced環(huán)是阿貝爾環(huán)（即每個冪等元都是中心的環(huán)）。接下來給出UU、UJ環(huán)和GUJ環(huán)之間的關(guān)系。

定理1" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列結(jié)論成立：

1）R是GUJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J是UU環(huán)，且U（R/J） = （U（R） + J）/J；

2）R是UJ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是GUJ環(huán)，且R/J是reduced的。

證明：1）若R是GUJ環(huán)，則由引理1可知R/J是GUJ的，且U（R/J） = （U（R） + J）/J。注意到J（R/J） = 0，從而nil（R/J） = J #（R/J）。故R/J是UU環(huán)。反之，若R/J是UU環(huán)，則R/J是GUJ環(huán)。再由引理1知R是GUJ環(huán)。

2）若R是UJ環(huán)，則R一定是GUJ環(huán)。再由文獻[17]中的命題2.7（1）可知，R/J是reduced環(huán)。反之，任取b∈J #（R），則存在整數(shù)n≥1，使得b∈J（R）。注意到，在R/J中，（） = "= 。由于R/J是reduced環(huán)，從而 = ，可知b∈J（R），因此J #（R） = J（R）。于是，R是UJ環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)，a，b∈R。如果由ab = 1可推出ba = 1，則稱R是直有限的。

推論1" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列結(jié)論成立：

1）對任意整數(shù)n≥2，M（R）均不是GUJ環(huán)；

2）若R是GUJ環(huán)，則R是直有限的。

證明：1）用反證法。假設(shè)M（R）是GUJ環(huán)，由定理1中的1），M（R）/J（M（R））？艿M（R/J）是UU環(huán)。這與文獻[16]中的引理3.4相矛盾。

2）類似于文獻[17]中的引理2.4可證。

命題2" "設(shè)R是一個環(huán)，a，c∈R。若ac是GUJ的，則ca是GUJ的當(dāng)且僅當(dāng)c∈U（R）。

證明：設(shè)c∈U（R）。由于ac是GUJ的，從而存在g∈U（R），b∈J #（R）使得ac = g + b。因此，ac - g = b∈J #（R），于是存在整數(shù)k≥1，使得（ac - g） = b∈J（R）。又由（ca - g）c = c（ac - g），可得（ca - g）c = c（ac - g）∈J（R）。此外，由c∈U（R）有（ca - g）∈J（R）。這就表明存在j∈J #（R）使得ca - g = j，進而ca = g + j是GUJ的。反之，若ac和ca都是GUJ的，則ac，ca∈U（R），故有c∈U（R）。

2" "J#-U-clean環(huán)

定義2" "設(shè)R是一個環(huán)。如果對任意的a∈R，都存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，則稱R是J#-U-clean環(huán)。

易見，如果R是J#-U-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意的a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b。

例2" "設(shè)R = Z。易見J #（R） = {}，R的冪等元集為{，}?？梢则炞CR是J#-U-clean環(huán)。但由于R中的元素不能表示為R中冪等元與J #（R）中元素和的形式，故R不是GJ-clean環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)。如果對于任意a∈R，都存在k∈U（R），e = e∈R，u∈U（R）使得a = ke + u，則稱R是擬-clean環(huán)[18]。

命題3" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列結(jié)論成立：

1）設(shè)I是環(huán)R的理想，若R是J#-U-clean環(huán)，則R/I也是J#-U-clean環(huán)；

2）若R是J#-U-clean環(huán)，則R是擬-clean環(huán)；

3）若R是J#-U-clean環(huán)，則R/J是詣零U-clean環(huán)；

4）環(huán)直積？鄯R是J#-U-clean的當(dāng)且僅當(dāng)每個R都是J#-U-clean環(huán)。

證明：1）任取∈R/I，由于R是J#-U-clean環(huán)，故存在g∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ge + b。所以，在R/I中有 = "+ ，其中（） ＝ ∈R/I，∈J #（R/I）。又由（U（R） + I）/I？哿U（R/I），有∈U（R/I）。因此，R/I是J#-U-clean環(huán)。

2）對每個a∈R，由于R是J#-U-clean環(huán)，從而存在g∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得-a = ge + b。從而a = g（1 - e） + （-g - b），其中（1 - e） = 1 - e∈R，-g - b∈U（R）。因此，R是擬-clean環(huán)。

3）任取∈R/J。由于R是J#-U-clean環(huán)，可設(shè)a = ve + b，其中v∈U（R），e = e∈R，b∈J（R）（n為正整數(shù)）。于是在R/J中， = "+ ，其中∈U（R/J），（） = ，（） = "= 0。因此R/J是詣零U-clean環(huán)。

4）任取r = （r，r，…，r）∈？鄯R。由于每個R都是J#-U-clean環(huán)，從而存在v∈U（R），（e） = e∈R，b∈J #（R）使得r = ve + b，i = 1，2，…，n。令v = （v，v，…，v），e = （e，e，…，e），b = （b，b，…，b）。于是r = ve + b，其中v∈U（？鄯R），e = e∈？鄯R，b∈J #（？鄯R）。故？鄯R是J#-U-clean環(huán)。反之，若？鄯R是J#-U-clean環(huán)，則由1）可知每個R都是J#-U-clean環(huán)。

命題 4" "若R是J#-U-clean環(huán)，則U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J也是J#-U-clean環(huán)。進一步地，若冪等元模J（R）可提升，則反之成立。

證明：由于（U（R） + J）/J？哿U（R/J），因此只需證U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。任取∈U（R/J）。由R是J#-U-clean環(huán)可設(shè)u = ve + b，其中v∈U（R），e = e∈R，b∈J（R）（n為正整數(shù)）。從而在R/J中， = "- 是可逆的，這就表明 = ，因此 = "- 是中心的。由b∈J（R）可知（） = "= ，于是∈J（R/J） = 。因此U（R/J）？哿（U（R） + J）/J，再由命題3的1）有R/J是J#-U-clean環(huán)。

反之，任取a∈R。由于R/J是J#-U-clean環(huán)，故在R/J中存在∈U（R/J），（） = ∈R/J，∈J #（R/J）使得 = "+ 。首先，由于冪等元模J（R）可提升，從而可以設(shè)e = e∈R。其次，由于U（R/J） = （U（R） + J）/J，從而可以設(shè)v∈U（R）。最后，由于∈J #（R/J），故存在整數(shù)n≥1，使得 = （）∈J（R/J） = ，可知b∈J（R）。于是存在j∈J（R），使得a = ve + （b + j），其中（b + j）∈J（R）。因此，R是J#-U-clean環(huán)。

命題 5" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列條件等價：

1）R是J#-U-clean環(huán)；

2）R[[x]]是J#-U-clean環(huán)。

證明：1）？圯2）" "任取f（x） = a + ax + ax + … ∈R[[x]]，其中a∈R，i = 0，1，…。因為R是J#-U-clean環(huán)，所以存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b。于是f（x） = ve + b + ax + ax + … = ve + α（x），其中α（x） = b + ax + ax + …。由于J（R[[x]]） = {b + bx + bx + …b∈J（R）}，其中b∈R，i = 0，1，…，可知α（x）∈J #（R[[x]]）。因此R[[x]]是J#-U-clean環(huán)。

2）？圯1）" "定義同態(tài)映射φ：R[[x]] → R，f（x） "f（0）。于是有kerφ = {ax + ax + …a∈R}，i = 1，2，…，則R[[x]]/kerφ？艿R。因此R是R[[x]]的像。由命題3的1）可知R是J#-U-clean環(huán)。

如果環(huán)R中的每個元素都可以表示為兩個可逆元的和，則稱R為2-good環(huán)。我們有以下結(jié)論：

命題6" "設(shè)R是J#-U-clean環(huán)。如果2∈U（R），則R是2-good環(huán)。

證明：任取a∈R。由于R是J#-U-clean環(huán)，從而存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得 = ve + b，于是a = v（2e - 1） + （v + 2b）。易驗證（2e - 1） = 1，這就表明v（2e - 1）∈U（R），且有v + 2b∈U（R）。證畢。

命題6中“2∈U（R）”是不可缺少的。例如Z是J#-U-clean環(huán)，但由于不能表示為兩個可逆元的和，所以Z不是2-good環(huán)。

設(shè)R為一個環(huán)，M為（R，R）雙模。定義R∝M = {r" "x0" "rr∈R，x∈M}為R通過M的平凡擴張，其中的加法為普通的加法，乘法為普通矩陣的乘法。我們有以下結(jié)論：

命題7" "設(shè)R是一個環(huán)，M為（R，R）雙模，則R∝M是J#-U-clean的當(dāng)且僅當(dāng)R是J#-U-clean的。

證明：假設(shè)R∝M是J#-U-clean的。令A(yù) = 0" "M0" "0，于是有（R∝M）/A？艿R。因此R是J#-U-clean的。反之，任取r" "x0" "r∈R∝M，其中r∈R，x∈M。由于R是J#-U-clean環(huán)，從而存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得r = ve + b。注意到r" "x0" "r = v" "00" "ve" "00" "e + b" "x0" "b，其中v" "00" "v∈U（R∝M），e" "00" "e = e" "00" "e∈R∝M，且b" "x0" "b∈J #（R∝M）。因此R∝M是J#-U-clean的。

設(shè)R是一個環(huán)。用T（R）表示環(huán)R上n × n的上三角矩陣全體，容易驗證U（T（R）） = {uI對于所有的u∈U（R）}。

定理2" "設(shè)R是一個交換環(huán)，則下列條件等價：

1）R是GJ-clean環(huán)；

2）存在整數(shù)n≥1使得T（R）是GJ-clean環(huán)；

3）存在整數(shù)n≥2使得T（R）是J#-U-clean環(huán)。

證明：1）？圯2）" "由文獻[15]中的定理3.3可得。

2）？圯3）" "顯然。

3）？圯1）" "令A(yù) = a" "0" "0" "…" "00" "1" "0" "…" "00" "0" "0" "…" "0" " " " " " " " "0" "0" "0" "…" "0。由于T（R）是J#-U-clean環(huán)，故存在V = vI∈U（T（R）），E = E = （e）∈T（R）及B = （b）∈J #（T（R）），使得A = VE + B。注意到e = e∈R，b∈J #（R），對任意i = 1，2，…，n。由A = VE + B可得，a = ve + b，1 = ve + b。故ve = 1 - b∈U（R），從而e = 1。那么a = ve + b = （1 - b）e + b = e + （b - be），即證R為GJ-clean環(huán)。

根據(jù)文獻[19]，設(shè)D是一個環(huán)，C是D的子環(huán)且1∈C。記

S = R[D，C] =

{（d，…，d，c，c，…）d∈D，c∈C，n≥1}，

S′ = R{D，C} =

{（d，…，d，c，c，…）d∈D，c∈C，n≥1}，

其中R[D，C]（R{D，C}）中加法和乘法分別定義為對應(yīng)分量的加法與乘法，則R[D，C]（R{D，C}）關(guān)于所定義的加法與乘法構(gòu)成一個環(huán)。顯然，這是一種環(huán)的擴張。

引理2[19]" "設(shè)D是一個環(huán)，C是D的子環(huán)且1∈C。令S = R[D，C]，則D同構(gòu)于S的一個直和項，C為S的滿同態(tài)象。

引理3[19]" "設(shè)D是一個環(huán)，C是D的子環(huán)且1∈C。令S = R[D，C]，S′ = R{D，C}，則下列結(jié)論成立：

1）J（S） = R[J（D），J（D）∩J（C）]；

2）J（S′） = R{J（D），J（D）∩J（C）}。

命題8" "設(shè)D是一個環(huán)，C是D的子環(huán)且1∈C，則下列條件等價：

1）S = R[D，C]是J#-U-clean環(huán)；

2）D是J#-U-clean環(huán)，且對于任意c∈C，存在g∈U（C）， f "= f∈C使得c - gf∈J #（D）∩J #（C）；

3）S′ = R{D，C}是J#-U-clean環(huán)。

證明：1）？圯2）" "首先，由于J#-U-clean環(huán)的直和項還是J#-U-clean的，從而由引理2有D是J#-U-clean環(huán)。其次，對于任意c∈C，令a′ = （c，c，…）∈S。因為S是J#-U-clean環(huán)，所以存在g′ = （g，…，g，g，g，…）∈U（S），（f ′） = f ′ = （f，…，f，f，f，…）∈S使得a′ - g′f ′∈J #（S），其中g(shù)∈U（D），f = f∈D，g∈U（C）， f "= f∈C，i = 1，…，n。注意到g∈U（C），f = f∈C，根據(jù)引理3有c - gf∈J #（D）∩J #（C）。

2）？圯1）" "任取a = （d，…，d，c，c，…）∈S，其中d∈D，c∈C，n≥1。由假設(shè)可知，存在v∈U（D），e = e∈D，g∈U（C），f "= f∈C，i = 1，…，n使得d - ve∈J #（D），c - g f∈J #（D）∩J #（C）。令g = （v，…，v，g，g，…），e = （e，…，e，f，f，…），則g∈U（S），e = e∈S。于是有a - ge∈J #（S），即S是J#-U-clean環(huán)。

1）？圳3）" "類似1）？圳2）可證。

3" "強J#-U-clean環(huán)

設(shè)R是一個環(huán)，a∈R。如果存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，且ap = pa，則稱元素a是強J#-U-clean的；如果R中每個元素都是強J#-U-clean的，則稱R是強J#-U-clean環(huán)。易見，如果R是強J#-U-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對于任意a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b，且ae = ea。

對于元素a∈R，我們記comm（a） = {x∈Rxa = ax}。

定理3" "設(shè)R是一個環(huán)，a∈R，則下列條件等價：

1）a是強J#-U-clean的；

2）存在u∈U（R），e = e∈comm（a），v∈U（R）使得au = e + v，且a - au∈J #（R）。

證明：1）？圯2）" "因為a是強J#-U-clean的，所以存在u∈U（R），p = p∈R，b∈J #（R）使得au = p +b，且ap = pa，從而bp = pb。注意到au = （1 - p） + （2p - 1 + b），其中（1 - p） = 1 - p∈comm（a），2p - 1 + b∈U（R）。此外，由于（au） = p + 2pb + b，于是au - （au） = （1 - 2p - b）b∈J #（R），因此a - au∈J #（R）。

2）？圯1）" "設(shè)au = e + v，其中u∈U（R），e = e∈comm（a），v∈U（R），且a - au∈J #（R），則（au） = e + 2ev + v，從而（a - au）u = au - （au） = （1 - 2e - v）v∈J #（R），于是1 - 2e - v∈J #（R）。注意到au = （1 - e） + （2e - 1 + v），這就表明a是強J#-U-clean的。

推論2" "環(huán)R是強J#-U-clean的當(dāng)且僅當(dāng)冪等元模J（R）可提升，U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J是強詣零U-clean環(huán)。

證明：設(shè)環(huán)R是強J#-U-clean環(huán)。根據(jù)命題3的3）及命題4，我們只需證冪等元模J（R）可提升。任取a∈R，則存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，且ap = pa。注意到[ p - （1 - p）g·（1 - p）][p - （1 - p）g（1 - p）] = 1，故

[a - （1 - p）]g = ag - （1 - p）g =

p + d - （1 - p）g =

p - （1 - p）g（1 - p） + d∈U（R），

從而a - （1 - p）∈U（R），于是可得R是強clean環(huán)，這就表明冪等元模J（R）可提升。反之，由命題4可得。

命題9" "設(shè)R是強J#-U-clean環(huán)，則下列條件等價：

1）U（R） = U（R）；

2）J #（R）？哿C（R）；

3）R是交換環(huán)。

證明：1）？圯2）" "任取b∈J #（R）。于是1 + b∈U（R） = U（R），從而J #（R）？哿C（R）。

2）？圯3）" "設(shè)J #（R）？哿C（R）。對于任意e = e∈R，eR（1 - e）和（1 - e）Re都包含在nil（R）中。注意到nil（R）？哿J #（R）？哿C（R），對于任意r∈R，有er（1 - e）·（1 - e） = （1 - e）er（1 - e） = 0，故er = ere。同樣可證re = ere，從而er = re，于是可知R中的所有冪等元都是中心的。令a∈R。由于R是強J#-U-clean環(huán)，故存在v∈U（R），p = p∈comm（a），b∈J #（R）使得a = vp + b。因為vp∈C（R），b∈J #（R）？哿C（R），所以a∈C（R），從而R是交換環(huán)。

3）？圯1）" "顯然。

命題10" "強J#-U-clean環(huán)都是GUJ環(huán)。

證明：任取u∈U（R）。由R是強J#-U-clean環(huán)可知存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得u = ve + b，且ue = eu。于是有ub = bu，從而ve = u - b∈U（R），可得e = 1，因此u = v + b。證畢。

下面討論強J#-U-clean環(huán)的Morita不變性。

命題11" "設(shè)R是一個環(huán)，則下列結(jié)論成立：

1）若R是強J#-U-clean環(huán)，則對任意e = e∈R，eRe也是強J#-U-clean環(huán)；

2）對任意整數(shù)n≥2，M（R）均不是強J#-U-clean環(huán)。

證明：1）任取a∈eRe。由于R是強J#-U-clean環(huán)，由定理3可知，存在u∈U（R），p = p∈comm（a），v∈U（R）使得au = p + v，且a - au∈J #（R）。注意到au（1 - p） = v（1 - p），故1 - p = vau（1 - p） = avu（1 - p）∈eRe。所以1 - p = （1 - p）e = e（1 - p），于是有ep = pe。再由a∈eRe有eau = aue，即e（p + v） = （p + v）e，可推出ev = ve。因此aeu = ep + ev，其中eu∈eU（R）？哿U（eRe），ep是eRe中的冪等元且a（ep） = （ep）a，ev∈U（eRe）。此外，由eu∈U（eRe），有a - au = a - a（eu）∈J #（eRe）。根據(jù)定理3，eRe是強J#-U-clean環(huán)。

2）結(jié)合命題10和推論1可得。

命題12" "設(shè)R是強J#-U-clean環(huán)，則下列條件等價：

1）R是阿貝爾環(huán)；

2）對于任意a∈R，均存在u∈U（R），使得au可以唯一地表示為e + b，其中e = e∈comm（a），b∈J #（R）。

證明：1）？圯2）" "設(shè)R是阿貝爾環(huán)。任取a∈R，記au = e + b = e + b，其中u∈U（R），e = e∈comm（a），b∈J #（R），i = 1，2。由于R是阿貝爾環(huán)，于是有e - e = b - b∈J #（R）。注意到（e - e） = e - e，因此e = e，從而b = b。

2）？圯1）" "任取r， f∈R，e = e∈comm（f）。記f = e + er（1 - e），從而er（1 - e）∈nil（R）？哿J #（R），f "= f。于是有f = f + 0 = e + er（1 - e）。由假設(shè)表示是唯一的，可知er（1 - e） = 0，即er = ere。同樣可證re = ere。因此，R是阿貝爾環(huán)。

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（責(zé)任編輯：張燕）

收稿日期： 2023-08-28 接受日期： 2023-10-11

基金項目： 安徽省自然科學(xué)基金項目（2008085MA06）；金融數(shù)學(xué)福建省高校重點實驗室項目（JR202203）；安徽省教育廳研究項目（gxyqZD2019009）

第一作者簡介： 靳丹亞（1996— ）， 女， 碩士研究生。

* 通信聯(lián)系人： 崔建（1984— ）， 男， 教授， 博士， 主要研究方向為環(huán)模理論。E-mail：cui368@ahnu.edu.cn