對(duì)一道輕桿關(guān)聯(lián)物體試題的深度探討

摘 要：詳細(xì)探討了一道輕桿關(guān)聯(lián)物體試題情境和解析的自洽性，同時(shí)借助計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬和仿真實(shí)驗(yàn)等方式，對(duì)如何將繩桿關(guān)聯(lián)問題可視化進(jìn)行了探索嘗試，以期為試題命制和教學(xué)備考提供參考。

關(guān)鍵詞：輕桿關(guān)聯(lián)；深度探討；可視化研究

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）11-0068-4

１ 問題的提出

高中階段涉及繩桿關(guān)聯(lián)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問題，分析時(shí)常用到動(dòng)力學(xué)、能量和動(dòng)量等知識(shí)，綜合考查學(xué)生的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，因而是試題命制的熱點(diǎn)和教學(xué)的重難點(diǎn)。有關(guān)繩桿關(guān)聯(lián)物體的創(chuàng)新試題層出不窮，但這類問題復(fù)雜多樣且隱蔽抽象，導(dǎo)致試題容易出現(xiàn)情境或解析不自洽的情形，在教學(xué)備考中也經(jīng)常陷入困惑或誤區(qū)。下面選取在教學(xué)中遇到的一道輕桿關(guān)聯(lián)物體試題，詳細(xì)探討情境和解析的自洽性，并嘗試將物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行可視化以方便直觀研究。

２ 輕桿關(guān)聯(lián)試題的深度探討

例１ 如圖１所示，Ａ、Ｂ兩小球質(zhì)量均為ｍ。Ａ球穿過半徑為Ｒ的豎直光滑圓軌道，Ｂ球穿過光滑豎直長桿，桿和圓軌道均固定在同一豎直平面內(nèi)，桿的延長線過軌道圓心Ｏ，兩球用輕質(zhì)鉸鏈與長為ｌ（ｌ＞２Ｒ）的輕桿連接，連接兩球的輕桿能隨小球自由移動(dòng)，其中Ｍ、Ｎ和Ｐ三點(diǎn)分別為圓軌道上最低點(diǎn)、圓心的等高點(diǎn)和最高點(diǎn)，重力加速度為ｇ。某時(shí)刻Ａ球在Ｍ點(diǎn)獲得水平向右的初速度，并能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（ ）

Ａ．A球在Ｍ點(diǎn)的初速度大于5

Ｂ．當(dāng)A球到達(dá)Ｐ點(diǎn)時(shí)，Ｂ球的加速度為０

Ｃ．A球運(yùn)動(dòng)到Ｐ點(diǎn)的過程中，Ａ球的速度一直減小

Ｄ．當(dāng)A球經(jīng)過桿與圓軌道相切的Ｑ點(diǎn)（圖中未畫出）時(shí)，Ｂ球的速度達(dá)到最大值

本題考查輕桿關(guān)聯(lián)問題，巧妙設(shè)計(jì)兩小球分別做圓周運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)了情境的復(fù)雜性和考查的綜合性，類似本題情境的問題曾在筆者執(zhí)教學(xué)校以及網(wǎng)絡(luò)上各大物理交流群引起熱烈討論。本題的參考答案為Ｂ、Ｄ選項(xiàng)，解析為：若Ａ球恰能過Ｐ點(diǎn)，則Ａ球在Ｐ點(diǎn)的速度須大于０，又此時(shí)Ｂ球的速度為０，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv>2mg2R，聯(lián)立解得v0>2，Ａ選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋燎蛟冢悬c(diǎn)時(shí)Ｂ球的速度為０，此時(shí)Ｂ球受力平衡，故aB=0，Ｂ選9b1b1e7352054464c797d3ca470e7189項(xiàng)正確；在Ａ球從M運(yùn)動(dòng)到Ｐ的過程中，Ｂ球的速度先增后減，故Ａ球的速度也先增后減，Ｃ選項(xiàng)錯(cuò)誤；A球運(yùn)動(dòng)到Ｑ點(diǎn)時(shí)，設(shè)輕桿與豎直方向的夾角為θ，有vA=vBcosθ，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知此時(shí)θ最大，即cosθ最小，vB最大，Ｄ選項(xiàng)正確。

我們不妨類比做豎直上拋的物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的情境，可知Ｂ選項(xiàng)認(rèn)為Ｂ球的速度為０時(shí)其受力平衡并不嚴(yán)謹(jǐn)。有觀點(diǎn)認(rèn)為，此時(shí)Ａ、Ｂ球加速度aA、aB沿桿分量應(yīng)相等，因此aB=aA=，這種說法也不對(duì)，因?yàn)椋燎蛞苍诶@Ｂ球做圓周運(yùn)動(dòng)，由加速度關(guān)聯(lián)有aA=-+aB，故應(yīng)為aB=v（+）。而Ａ、Ｂ球的速度只是沿桿分量相等，不一定是正相關(guān)，Ｃ選項(xiàng)有待商榷。Ｄ選項(xiàng)中雖然cosθ最小，但由于vA也在變化，因此并不能確定是否vB在該處最小。

顯然，在討論本題時(shí)，需要關(guān)注Ａ、Ｂ球的速度和加速度隨Ａ球在圓軌道不同位置處的變化規(guī)律，可用Ａ球轉(zhuǎn)過的角度來描述位置，并做如下分析：設(shè)初始時(shí)Ａ球的速度為v0，ＡＯ連線轉(zhuǎn)過α角時(shí)，輕桿與豎直方向的夾角為θ，此時(shí)Ａ、Ｂ球的速度分別為vA和vB，整體位形如圖２所示。由幾何關(guān)系有

=（１）

在地面系中，Ｂ球的加速度aB=沿輕桿方向，Ａ球的加速度可分解為沿圓軌道切向aAt=和徑向a=，設(shè)輕桿對(duì)Ａ、Ｂ球的作用力大小為Ｔ，由動(dòng)力學(xué)規(guī)律有

-mAaAt=mAgsinα+Tsin（α－θ）（２）

mBaB=-Tcosθ-mBg（３）

聯(lián)立（２）（３）式可得

-mAaAt=mAgsinα+mB（aB+g）（４）

根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)有

vBcosθ=vAsin（α-θ）（５）

由系統(tǒng)能量守恒得

mv=mv+mv+mgh+mgh（６）

其中，hA=R（1-cosα），hB=lcosθ+hA-l。聯(lián)立（５）（６）式可解得

vA=（７）

vB=（８）

接下來，分別將（１）（５）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

Rcosα=lcosθ（９）

acosθ-vsinθ=

asin（α-θ）+vcos（α-θ）（-）（１０）

其中，= （１１）

聯(lián)立（４）（９）（10）（１１）式，可解得

注意到（７）（８）（１２）（１３）式中的θ和α并不獨(dú)立，而是滿足（１）式的約束，若再將上述各式和（１）式聯(lián)立便可推出vA（α）、vB（α）、aAt（α）和aB（α）的表達(dá)式，由于表達(dá)式均較為冗長，故此處不列出，借助計(jì)算機(jī)軟件可視化可方便、直觀地研究各量隨α的變化規(guī)律。令l=2 m，R=0.5 m，g=9.8 m/s2，并依次令v0=４ ｍ/ｓ、６．２６１ ｍ/ｓ、８ m/ｓ和１２ ｍ/ｓ，借助Ｍａｔｌａｂ軟件分別繪制出vA、vB、aAt和aB隨α從０到2π變化的圖線如圖３所示，觀察圖３可得到以下規(guī)律和啟示。

（１）不論v0如何，初始時(shí)必有aAt=0，且若Ａ球能到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)，則在該點(diǎn)必有aAt=0和vB=0。這是輕桿兩端受力必沿桿和此時(shí)vA沿桿分量為０的結(jié)果。但存在一個(gè)臨界初速度vc=2≈6.261 m/s，若v0≤vc，Ａ球到達(dá)最高點(diǎn)前將一直減速，且若v0=vc，Ａ球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度剛好為０，由aAn==0，可得在該點(diǎn)aB=aA=0；若v0<vc，Ａ球?qū)⒉荒艿竭_(dá)圓軌道最高點(diǎn)，并在圓軌道上某處（如v0=4 m/s時(shí)對(duì)應(yīng)α≈1.458 rad）折返，故Ａ、Ｂ球的速度圖線均在此處被截?cái)唷?/p>

（２）若v0>vc，則Ａ球可通過圓軌道最高點(diǎn)，且并非一直減速，而是在圓軌道某處速度最小，該位置隨著v0增大而提前（如在v0=8 m/s和12 m/s下分別對(duì)應(yīng)α≈2.222 rad和1.925 rad），此后Ａ球?qū)⒓铀俨⒃谧罡唿c(diǎn)達(dá)到速度峰值，表明該階段輕桿對(duì)Ａ、Ｂ球的力指向桿中心，起到使Ｂ球減速和使Ａ球加速的作用。因此，若Ａ球能通過最高點(diǎn)，必有vA≠0，aB≠0，且aB隨著v0的增加而急劇增加，可見例1的Ｂ選項(xiàng)關(guān)于aB=0和Ｃ選項(xiàng)關(guān)于vA先增后減的表述錯(cuò)誤，但在試題命制時(shí)可設(shè)置aB=0對(duì)應(yīng)Ａ球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的情形，在教學(xué)中也可引導(dǎo)學(xué)生分類討論，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)縝密的分析思維。

（３）由于Ｂ球一定先加速后減速，因此在Ａ球上升到最高點(diǎn)前，vB必有最大值，該位置隨v0的增大而延后。在v0=vc的情形下對(duì)應(yīng)α0≈1.222 rad，而Ａ球經(jīng)過桿與圓軌道相切處由幾何關(guān)系有tanθ=和α=θ+，即tanα=-=-4，顯然α≠α0，因此例１的Ｄ選項(xiàng)錯(cuò)誤。雖然vB最大值的位置可由（１２）式令aB=0求得，但計(jì)算較為繁瑣，在試題命制時(shí)應(yīng)避免類似討論。

３ 輕桿關(guān)聯(lián)問題仿真實(shí)驗(yàn)可視化探討

通過對(duì)例１的探討可知，繩桿關(guān)聯(lián)問題由于是存在約束關(guān)系的多體多過程問題，如果缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治鰟t難以掌握其規(guī)律。但分析過程通常較為繁瑣，需借助數(shù)值模擬才能可視化。為方便直觀分析其規(guī)律，還可借助仿真實(shí)驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)，這里以仿真物理實(shí)驗(yàn)室５．０軟件為例，對(duì)例１的情境進(jìn)行可視化探究，其基本步驟如下。

（１）打開軟件，新建實(shí)驗(yàn)區(qū)域并設(shè)置坐標(biāo)比例，點(diǎn)擊上方工具欄的“設(shè)置”，選擇“考慮重力作用”，再在右側(cè)“器件欄”中依次選擇“圓軌道”和“直線軌道”，設(shè)置圓軌道的半徑Ｒ＝０．５ ｍ，初始坐標(biāo)（２，２）；直線軌道的上下端坐標(biāo)分別為（２，１０）和（２，１．７），在“器件欄”中依次新建“運(yùn)動(dòng)對(duì)象”（即小球Ａ和Ｂ）。分別放在“圓軌道”和“直線軌道”上，將“位置設(shè)定”選擇為“穿在軌道中間”；在“器件欄”中選擇“連接剛桿”連接小球Ａ和Ｂ；點(diǎn)擊“屬性”，分別設(shè)定小球Ａ和Ｂ的初始坐標(biāo)為（２，０．５）和（２，２．５），且Ａ球的初速度為v0x=10 m/s，模擬例1的題設(shè)情境。

（２）在“屬性”的“動(dòng)態(tài)顯示”中選擇“顯示速度矢量”和“顯示加速度矢量”，如圖４所示。畫面中的箭頭定性表示小球Ａ和Ｂ的速度和加速度，點(diǎn)擊“運(yùn)行”，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)Ａ球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，小球Ａ和Ｂ均具有豎直向下且不等的加速度。

（３）為了更具體地觀察小球Ａ和Ｂ各物理量的變化，點(diǎn)擊“屬性”并選擇“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線”，可以選擇不同的運(yùn)動(dòng)參量進(jìn)行繪圖。如果實(shí)驗(yàn)進(jìn)行太快，不方便觀察和采集數(shù)據(jù)，可以點(diǎn)擊“設(shè)置”，將“實(shí)驗(yàn)最小掃描時(shí)間”修改得小一些即可。這里分別輸出Ａ球的v-t圖和Ｂ球的a-t圖，在合理設(shè)置坐標(biāo)分度后得到圖５，可見vA-t圖與圖３中的vA-α圖相似，aB-t圖與圖３中的aB-α圖相似，實(shí)現(xiàn)了理論推導(dǎo)數(shù)值模擬和仿真實(shí)驗(yàn)的相互驗(yàn)證。

參考文獻(xiàn)

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（欄目編輯 蔣小平）