安培力做功的微觀和宏觀過程及能量轉(zhuǎn)化探究

摘 要：由磁場驅(qū)動電梯的實際問題出發(fā)，從微觀上探究了兩個洛倫茲力做的功及總功為零的原因，揭示了能量轉(zhuǎn)化的微觀機制；在地面參考系中從宏觀分析一對安培力和一對非靜電力所做的功，找出了它們的大小關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)化過程，并對一些特殊情況進行了剖析。

關(guān)鍵詞：安培力；洛倫茲力；微觀；宏觀；功；能量轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0066-3

１ 問題的提出

本地某校高三的一次?？贾谐霈F(xiàn)了這樣一道物理試題：

一種無繩電梯依靠電磁驅(qū)動原理運行，如圖１所示，質(zhì)量為ｍ、寬度為ｌ的電梯轎廂一端處于方向垂直轎廂平面向里、磁感應強度大小為Ｂ的勻強磁場中。某次向上啟動電梯時，磁場以速度ｖ勻速向上移動，轎廂一端始終處于磁場區(qū)域內(nèi)，整個轎廂的電阻為Ｒ，重力加速度為ｇ，阻力不計，則下列說法正確的是（ ）

Ａ．轎廂向上做勻加速直線運動

Ｂ．轎廂向上運動的速度可能為v-

Ｃ．安培力對轎廂做的功大于轎廂機械能的增量

Ｄ．安培力對轎廂做的功可能小于回路中產(chǎn)生的熱量

考后，大家對Ａ、Ｂ選項都沒有異議，認為Ａ選項錯誤，Ｂ選項正確，但是對Ｃ、Ｄ選項形成了不同的觀點，在當?shù)氐闹袑W物理教師之間以及師生之間，甚至波及到大學教師之間，進行了一場激烈的討論。一種觀點認為，從能量轉(zhuǎn)化守恒的角度，轎廂受到向上的安培力做的功就應等于回路產(chǎn)生的電能和轎廂增加的機械能，然后產(chǎn)生的電能在回路中再全部生1Vs+y/DBomemdGjTp0B9kKa8m4eQdgp+Q/kpxvkc95U=成熱能，因此應選Ｃ選項。但另一種觀點認為，從對轎廂用功能原理知，安培力的功就是除重力、彈力之外的其他力的功，就應等于轎廂機械能的增量，因此不能選Ｃ選項，由于表達式不能確定數(shù)量的大小關(guān)系，因此應選Ｄ選項。

這是一種平常見得較少的磁場運動的發(fā)電機模型。隨著討論的深入，可以發(fā)現(xiàn)大家對安培力的微觀、宏觀產(chǎn)生過程以及能量的轉(zhuǎn)化情況都或多或少存在過程不清或認識不全面等問題，下面進行詳細探究。

２ 微觀上洛倫茲力及其做功的分析

由于導體切割磁感線是相對于磁場而言的，或者洛倫茲力是帶電粒子相對磁場的運動而產(chǎn)生的，因此，以速度v向上勻速運動的磁場為參考系分析。如圖２所示，假設轎廂已被驅(qū)動，某時刻向上的速度設為v1，二者間的相對速度為v-v1。對轎廂上端處于磁場中的導體來說，為了分析方便，設其中的自由電荷為正電荷，電荷量為q，因為其相對于磁場向下以v-v1的速度運動，由左手定則知其受到向右的洛倫茲力f1=q（v-v1）B，其作為非靜電力推動自由電荷在導體中做定向移動形成感應電流，產(chǎn)生電能。同時，自由電荷沿導體定向移動（設此時相對于磁場向右的速度為v2）在磁場中又將受洛倫茲力f2=qv2B，由左手定則知其方向豎直向上。

以向上運動的磁場為參考系，轎廂相對于磁場速度向下，大小為v-v1，該時刻兩個洛倫茲力的功率分別為

P1=f1v2=q（v-v1）Bv2

P2=-f2（v-v1）=-qv2B（v-v1）

故P1+P2=0?？梢?，洛倫茲力始終不做功，但兩個分力要做功。其中， f1做正功，是非靜電力做功，使回路中產(chǎn)生電能； f2做負功，阻礙轎廂相對于磁場的運動，使轎廂相對磁場的機械能減小。由于總功為零，說明是兩個洛倫茲力在微觀上實現(xiàn)兩種能量的等量轉(zhuǎn)化，這里是將轎廂相對磁場的機械能轉(zhuǎn)化成回路中的電能。

３ 宏觀上各力做功及能量轉(zhuǎn)化分析

從地面參考系來看，如圖３所示，該時刻，上面兩個洛倫茲力f1、f2在宏觀上可分別記為F=∑q（v-v）B，F(xiàn)=∑qvB（可以證明∑qvB=nSLqv2B=BIL，其中Ｓ、Ｌ為上端導體的橫截面積和長度，ｎ為單位體積的自由電荷數(shù)），磁場的反作用力分別為F'=∑q（v-v）B（水平向左），F(xiàn)'=∑qvB（豎直向下）。在該時刻各力的功率分別為：

P=Fv2=∑q（v-v）Bv2，表示回路中單位時間產(chǎn)生的電能；

P=Fv1=∑qvBv，表示轎廂在單位時間內(nèi)增加的機械能。

P'=F'vcos90°=0

P'=-F'v=-∑qvBv，表示運動的磁場裝置單位時間消耗的機械能。

由上可見，P+P=|P'|，或|P+P'|=P。

從地面參考系看，能量是由F'做負功將外界機械能轉(zhuǎn)化為轎廂通過F做功增加的機械能和通過非靜電力做功而產(chǎn)生的回路電能。也可以說是一對安培力的總功為負，阻礙磁場與轎廂之間的相對運動，其大小表示系統(tǒng)減少的機械能轉(zhuǎn)化為回路中的電能，這與前面的兩個洛倫茲力做功的微觀機制相吻合。因此，前面題目中安培力對轎廂做的功只等于轎廂機械能的增量，其反作用力F'對磁場做的負功的大小才等于轎廂增加的機械能和回路增加的電能，所以Ｃ選項錯誤，由于P=∑q（v-v）Bv2與P=∑qvBv1的大小無法比較，故Ｄ選項正確。

４ 對其他情況的分析

該題中，如果安培力小于轎廂的重力，轎廂不動時，由于回路中自由電荷與磁場間有相對運動，仍將產(chǎn)生沿回路方向的洛倫茲力，并作為非靜電力在回路中產(chǎn)生電能。在圖３中，v1=0，F(xiàn)=F'=∑q（v-v）B=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，在圖示時刻P=Fv2=∑qvBv，P=0，P'=0，P'=-F'v=

-∑qvBv?？梢姡ㄟ^F'做負功，將外界機械能全部轉(zhuǎn)化為通過非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能，安培力即使對轎廂不做功，但這一對安培力的總功的大小仍等于回路中產(chǎn)生的電能。

平常我們見得最多的問題是磁場不動，即在上圖中v=0。如圖4所示，外界拉力使閉合回路的部分導體在磁場中相對磁場運動，設速度仍為v1，則回路中的自由電荷受到的洛倫茲力方向向左，大小為f1=qv1B，此力作為非靜電力推動自由電荷在回路中做定向移動形成感應電流。設某一時刻自由電荷定向移動的速度（下轉(zhuǎn)第71頁）（上接第67頁）為v2，這一相對磁場的運動又將產(chǎn)生一個方向豎直向下的洛倫茲力，其大小為f2=qv2B，這兩個力的宏觀力分別記為F=F'=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，其中F'對磁場不做功，F(xiàn)'對磁場仍不做功，只有F和F兩個力做功，在該時刻這兩個力的功率分別為P=Fv2=∑qvBv2，P=-Fv1=-∑qvBv?？梢姡藭r是通過F（而不是通過F'）做負功將運動導體的機械能轉(zhuǎn)化為通過非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能。

５ 結(jié) 語

綜上所述，不管是磁場運動還是回路中部分導體運動或者是二者都運動，在沒有外界供電的發(fā)電機模型中，只要磁場與導體間有相對運動，導體中的自由電荷一定會受到一個洛倫茲力來推動其沿導體定向移動形成感應電流，由于導體中自由電荷相對磁場的定向移動，又將受到另一個洛倫茲力去阻礙導體與磁場間的相對運動，兩個洛倫茲力的總功一定為零，表示通過這兩個力做功實現(xiàn)能量的等量轉(zhuǎn)化。這兩個洛倫茲力都是磁場作用在自由電荷上的，其反作用力作用在磁場上，在宏觀上表現(xiàn)為磁場與導體間存在一對非靜電力和一對安培力，由于磁場與導體間有相對運動，使一對非靜電力的總功為正，其大小等于導體回路中產(chǎn)生的電能，一對安培力的總功為負，其大小等于因阻礙導體與磁場之間的相對運動而導致系統(tǒng)減少的機械能，從等量轉(zhuǎn)化的微觀機制可知，系統(tǒng)機械能的減少量一定等于回路產(chǎn)生的電能。

參考文獻：

［１］閆來貴．正確認識動生電磁感應現(xiàn)象中的功能關(guān)系成立的參考系［Ｊ］．物理教師，２０２１，42（５）：５８－６０．

［２］鮑永新，蘇明義．遷移研究方法 深化模型理解——以“霍爾效應、發(fā)電機模型、電動機模型”教學為例［Ｊ］．中學物理教學參考，２０２２，51（28）：２０－２２．

（欄目編輯 蔣小平）