2024湖北高考第10題的多解、拓展與教學啟示

摘 要：以2024年湖北高考物理第10題為例，通過對試題的分析，從動量與能量觀念、圖像法、柯尼希定理、質(zhì)心運動定理等多種解法出發(fā)，評析解法，研究高考，并對試題進行溯源式拓展，探討其中的物理教育價值，嘗試建立處理此類模型的方法體系，以期提升學生基于高觀點理念下的中學物理問題的解決能力。

關(guān)鍵詞：滑塊-木板模型；一題多解；溯源拓展；高觀點

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0041-5

2024年湖北省高考物理第10題是力學綜合題。試題以滑塊-木板模型為情境載體，通過對模型中典型的極值問題進行命題。題目著重考查學生的運動與相互作用觀念、守恒觀念，考查其推理演繹等科學思維，運用數(shù)學知識處理物理問題的關(guān)鍵能力。試題綜合度高，難度較大。從不同思考角度分析試題有多種解法，有很好的區(qū)分度。本文從不同視角出發(fā)進行分析，如運用動量與能量觀念，運用圖像法定量分析，同時考慮柯尼希定理、質(zhì)心運動定理等多種思維角度處理此題，尤其是基于高觀點理念下的中學物理問題解決方法，能有效提升學生的多種學科素養(yǎng)，同時對試題進行溯源式拓展，嘗試建立處理此類模型的方法體系。

1 原題呈現(xiàn)

（2024年湖北省高考物理第10題） 如圖1所示，在光滑水平面上靜止放置一質(zhì)量為M、長為L的木塊，質(zhì)量為m的子彈水平射入木塊。設(shè)子彈在木塊內(nèi)運動過程中受到的阻力不變，其大小f與射入初速度大小v0成正比，即f=kv0（k為已知常數(shù)）。改變子彈的初速度大小v0，若木塊獲得的速度最大，則（ ）

A.子彈的初速度大小為

B.子彈在木塊中運動的時間為

C.木塊和子彈損失的總動能為

D.木塊在加速過程中運動的距離為

2 試題多解探討

2.1 解法1：基本方法——基于動量和能量的觀念

解法展示：子彈和木塊相互作用過程中系統(tǒng)動量守恒。設(shè)子彈穿出木塊后，子彈和木塊的速度分別為v1、v2，則有mv0=mv1+Mv2。根據(jù)能量守恒定律，則有-fL=。

根據(jù)題目條件f=kv0，聯(lián)立上式可得v2=，繪制圖像如圖2所示，根據(jù)圖像可知v2隨v0單調(diào)遞減。在定義域內(nèi)，當v0=2（+L=2，木塊的速度最大，所以A選項正確。則子彈穿過木塊時木塊的速度為v2=。

由運動學公式v2=a2t，可得t=，故B選項錯誤。由能量守恒可得子彈和木塊損失的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)摩擦生熱，即ΔE=Q=fL=，故C選項錯誤。木塊加速過程運動的距離為x2=t=，故D選項正確。故本題正確選項為A、D。

解法評析：本解法采用動量守恒定律與能量守恒定律，定量解出木塊速度的表達式。然后，通過函數(shù)圖像分析方法求出木塊速度最大值對應(yīng)的子彈初速度的初始條件，得出A選項。進一步推理演繹，判斷另外三個選項。本解法屬于解決滑塊-木板模型的常規(guī)解法，運用運動與相互作用觀念、守恒觀念，通過科學推理、數(shù)學函數(shù)分析得出正確答案。但是，此方法運算量很大，花費時間長，不是考場上的最優(yōu)解法。

2.2 解法2：物理臨界法

解法展示：對子彈和木塊系統(tǒng)，在相互作用過程中動量守恒，假設(shè)子彈未穿出木塊，則有mv0=（M+m）v，木塊的速度為：v=。設(shè)子彈相對木塊移動的距離為d，根據(jù)能量守恒定律，子彈在木塊中運動過程中產(chǎn)生的內(nèi)能Q==fd。根據(jù)題目條件f=kv0，綜合推理可得=kv0d，數(shù)學化簡得出v0=kd。據(jù)此容易推出，d越大，v0越大，當d=L時，v0=達到最大，此時木塊速度v=最大，故A選項正確。以此為切入點，推理得出本題正確選項為A、D。

解法評析：此解法運用動量守恒定律建立方程，分析得出當二者共速時木塊速度最大。再根據(jù)能量守恒定律建立子彈在木塊中移動的距離d和子彈初速度的關(guān)聯(lián)。代入題給信息（f=kv0），經(jīng)數(shù)學處理得出，當d=L時，若子彈剛要穿出木塊，恰好達到共速，從而確定A選項正確。此種方法運用物理臨界條件處理問題尋找極值，簡化了數(shù)學運算過程，提高了做題速度。此種方法是在假設(shè)子彈沒有射出木塊的前提下推導的，事實上通過計算也可以得出當子彈穿過木塊時該結(jié)論仍然成立。

2.3 解法3：圖像法

解法展示：分情境討論。

情境1：若子彈沒有穿出木塊，設(shè)子彈在木塊中運動的距離為d，子彈和木塊的v-t圖像如圖3所示，由圖像可知d=。子彈和木塊組成的系統(tǒng)動量守恒，得mv0=（M+m）v。以木塊為研究對象，根據(jù)牛頓運動定律f=kv0=Ma。木塊做勻變速直線運動，經(jīng)時間t0二者達到共速，v=at0。綜合上述各式得d=，v=。分析可知，當d越大，v0越大，v越大。所以，當d=L時，木塊速度最大，此時v0=，故A選項正確，問題得以突破。

情境2：若子彈可以從木塊中射出，子彈和木塊的v-t圖像如圖4所示，根據(jù)v-t圖像可得L=t0。以木塊為研究對象，根據(jù)牛頓運動定律f=kv0=Ma2，木塊做勻變速直線運動，經(jīng)時間t0，木塊的速度為v2=a2t0。以子彈為研究對象，根據(jù)牛頓運動定律f=kv0=ma1，子彈做勻變速直線運動，經(jīng)時間t0子彈的速度為v1=v0-a1t0，綜合以上各式，可得（M+m）v-2mvv+=0。則v=，分析可得，當v=2（+）L=2時，木塊的速度最大，故A選項正確，問題得以突破。

解法評析：圖像法是解決滑塊-木板模型的常用方法。圖像法相比代數(shù)推導更直觀，同時圖像能夠展示滑塊-木板模型中多物體的相對運動過程，更容易找到物體間位移與速度的關(guān)系，判斷臨界條件，比解法2更科學，而且有化繁為簡、直觀可視的效果。

2.4 解法4：柯尼希定理

解題依據(jù)的論證建模：質(zhì)點系的動能等于質(zhì)心的動能加上質(zhì)點系相對質(zhì)心坐標系的動能，稱為柯尼希定理［１］。對子彈和木塊系統(tǒng)，外力矢量和為零，質(zhì)心平動動能不變。在內(nèi)力做功下質(zhì)點系動能增量由柯尼希定理分析易得，即等于相對動能的增量。

解法展示：對子彈和木塊系統(tǒng)在相互作用過程中動量守恒，設(shè)子彈和木塊的速度分別為v1、v2，則有mv0=mv1+Mv2。根據(jù)柯尼希定理，系統(tǒng)動能變化量ΔEkr=（v-v）2-v=

-kv0d，然后分情境討論。

情境1：子彈未穿出木塊，即d≤L，則v1=v2，可得v=，v=kvd。

分析可知：當d=L時，木塊速度最大，此時v0=。

情境2：若子彈穿出木塊ΔEkr=（v-v）2-v=（-v2）2-

v=-kv0L

化簡后得v=

得出的結(jié)論與方法1一致。故A選項正確，問題突破。

解法評析：柯尼希定理是理論力學中的一個重要定理，通常用于解決多物體的相對運動問題，尤其是兩體問題。利用柯尼希定理，能夠很快地找到木塊速度的表達式，再利用函數(shù)分析求出對應(yīng)的極值，屬于基于高觀點處理中學物理問題的方法。物理學意義上的高觀點指的是一切物理觀念、科學思維、現(xiàn)代教育學理論、認知心理學知識和物理教育學的基本理論?！案哂^點”下的物理問題，是指與大學物理甚至理論物理相聯(lián)系的高中物理問題或者說含有大學物理背景或思想的中學物理問題［２］。這種處理方式，可以開拓學生視野，提升學習的上位意識，讓學生站在更好的角度去看待中學物理問題。

2.5 解法5： 質(zhì)心運動定理

解題依據(jù)的論證建模：如果一個質(zhì)點組的質(zhì)心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心將以原來的速度做勻速直線運動［３］，此為質(zhì)心運動定理的推論。

解法展示：質(zhì)心速度為vc=，系統(tǒng)外力為0，根據(jù)質(zhì)心運動定理的推論，整個過程中質(zhì)心速度vc不變，則子彈的速度v1越小，木塊速度v2就越大。由于子彈和木塊的相互作用，子彈做減速運動，木塊做加速運動，當二者速度相等時，木塊的速度最大，即木塊的最大速度v2=。再根據(jù)能量守恒定律，有Q=v=fd。所以當d=L時，木塊速度最大，此時v0=，故A選項正確，問題得以突破。

解法評析：利用質(zhì)心運動定理，能夠迅速找到木塊速度的最大值對應(yīng)的臨界條件，可以在一個較短時間內(nèi)解出答案，體現(xiàn)出基于高觀點處理中學物理問題的方法的強大優(yōu)勢。

3?; 試題溯源式拓展

３．１ 拓展試題［3］呈現(xiàn)

質(zhì)量為m1的小墊圈放在質(zhì)量為m2的長板左端，板上涂有潤滑油（圖5）。墊圈與板之間的摩擦是黏性的（作用在墊圈上的摩擦力f=-αv，式中v為墊圈相對板的速度）。系統(tǒng)位于光滑的水平面上，使墊圈以初速度v0向右運動。經(jīng)過足夠長的時間，墊圈和板將達到多大的速度？求墊圈離開板左端的距離Ｌ。

３．２ 試題解析［3］

設(shè)墊圈和板的速度分別為v1和v2，那么u=v1-v2表示它們的相對速度，求。根據(jù)牛頓第二定律，m1=-α（v1-v2），m2=+α（v1-v2）。由此得到=-α（+）u=-，式中=，=（+）。恒量τ具有時間量綱，μ具有質(zhì)量量綱。由此可見，相對速度u的變化規(guī)律，如同質(zhì)量為μ的質(zhì)點在阻力為αu的黏性介質(zhì)中運動速度的變化規(guī)律。該質(zhì)點的速度隨著時間減慢，穩(wěn)定速度值u將等于０，即墊圈和板的速度變?yōu)橄嗤?。根?jù)動量守恒定律：m1v0=（m1+m2）v?？傻胿=。用ｒ表示連接墊圈和板左端的矢量，因為u=，故Δr=uΔt=-τΔu。當速度u從v0變化到０時（Δu=-v0），墊圈與板左端的距離變化Δr=v0τ。由此可見，在穩(wěn)定條件下，墊圈和板將以速度v=運動，墊圈遠離板左端的距離為L=v0τ=v0=·，試題得解。

３．3 拓展評析

本題運動情境和湖北高考物理第１０題高度相似，尤其是墊圈與板之間摩擦的特性以及問題的設(shè)計（都聚焦于臨界極值），故為同源試題，此為溯源。本題墊圈與板之間摩擦的特性中指出u是相對速度，較之更真實科學。解答上使用到了微分方程，是基于高觀點的理念，是為拓展。本題也可以通過高考試題解法求解。

４ 教學啟示

滑塊-木板模型是中學物理中的常見模型，是很好的教學問題情境。其從必修一的摩擦力教學中開始出現(xiàn)，經(jīng)歷牛頓第二定律、機械能守恒定律單元的功能原理，再到動量守恒定律單元，甚至再到電場、磁場中復合疊加場問題。滑塊-木板模型問題是高考中的?？停芏鄷r候以選擇題、計算題的壓軸身份出現(xiàn)。這啟示我們重視這一模型，以歷屆高考真題、教材、生產(chǎn)生活中的原型為情境，建立滑塊－木板模型問題情境體系，培養(yǎng)學生的建模能力、多題歸一的概括能力和總結(jié)習慣以及建立體系（知識結(jié)構(gòu)體系、模型情境體系）的高階思維能力。

知識結(jié)構(gòu)體系、模型情境體系中必然有思維方法體系，我們可以嘗試建立方法體系。首先，涉及到的規(guī)律主要有：動力學規(guī)律——兩物體的加速度大小與質(zhì)量成反比，方向相反，運動學規(guī)律——是兩個做勻變速運動物體的追及問題或是一個相對運動問題，動量規(guī)律——系統(tǒng)的總動量守恒，能量規(guī)律——單體動能定理，系統(tǒng)功能原理還可用圖像描述。在大學專業(yè)物理中涉及到的主要規(guī)律有：質(zhì)點系牛頓第二定律、質(zhì)點系運動定理、質(zhì)點系動能定理等，建構(gòu)方法體系如圖6所示。

中學物理階段，滑動摩擦因數(shù)當定值處理。湖北高考物理第１０題和溯源拓展試題中滑動摩擦因數(shù)均為變量，由恒到變，由單質(zhì)點、兩質(zhì)點到多質(zhì)點系是中學物理到大學物理的過渡。其實，我們將大學物理與高中物理銜接緊密的部分原理、定理，以中學生可接受的方式滲透給學生，拓展視野，培養(yǎng)高觀點理念，以高階思維方式和強化問題意識、進階意識，期望學生能獲得高位視角、核心思維和關(guān)鍵能力。這也未嘗不是一件很有意義的教學探索。

參考文獻：

［１］賈書惠．理論力學教程［Ｍ］．北京：清華大學出版社，２００４：１８０－１８１．

［２］楊海青，李承煜．２０２２年高考理綜甲卷物理２５題溯源與高觀點研究［Ｊ］．中學物理教學參考，２０２２，51（9）：５３－５７．

［３］劉海生，汪楠．全國高中物理競賽新培訓教程［Ｍ］．杭州：浙江大學出版社，２０１８：８２．

（欄目編輯 陳 潔）