巧改題深思考，結(jié)構(gòu)化建模型

“雞兔同籠”不僅是我國古代的數(shù)學(xué)名題，還是我國古代人民智慧的體現(xiàn)。這個(gè)問題最早出現(xiàn)在距今1500年前的《孫子算經(jīng)》，這一內(nèi)容被選入人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊第九章“數(shù)學(xué)廣角”。它描述了這樣一個(gè)情境：一個(gè)籠子里有若干只雞和兔，通過頭和腳的總數(shù)量來求雞和兔子各有多少只？這個(gè)問題的解法很多，筆者基于深度學(xué)習(xí)和結(jié)構(gòu)化的思考，讓學(xué)生通過“改題”進(jìn)行深度思考，通過結(jié)構(gòu)化的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，深切地感受到學(xué)生積極動(dòng)腦進(jìn)行深度思考的魅力，以及應(yīng)用結(jié)構(gòu)化進(jìn)行建模的優(yōu)勢。希望我的嘗試能夠引發(fā)一線教師對(duì)深度學(xué)習(xí)和結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考。

一、巧改題，促深思

教科書先呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”接著提示我們用“化繁為簡”的方法：把頭變成了8個(gè)，腳變成了26只，問雞兔各有幾只？當(dāng)這道題把數(shù)量變小后，學(xué)生們還是不知道如何解決這個(gè)問題。此時(shí)，教師通過以下幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的特殊之處：①讀了“雞兔同籠”的問題，你有什么感到疑惑的地方嗎？學(xué)生們沒有反應(yīng)。②你們養(yǎng)過貓或者狗嗎？剛才還莫名其妙的學(xué)生們一下活躍起來了，他們紛紛講述自己養(yǎng)的寵物。③你們有同時(shí)養(yǎng)兩種動(dòng)物的嗎？它們會(huì)有幾個(gè)窩？為什么不能住一個(gè)窩？此時(shí)學(xué)生們就津津有味地分享：貓和狗是兩種不同的動(dòng)物，住在一起會(huì)打架。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”的特殊之處在于：把兩個(gè)品種的動(dòng)物放在了一起，而在實(shí)際生活中這種現(xiàn)象一般不存在，這樣就自然而然地發(fā)出感嘆：要是只有一個(gè)品種就好了！接著教師再引導(dǎo)學(xué)生們：“雞兔同籠”到底要研究什么樣的問題？又應(yīng)該如何解決呢？在這樣真實(shí)的教學(xué)情境中，教師一步步把學(xué)生引向深度學(xué)習(xí)。

此時(shí)教師繼續(xù)引導(dǎo)：如果允許改變題目，你覺得怎么改變就能很容易地解決問題？同學(xué)們愣住了，于是教師指著剛才的感嘆——要是只有一種品種就好了！于是學(xué)生們想到：如果籠子里只有一種動(dòng)物——雞或者兔，就能根據(jù)8個(gè)頭求出腳一共有幾只？即：如果都是雞，一共有16只腳；如果都是兔，一共有32只腳。此時(shí)，同學(xué)們再次體會(huì)到“如果只有一個(gè)品種就好算了”，這個(gè)認(rèn)識(shí)非常重要！

以上的教學(xué)過程直面真實(shí)的問題情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過不斷的質(zhì)疑，教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心地參與體驗(yàn)，這就是開展深度學(xué)習(xí)的良好開端。

二、結(jié)構(gòu)化，建模型

為了繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，采用結(jié)構(gòu)化來進(jìn)行學(xué)習(xí)，即嘗試尋找方法、對(duì)比溝通聯(lián)系、深思建立模型、綜合發(fā)展素養(yǎng)。

（一）嘗試尋找方法

學(xué)生們帶著質(zhì)疑研讀題目：“雞兔同籠共有8個(gè)頭，26只腳，問雞、兔各有幾只？”教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)形結(jié)合，思考怎么畫？怎么添腳？學(xué)生們先各自嘗試再討論方法：畫出8個(gè)圓代表8個(gè)動(dòng)物，可以把2個(gè)品種的動(dòng)物都看成一種品種——雞，把每個(gè)動(dòng)物都添上兩只腳（如右圖），再重點(diǎn)思考：每只雞添了2只腳，共有多少只？剩余多少只？為什么會(huì)剩？此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把8只動(dòng)物都看成了雞，腳只有16只，少了10只腳；需要把每只假設(shè)成雞的動(dòng)物添上2只腳，就變成兔子，一共要變5次！所以兔子有5只，雞有3只。接著讓學(xué)生試著在畫圖的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，就是假設(shè)法的解題過程，如下：

假設(shè)全是雞：腳的總數(shù)為：8×2=16（只），與實(shí)際相差：26-16=10（只），

每只兔子少算了幾只腳？4-2=2（只），兔子的數(shù)量：10÷2=5（只），

雞的數(shù)量：8-5=3（只）。

當(dāng)弄清楚假設(shè)全是“雞”的方法后，再假設(shè)全是兔求解！接著還原《孫子算經(jīng)》中的“35頭，94足”，學(xué)生們迎刃而解！此時(shí)，他們經(jīng)歷了嘗試畫圖、探索方法、總結(jié)算法的過程，這樣就進(jìn)行了知識(shí)體系的建構(gòu)，是深度學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)之一。同時(shí)這個(gè)過程的思考方法和第一個(gè)環(huán)節(jié)“巧改題促思考”的基礎(chǔ)是相同的：都是把所有的動(dòng)物看成一個(gè)品種，找出相差量再調(diào)換找出正確的結(jié)果。這樣學(xué)生們在解決“雞兔同籠”時(shí)就形成了一個(gè)完整的思維結(jié)構(gòu)。

（二）對(duì)比溝通聯(lián)系

僅僅研究假設(shè)法還不足以豐富“雞兔同籠”的解題方法，于是引導(dǎo)學(xué)生們邊填表邊思考討論：列表法是什么方法？通過討論同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：表格中是分別假設(shè)雞有幾只？兔有幾只？再依次計(jì)算腳一共有多少只，從而找出正確答案。而且表格的第一列和最后一列就是剛才假設(shè)全是雞或全是兔的兩種方法。此時(shí)，學(xué)生們豁然開朗：原來列表法依然是建立在假設(shè)的基礎(chǔ)之上！

在這一過程中，學(xué)生們通過計(jì)算、對(duì)比，溝通了教科書上看似不同的兩種方法，其實(shí)都是建立在“假設(shè)”的基礎(chǔ)之上的。這樣知識(shí)的機(jī)構(gòu)化就進(jìn)一步得到了深化，而且學(xué)生們的學(xué)習(xí)投入程度很高，思維層次也得到了提升，這便使深度學(xué)習(xí)加強(qiáng)了。

（三）深思建立模型

當(dāng)呈現(xiàn)了以上兩種方法后，教師便帶著學(xué)生們回到開課時(shí)提出的問題：“雞兔同籠”到底是研究什么問題呢？學(xué)生們展開討論，教師適時(shí)提示：如果只有一個(gè)品種，那頭數(shù)就是“份數(shù)”，每只雞的腿數(shù)或兔的腿數(shù)都是“每份數(shù)”，“每份數(shù)”和“份數(shù)”都只有一個(gè)，總共有幾條腿就是腿的“總數(shù)”。而“雞兔同籠”是有兩個(gè)份數(shù)、兩個(gè)每份數(shù)，合并成一個(gè)總數(shù)的問題。我們需要借助假設(shè)法，把兩個(gè)不同的品種分開，分別計(jì)算出它們的數(shù)量。這兩種看似不同的方法，其實(shí)都是基于假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，只不過列式計(jì)算的方法是假設(shè)全是一個(gè)品種，尋找相差量再求解；列表是分別假設(shè)兩個(gè)品種各有幾個(gè)，依次計(jì)算尋找符合題意的一組。相比之下，假設(shè)全是一個(gè)品種的方法更簡明。

在這一過程中，學(xué)生們在教師的引導(dǎo)下深挖到數(shù)量關(guān)系這一層，體會(huì)到了“雞兔同籠”問題背后的數(shù)量關(guān)系，對(duì)“雞兔同籠”的結(jié)構(gòu)化就更深了一層。而且在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們的學(xué)習(xí)投入程度很高，在分析、理解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入了，深度學(xué)習(xí)的程度加強(qiáng)了，思維層次再一次得到了提升。

（四）綜合發(fā)展素養(yǎng)

當(dāng)學(xué)生們經(jīng)歷了嘗試尋找方法、對(duì)比溝通聯(lián)系、深思建立模型這三個(gè)階段后，教科書上緊接著出現(xiàn)了各種各樣的練習(xí)題，有“自行車和三輪車”“大、小兩種鋼珠”“租大船和小船”……為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，還需要進(jìn)行再一次的深度思考：①這些題目中既沒有雞，也沒有兔，那還屬于“雞兔同籠”問題嗎？②應(yīng)該如何解決這些問題呢？

此時(shí)讓學(xué)生們展開全班討論并總結(jié)：①看似沒有雞和兔，但是都包含了兩個(gè)品種，分別有兩個(gè)每份數(shù)和份數(shù)，所以屬于“雞兔同籠”問題。②采用假設(shè)法求解。通過上面的溝通，同學(xué)們對(duì)“雞兔同籠”的本質(zhì)已經(jīng)能透徹的理解，知識(shí)的結(jié)構(gòu)化逐漸形成，“雞兔同籠”假設(shè)法的解題模型也形成了。

在這次結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們積極參與、主動(dòng)思索、質(zhì)疑，面對(duì)一個(gè)個(gè)真實(shí)的問題，開展一次次激烈的思考討論，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，還進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)。通過結(jié)構(gòu)化的方式建立了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生的建模意識(shí)也得到了培養(yǎng)。這樣的學(xué)習(xí)不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可謂是一箭雙雕！