莫爾圓極點(diǎn)法的數(shù)學(xué)理論探源和工程應(yīng)用探討

摘 要：莫爾圓在應(yīng)力路徑、地基承載力、擋土壓力等方面得到了廣泛應(yīng)用，也常用于解釋試驗(yàn)數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)巖土變形。莫爾應(yīng)變圓上有一個(gè)特殊的點(diǎn)，將其稱(chēng)之為極點(diǎn)。這個(gè)極點(diǎn)跟單元體的應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，而且其特點(diǎn)在于可以通過(guò)它來(lái)達(dá)到任何平面的應(yīng)變狀態(tài)。分析莫爾圓極點(diǎn)法的數(shù)學(xué)原理，介紹極點(diǎn)和極線。探討莫爾圓極點(diǎn)法的內(nèi)在特性，最后分析了其在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：莫爾圓極點(diǎn)法 數(shù)學(xué)理論 極點(diǎn) 極線

中圖分類(lèi)號(hào)：TU47

Discussion on Mathematical Theory and Engineering Application of Mohr’s Circle Pole Method

CAO Xuecheng

Wuxi Lixin Higher Vocational School， Wuxi， Jiangsu Province， 214000 China

Abstract：Mohr’s circle has been widely used in stress paths， foundation bearing capacity， retaining pressure， and other aspects， and is also commonly used to interpret test data and predict rock and soil deformation. There is a special point on the Mohr strain circle， which is called a pole. The pole is related to the strain state of the element， and its characteristic is that the strain state of any plane can be reached through it. This article analyzes the mathematical principles of the Mohr’s circle pole method and introduce poles and polar lines， explores the inherent characteristics of the Mohr’s circle pole method， and finally analyzes its advantages in engineering applications.

Key Words： Mohr’s circle pole method; Mathematical theory; Pole; Polar line

莫爾圓（Mohr Circle）最初是由德國(guó)Karl Culmann提出的一種圖形應(yīng)力分析方法，認(rèn)為在應(yīng)力圓上可以找到每一個(gè)斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)[1]。隨后，在1882年，德國(guó)結(jié)構(gòu)工程師Christian Otto Moore對(duì)莫爾圓的概念進(jìn)行了深入而全面的研究，成功將其應(yīng)用范圍擴(kuò)展至二維和三維應(yīng)力情況，并基于應(yīng)力圓提出了荷載標(biāo)準(zhǔn)[2]。莫爾圓極點(diǎn)法的理論基礎(chǔ)簡(jiǎn)潔，易于理解掌握。同時(shí)，該方法的操作步驟簡(jiǎn)潔明了，便于工程人員實(shí)際應(yīng)用時(shí)快速掌握。極點(diǎn)法是求解MohrCircle的一種非常重要的方法。極點(diǎn)的使用使得在復(fù)雜條件下，通過(guò)圖形方法獲取應(yīng)力狀態(tài)（包括大小和方向）是一種高效且簡(jiǎn)便的方式，無(wú)須進(jìn)行繁瑣的數(shù)值計(jì)算。

1 射影幾何學(xué)中的基本概念

1.1 帕斯卡定理

根據(jù)帕斯卡（Pascal）定理是非退化二階曲線的內(nèi)接六角形的對(duì)邊的交點(diǎn)一定共線。當(dāng)兩條相鄰的頂點(diǎn)重疊時(shí)，連接兩條重疊的頂點(diǎn)的邊是兩個(gè)重疊頂點(diǎn)的切線。在這個(gè)意義上，Pascal定理指出，當(dāng)兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)重合時(shí)，在非退化二階曲線上，該重合點(diǎn)處的切線與其對(duì)邊的交點(diǎn)將精確地位于由剩余兩對(duì)不相鄰邊角點(diǎn)所構(gòu)成的連線上?；谶@一幾何性質(zhì)，利用直尺工具，精確地繪制出已知切點(diǎn)的切線。通過(guò)這種方法，準(zhǔn)確把握幾何圖形中的內(nèi)在關(guān)系。

1.2 圓錐曲線的極點(diǎn)和極線

極線，作為圓錐曲線間一種獨(dú)特而微妙的聯(lián)系，不僅揭示了曲線上各點(diǎn)間深藏不露的關(guān)聯(lián)，而且提供了一種全新的視角來(lái)探索和理解這些曲線的性質(zhì)。如果一條直線穿過(guò)圓錐體，與其相交于A和B兩點(diǎn)。并且第二個(gè)交點(diǎn)B與A圍繞主柱對(duì)稱(chēng)，那么這條直線便稱(chēng)為點(diǎn)A的極點(diǎn)。如果點(diǎn)A在圓錐體上，它通過(guò)柱與點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)。不僅為點(diǎn)A提供了一種特殊的參照，而且使得人們可以通過(guò)這個(gè)參照點(diǎn)來(lái)洞察整個(gè)圓錐曲線的構(gòu)造和性質(zhì)。

極線的概念不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有重要意義，而且在幾何學(xué)和物理學(xué)等其他領(lǐng)域也發(fā)揮著不可替代的作用。通過(guò)對(duì)極線的深入研究，可以揭示出圓錐曲線更深層次的規(guī)律和特性。

2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析

2.1 應(yīng)力正負(fù)號(hào)的約定

材料力學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)作為是將正應(yīng)力以拉為正；彈性力學(xué)則以規(guī)定外法線和坐標(biāo)軸正向一致的面為正面，當(dāng)正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力時(shí)，表示為正，反之為負(fù)[3];剪應(yīng)力是以單元體繞其內(nèi)一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)；巖土力學(xué)的則是正應(yīng)力以壓為正。剪應(yīng)力使單元體繞其內(nèi)一點(diǎn)逆時(shí)針為正面。

2.2 一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)分析

假設(shè)單元體厚度為1的情況下，是決定表面張力的物理分量。設(shè)OC=h是邊的高，在法向向和垂直于向的平衡條件下，得到極線思維方法，理解一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念。對(duì)于三角形單元體進(jìn)行分析，使得，然后將單元體傾斜到點(diǎn)，如圖1所示，形成面成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一個(gè)面。見(jiàn)圖1所示，當(dāng)發(fā)生變化時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面無(wú)窮，在推導(dǎo)平面應(yīng)力解析公式時(shí)，依賴(lài)于一對(duì)正交平面上的應(yīng)力數(shù)據(jù)。

3 莫爾圓極點(diǎn)法的特性

（1）Mohr Circle體現(xiàn)了應(yīng)力作用面與應(yīng)力產(chǎn)生相對(duì)夾角之間的關(guān)聯(lián)。同時(shí)，極點(diǎn)在平面旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，作為固定軸點(diǎn)的水平參照，發(fā)揮著關(guān)鍵作用。因此，應(yīng)力圓與極點(diǎn)之間的連線，對(duì)于確定應(yīng)力作用面的絕對(duì)幾何方向具有決定性意義。具體而言，極點(diǎn)方法通過(guò)將雙倍角度方法的代表面點(diǎn)映射至平行面，并以圓心為基準(zhǔn)的0°～360°之間的中心角（雙倍角）作為中心點(diǎn)，從而精確地描述了應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)極點(diǎn)被設(shè)定為參考點(diǎn)時(shí)，圓周角（實(shí)際角）在0°～180°之間；（2） 將極點(diǎn)連接到圓中任何一點(diǎn)的線與連接點(diǎn)所代表的表面平行，因此根據(jù)圖1（b），極點(diǎn)也可以被視為不同平面之間的交點(diǎn)。這也可以被視為the pole （method）也稱(chēng)為the origin of planes （ method）的原因。

事實(shí)上，也可以根據(jù)其他方法來(lái)觀察極點(diǎn)唯一性、存在性。應(yīng)力包括作用點(diǎn)、作用于經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的哪一個(gè)表面、大小和作用方向四大要素。如果可以在（T-T）坐標(biāo)系中確定工作面，同時(shí)根據(jù)應(yīng)力標(biāo)記的順序組合，那么莫爾圓中的應(yīng)力將直接關(guān)系到應(yīng)力的代數(shù)值，并且還規(guī)定了該作用面上正應(yīng)力沿法向、剪應(yīng)力沿切向的具體指向。如圖1（b）可以看出，所有作用面都必須要在一個(gè)點(diǎn)上相交，這一個(gè)相交點(diǎn)就是作用點(diǎn)。在（T-T）坐標(biāo)系中，它與極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，表示通過(guò)該點(diǎn)的所有表面上的一組應(yīng)力狀態(tài)的集合。

4 莫爾圓極點(diǎn)法的應(yīng)用

莫爾圓極點(diǎn)方法在應(yīng)力分析中表現(xiàn)出較高的適用性，同時(shí)也能有效地應(yīng)用于應(yīng)變分析。在平面狀態(tài)下，該方法在坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，利用分量計(jì)算其二階對(duì)稱(chēng)張量的效果更為優(yōu)異。除平面應(yīng)變張量和應(yīng)力張量外，從理論層面來(lái)看，莫爾圓極點(diǎn)法還可應(yīng)用于材料力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，包括截面慣性矩張量、聯(lián)合概率密度張量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩張量等。例如：截面慣性矩張量中，對(duì)于分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和抗彎性能具有重要意義。莫爾圓極點(diǎn)法可以有效地應(yīng)用于截面慣性矩張量的計(jì)算，為工程設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。聯(lián)合概率密度張量在材料力學(xué)中也具有重要應(yīng)用。在隨機(jī)力學(xué)系統(tǒng)中，聯(lián)合概率密度張量描述了系統(tǒng)中各個(gè)隨機(jī)變量的概率分布情況，通過(guò)對(duì)聯(lián)合概率密度張量的分析，可以更好地了解材料的力學(xué)性能和可靠性[4]。所以，從理論層面來(lái)看，莫爾圓極點(diǎn)法在材料力學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用潛力。通過(guò)對(duì)平面應(yīng)變張量、應(yīng)力張量、截面慣性矩張量、聯(lián)合概率密度張量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩張量等方面的研究，進(jìn)一步拓展莫爾圓極點(diǎn)法的應(yīng)用范圍，發(fā)展更多創(chuàng)新性成果。

在處理復(fù)雜應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，莫爾圓極點(diǎn)法展現(xiàn)出其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)面臨只有兩個(gè)任意平面及其對(duì)應(yīng)應(yīng)變值的情況時(shí)，這些平面之間并非相互垂直。如圖2所示，，且，通過(guò)莫爾圓極點(diǎn)法更容易確定該應(yīng)變單元體上的應(yīng)變值。

與常用的雙倍角法相比，莫爾圓極點(diǎn)法可以更加清楚地反映應(yīng)力作用的面、點(diǎn)、方向和大小?？梢杂靡粋€(gè)簡(jiǎn)單的方法來(lái)表示這些。把一個(gè)點(diǎn)作為應(yīng)力作用的點(diǎn)，然后用實(shí)際的角度來(lái)表示它的方向[5]。這樣一來(lái)，可以更直觀地理解幾何關(guān)系，甚至還能降低那些復(fù)雜方法的難度，讓數(shù)和形更好地結(jié)合起來(lái)。這種直觀的方式更容易看清問(wèn)題的本質(zhì)，還能幫助分析更復(fù)雜的問(wèn)題。

例如：在巖土工程中，可以采用“莫爾圓極點(diǎn)法”來(lái)研究強(qiáng)度、應(yīng)力路徑和極限狀態(tài)。這種方法巧妙地運(yùn)用了幾何圖形的直觀性，揭示了材料受力過(guò)程中的復(fù)雜關(guān)系，讓我們更容易理解問(wèn)題。莫爾圓極點(diǎn)法不僅具有理論上的嚴(yán)密性，更在實(shí)際應(yīng)用中展現(xiàn)出了其強(qiáng)大的實(shí)用性。將原本難以捉摸的應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形表示，可以更直觀地理解材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下的表現(xiàn)。這種方法不僅提高了分析的準(zhǔn)確性，還大大簡(jiǎn)化了分析過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題的高效處理。所以，莫爾圓極點(diǎn)法在巖土工程中具有廣泛的應(yīng)用前景[6]。無(wú)論是對(duì)巖土工程材料的強(qiáng)度分析，還是對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力路徑的模擬，該方法都能夠提供有力的支持。同時(shí)，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，莫爾圓極點(diǎn)法將在未來(lái)的巖土工程領(lǐng)域中發(fā)揮更加重要的作用。

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，莫爾圓極點(diǎn)法可以簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確地求解任意截面在一定應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變狀態(tài)。該方法以其簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確的計(jì)算特性，被工程技術(shù)人員廣泛應(yīng)用于工程中。本文對(duì)莫爾圓極點(diǎn)法的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行了分析，深入研究了莫爾圓極點(diǎn)法的內(nèi)在特性，最后分析了莫爾圓極點(diǎn)法在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)，包括精度高、穩(wěn)定性好、適用范圍廣等。此外，它還可以處理復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變問(wèn)題。而正是因?yàn)槠渚哂休^高的精度、穩(wěn)定性和適用范圍，莫爾圓極點(diǎn)法在工程領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

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