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    二階線性橢圓型方程廣義解的群對稱分析

    2024-12-05 00:00:00陳澤彬
    科技資訊 2024年21期

    摘要:Lie群變換方法從研究一般PDE的定性理論,推廣到一般二階線性橢圓型方程廣義解(弱解)的存在性與正則性的研究當中。從一般類型的方程而非最古典、特殊的Poisson方程入手,首次得到一般二階線性橢圓型偏微分方程的Lie群對稱性。并運用相關(guān)估計理論,分析其Dirichlet問題的廣義解的存在性所受到方程對稱性的影響,以及保持廣義解的正則性所對應(yīng)的對稱形式,最終在局部或全局上揭示廣義解與方程對稱性之間的關(guān)系。

    關(guān)鍵詞:二階線性橢圓型方程廣義解群對稱性正則性

    中圖分類號:O171

    GroupSymmetryAnalysisofGeneralizedSolutionsforSecondOrderLinearEllipticEquations

    CHENZebin

    ShenzhenMetroGroupCo.,Ltd.,Shenzhen,GuangdongProvince,518040China

    Abstract:TheLiegrouptransformationmethodhasbeenextendedfromstudyingthequalitativetheory&nbsp;ofgeneralPDEtostudyingtheexistenceandregularityofgeneralizedsolutions(weaksolutions)ofgeneralsecondorderlinearellipticequations.StartingfromgeneraltypesofequationsratherthanthemostclassicalandspecialPoissonequations,theLiegroupsymmetryofgeneralsecondorderlinearellipticpartialdifferentialequationsisobtainedforthefirsttime.RelevantestimationtheoryisappliedtoanalyzetheinfluenceofequationsymmetryontheexistenceofgeneralizedsolutionsofDirichletproblems,aswellasthesymmetricformcorrespondingtomaintainingtheregularityofgeneralizedsolutions.Finally,therelationshipbetweengeneralizedsolutionsandequationsymmetryisrevealedlocallyorglobally.

    KeyWords:Secondorderlinearellipticequation;Generalizedsolution;Groupsymmetry;Regularity

    當前有關(guān)PDE的群分析理論已十分完備,取得的成果顯著,尤其是關(guān)于熱傳導(dǎo)的拋物型等發(fā)展方程的對稱性[1]。橢圓型PDE為不隨時間演化的穩(wěn)態(tài)方程,目前對最古典、特殊的Poisson方程或Laplace方程的對稱性亦有完整的認知,但一般的二階線性橢圓型方程的對稱性卻少有研究,仍未有確定的結(jié)論。[2]

    使用求和約定,遵循重復(fù)指標1,2,,的求和。為保持各類條件的形式一致,如對()、()、()、()、()、()、()、()等作為變系數(shù)的函數(shù),以及形式函數(shù)()或測試函數(shù)()求導(dǎo),則以右下角加“”或“”表示;如對廣義函數(shù)求導(dǎo),則以表示。參數(shù)與常數(shù)無特殊說明時,在各個公式內(nèi)可各不相同[3]。

    1一般二階線性橢圓型方程的群對稱性

    考慮如下形式的個自變量及單個因變量的一般二階線性橢圓型方程

    式(1)中:算子L=(),且=()屬于中的一個有界區(qū)域,。假設(shè)()(),另有(),(),()有界,其中()0。系數(shù)矩陣正定,算子L在上是橢圓型的,即若用()及()分別表示的最小和最大特征值,則

    對于所有的=()成立,且假定L在中一致橢圓型的,即在中有界,并且有附加條件

    方程(1)的對稱性或不變性即是尋找從(,)空間到(,,)空間上變換的延拓問題。

    定理1方程(1)具有六種Lie群對稱性,且無窮小生成元依賴于變系數(shù)函數(shù)。

    證明現(xiàn)將方程(1)變形為以下形式

    則有Lie群變換

    若此變換只有一個參數(shù),其無窮小變換作用在(,)空間上時,具有無窮?。ǎ?((),(),,())以及(,),那么相應(yīng)的無窮小生成元為

    單參數(shù)變換群,是方程(1)所容許的,當且僅當其所確定的二階延拓保持曲面F()=0不變。如此根據(jù)無窮小生成元的二次延拓,有

    從而得到?jīng)Q定方程

    將作為一個獨立變量,比較系數(shù)后合并同類項,最后求得

    其中()、()、()、()為任意函數(shù)。這樣便可整理無窮小生成元,可見一般二階線性橢圓型方程(1)的無窮小對稱性的Lie代數(shù)可展開為6個向量場:

    所以,一般二階線性橢圓型方程(1)具有6種Lie群對稱性,其中、、與為拉伸群。只有當、與為1時,、、才是平移群。另外、為投影變換群。決定方程的所有解集組成一個向量空間L,這是一個Lie代數(shù)。由于方程(1)的無窮小對稱包含了6個常數(shù),從而形成了~等線性無關(guān)算子生成的6的有限倍數(shù)維Lie代數(shù),其關(guān)于Lie括號運算是封閉的。又無窮小生成元依賴于變系數(shù)函數(shù),故定理1得證。

    2一般二階線性橢圓型方程廣義解在群對稱下的正則性

    考慮廣義解在群不變性下的正則性,即Lie群對稱是否保持廣義解的正則性。

    定理2如果,則在拉伸群對稱下具有全局正則性,即,且有

    成立。

    證明對每一點,存在使,且

    由于有有限開覆蓋,,可令,則為閉集,所以,使得,那么,有

    根據(jù)單位分解定理,若,是從屬于,的單位分解,即有:1;,??傻?/p>

    如此可得到拉伸群不變解在全局上具有保持正則性,同理,亦如此。

    現(xiàn)考慮投影變換群的保持正則性,令

    那么有

    這里依賴于、、、,同時令,即。所以

    又因為

    令式,,則有

    考慮任意方向的差分算子,則有,然而有以下形式

    這里出現(xiàn)非線性項,由與之間的逼近以及空間的完備性所產(chǎn)生。因為,所以若要推出的形式,當且僅當,即

    此時保持一般二階線性橢圓型方程廣義解的正則性,退化為保持Poisson方程的Dirichlet問題廣義解的正則性[4]。所以,投影變換群僅在Poisson方程或Laplace方程的情況下保持正則性,對于一般二階線性橢圓型方程無此效應(yīng)[5]。

    3結(jié)論

    一般二階線性橢圓型方程展現(xiàn)出6種Lie群對稱性,且其無窮小生成元與變系數(shù)函數(shù)相關(guān)。在拉伸群對稱作用下,群不變解能夠維持廣義解的內(nèi)部及全局正則性;然而,在投影變換的群對稱下,廣義解的正則性會發(fā)生退化,僅在特定情況下如Poisson方程或Laplace方程時得以保持。

    在局部或全局上揭示廣義解與方程對稱性之間的關(guān)系,旨在把一般二階線性橢圓型方程廣義解納入Lie群對稱分析的框架中,為研究一般二階線性橢圓型方程廣義解的性質(zhì)提供更多參考方法。

    參考文獻

    [1]郭雅萌.幾類非線性橢圓型方程解的存在性研究[D].伊犁:伊犁師范大學(xué),2023.

    [2]靳振峰.幾類非局部橢圓型方程解的存在性[D].蘭州:蘭州大學(xué),2022.

    [3]韓亮.無界區(qū)域上兩類橢圓型方程解的存在性研究[D].恩施:湖北民族大學(xué),2023.

    [4]歐陽宏昊.橢圓型方程多解問題的深度學(xué)習(xí)方法[D].大連:大連理工大學(xué),2022.

    [5]李鵬菲.幾類橢圓型方程解的存在性研究[D].恩施:湖北民族大學(xué),2022.

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