聯(lián)結·發(fā)現(xiàn)：小學數(shù)學結構化教學的節(jié)點

【摘 要】小學數(shù)學結構化教學需要準確把握數(shù)學知識結構、教材結構與學生知識結構，立足聯(lián)結進行整體化教學，引導學生體驗、感悟、發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)結，幫助學生形成結構化認知。還需要深入解讀知識所蘊涵的思想方法、教材中的學習方法和兒童思維狀態(tài)，立足聯(lián)結發(fā)展學生的結構化思維。

【關鍵詞】結構化 聯(lián)結 融通

心理學研究表明，個體解決問題能力的高低不僅取決于個人所獲得的有關知識的多少，還取決于知識的性質和組織結構，當頭腦中的知識以一種網絡結構的方式進行儲存時，可以大大提高知識應用時的檢索效率。

一、立足聯(lián)結，優(yōu)化教學分析

布魯納中說過：不論我們選教什么學科，務必使兒童理解該學科的基本結構。數(shù)學學科知識具有完整的網狀結構，教材將這個系統(tǒng)的、網狀結構的知識體系拆分成獨立的知識點，通過螺旋上升式的編排呈現(xiàn)給學生。為了促進學生理解、感悟數(shù)學知識的基本結構，優(yōu)化學生的認識結構，數(shù)學教學要有整體性視角，立足聯(lián)結展開教與學。

（一）理清知識結構，發(fā)現(xiàn)聯(lián)結

聯(lián)結是形成知識結構的關鍵要素，在理解數(shù)學知識結構的基礎上，理清教材中知識間的縱向、橫向關聯(lián)，有助于提升學生聯(lián)結·發(fā)現(xiàn)的能力。

1.理清知識的縱向關聯(lián)

理清知識的縱向結構是引導學生形成良好知識結構的基礎。將關聯(lián)的知識點按知識發(fā)展順序串成一個知識鏈，通過兼顧單元整體解讀與全學段內容解讀，分析理解其教學順序與作用、重點和策略，便可在教學實踐中做好鋪墊、溝通。在教學“分數(shù)的基本性質”時，本冊分數(shù)知識的單元整體關聯(lián)分析如表1。

由表1可知，分數(shù)的意義是種子課，是發(fā)現(xiàn)、直觀理解分數(shù)基本性質的前提；分數(shù)與除法的關系是理解分數(shù)基本性質的邏輯基礎，為類比推理意識的培養(yǎng)提供抓手；真、假分數(shù)為探索分數(shù)基本性質中更科學的不完全歸納驗證提供了前提；分數(shù)相關的互化為學生自主驗證提供了更多路徑；通分與約分、異分母分數(shù)加減法是分數(shù)基本性質的應用。

2. 理清知識的橫向關聯(lián)

橫向聯(lián)系是通過類知識的關聯(lián)分析，通透地理解這些數(shù)學知識是如何關聯(lián)的，有助于理解這些知識點在教學時的路徑和策略，理清知識的橫向聯(lián)系有助于學生將知識融會貫通、感悟數(shù)學思想方法、學習方法?！胺謹?shù)的基本性質”單元內容關聯(lián)分析見表2。

在教學“分數(shù)的基本性質”時，教師不僅要引導學生通過操作驗證分數(shù)的基本性質，還要通過商不變的規(guī)律來驗證（簡單推理），同時解釋小數(shù)的性質，幫助學生將三個規(guī)律進行貫通，發(fā)展其遷移能力，為學生探索比的基本性質做好準備。

（二）分析學生現(xiàn)狀，創(chuàng)生聯(lián)結

結構化的教學不僅要關注知識間的關聯(lián)，更要關注學生現(xiàn)狀的分析，實現(xiàn)數(shù)學知識、學生現(xiàn)實經驗與思維結構的融通。

“分數(shù)的基本性質”關聯(lián)知識的學前調研數(shù)據如下：

（1）商不變規(guī)律表達：正確規(guī)范的約占78.3%，正確但是不完整的約占17.4%，不會的約占4.3%。

（2）學生舉出與1/4相等的分數(shù)，主動找出多個正確例子的約占73.9%，舉出一個例子的約占21.8%，不能舉出的約占4.3%；要求學生獨立驗證時，約有91.1%的學生能順利完成，第一選擇利用化成小數(shù)進行驗證的約占76.6%，利用畫圖驗證的約占8.3%，利用“商不變規(guī)律”進行推理驗證的約占6.2%。

（3）學生對小數(shù)性質的內涵理解，第一選擇從單位解釋的占78.2%，從計算單位理解（大小不變，計數(shù)單位改變）的占17.4%，其他的占4.4%。

（4）對探索運算律的回憶，有89.1%的學生能夠說出通過舉例驗證。

以上數(shù)據分析顯示：五年級學生對于商不變的規(guī)律掌握得較好，有利于用類比方法表述與解釋分數(shù)的基本性質，利用聯(lián)結能引導學生自主發(fā)現(xiàn)、表達分數(shù)基本性質。但是大多數(shù)學生沒有用商不變規(guī)律來解釋分數(shù)基本性質的意識，沒有從分數(shù)單位理解分數(shù)基本性質的視角，需要教師適當引導。

二、立足聯(lián)結·發(fā)現(xiàn)，重構課堂教學

“發(fā)現(xiàn)學習”理論強調注重利用知識聯(lián)結、經驗聯(lián)結、方法聯(lián)結與思想聯(lián)結，激發(fā)學生主動探索，實現(xiàn)知識的再發(fā)現(xiàn)，通過聯(lián)結實現(xiàn)認知結構的融通，進而優(yōu)化學生的認知結構。在“分數(shù)基本性質”的教學中，筆者立足聯(lián)結·發(fā)現(xiàn)設計了“釋放想象，廣泛聯(lián)結—主動探索，協(xié)同發(fā)現(xiàn)—反思梳理，融合貫通”學習流程，讓學生真正站在課堂中央。

（一）釋放想象，廣泛聯(lián)結

師：（出示課題：分數(shù)的基本性質）看到這個課題，你能想到什么？

生：什么是分數(shù)的基本性質？

生：分數(shù)的基本性質是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

……

師：這些問題都非常有價值，并且有學生已經就“分數(shù)的基本性質和我們學過的哪些知識有關”進行了思考，有理有據，非常了不起。

師：有兩位同學聯(lián)想到商不變的規(guī)律與小數(shù)的性質，想想我們是怎樣學習的？

生：是從一些例子中發(fā)現(xiàn)的，然后進行小結。

師：今天我們也從一些例子中去觀察、比較，開始我們的探索之旅。

[評析]聯(lián)結是形成結構化的節(jié)點，也是學生探索、想象的支點。利用課題引導學生展開聯(lián)想，可以讓學生對知識進行充分聯(lián)結，為學生形成結構化認知和主動探索打下基礎。

（二）主動探索，協(xié)同發(fā)現(xiàn)

師：（出示分數(shù)圖，圖略）圓中的陰影部分用哪些分數(shù)表示？仔細觀察這些分數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)，在小組里討論。

生：我們組發(fā)現(xiàn)，有的分數(shù)陰影部分大小是相同的，有的部分大小是不同的。

生：我們組還發(fā)現(xiàn)，幾個陰影部分相同的分數(shù)分子乘多少，分母就要乘多少。

師：能讓大家聽得更明白些嗎？

生：分子乘2，分母也乘2，就得到；分子乘3，分母也乘3，就得到，這三個分數(shù)相同。

師：（動畫演示）通過重疊，我們驗證了你的發(fā)現(xiàn)是正確的，=，=。也就是一個分數(shù)把分子、分母同時乘上相同的數(shù)，是與它相等的新分數(shù)。是不是所有分數(shù)都有這樣的現(xiàn)象呢？目前只是一個猜想，需要我們去驗證，你們打算怎樣驗證？

生：我們可以多舉一些例子，看看是不是都是這樣？

師：下面在小組里先交流你們怎樣去驗證，再試一試。

生：我們把的分子、分母同時乘2、4、8，得到許多新的分數(shù)，它們和相等。

師：你們是怎樣去驗證它們相等呢，想到幾種方法？

生：通過折一折我們就能發(fā)現(xiàn)=，=。

生：我們組還想到化成小數(shù)，它們都是0.5，所以是相等的。

生：不一定要計算出答案，可以把分數(shù)轉化成除法，根據商不變規(guī)律可以知道，1÷2=2÷4，1÷2=4÷8，然后轉化成分數(shù)就可以驗證它們是相等的。

師：同學理一下，我們剛剛想了幾種方法來驗證？

生：化成小數(shù)、折一折、商不變規(guī)律。

師：有的同學們用商不變規(guī)律驗證了這些分數(shù)與相同，你還能找到哪些與相同的分數(shù)？

生：、、，很多，說不完。

師：還有其他的例子嗎？

……

師：驗證這些分數(shù)相同，你喜歡哪種方法？

生：用折的方法不太方便，化成小數(shù)也是比較麻煩的，把它轉化成除法算式，利用“商不變規(guī)律”來驗證比較方便，而且感覺可以驗證所有相同分數(shù)間的關系。比如，一個分數(shù)，可以寫成b÷a，b÷a=（bc）÷（ac），把（bc）÷（ac）寫出分數(shù)，就可以得到=。

師：看來分數(shù)的基本性質與商不變規(guī)律有很密切的聯(lián)系，利用分數(shù)與除法的關系可以建立起這種聯(lián)系，根據商不變的規(guī)律，你能聯(lián)想到什么？

生：我想到分數(shù)的基本性質應該是：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)不變。

師：這里是分數(shù)的大小不變。為什么要補充“0除外”？

生：0乘0等于0，如果有了0，就不一定相等了。

師：也是沒有意義的。

師：這就是分數(shù)的基本性質，與商不變的規(guī)律進行比較，你有什么想說的？

生：兩個知識點很相似，連表述都一致，我想我們只要會其中一個，就可以推出另外一個。

生：分數(shù)的基本性質是分數(shù)中的規(guī)律，商不變規(guī)律是除法中的規(guī)律，就像分數(shù)與除法的關系，也有細微的差別。

[評析]通過小組交流、尋找與1/2相等的分數(shù)，引導學生歸納推理。同時抓住部分學生利用“商不變的規(guī)律”對分數(shù)基本性質進行解釋說理的契機，引導學生進行類比表達。立足聯(lián)結引導學生體會知識間的關聯(lián)、結構、位置甚至知識間的不同，是優(yōu)化學生知識結構的重要路徑，也是增強學生應用類比遷移的方式進行學習能力的重要路徑。

（三）反思梳理，融合貫通

師：（出示三年級下冊例題）在學習三年級下冊學習“認識一個整體的幾分之一”時，例題描述“有6個桃，平均分給兩只小猴”，當時有許多同學很困惑為什么要用表示，不能用表示，學習了分數(shù)的基本性質，你覺得當時你的困惑有道理嗎？

生：它們的大小其實是一樣的，只是意義不一樣。

師：（出示數(shù)軸）這個點可以表示哪些數(shù)？

生：。

生：也可以表示、，因為圖上只有一個點，并沒有平均分成10份，也可以平均分成100份、1000份。

生：那也可以表示為0.3 。

生：還可以表示為0.30、0.300，可以表示所有與0.3相等的小數(shù)。

師：那這些數(shù)有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？

生：他們的大小相同，計數(shù)單位不同。

生：他們表示的意義不同，書寫也不同。

生：0.3=，0.30=，0.300=，利用小數(shù)的意義，分數(shù)的基本性質可以用來解釋小數(shù)的性質，他們的規(guī)律是相通的。

師：看來同學們的認識角度很多，比較深刻。請在數(shù)軸上畫出一個點來表示。

師：有的同學很快就完成了，你們有什么技巧嗎？

生：因為=，所以這兩個分數(shù)可以用同一個點表示，我們只要找到表示的點，就可以表示。

師：感受到分數(shù)的基本性質有什么作用嗎？

生：應用分數(shù)的基本性質可以將一個簡單的分數(shù)變成一個復雜的分數(shù)，或者將一個復雜的分數(shù)簡化成一個簡單的分數(shù)。

師：（課件呈現(xiàn)舊知）回顧我們是怎樣探索分數(shù)基本性質的，你有什么收獲？

生：我們先觀察一些分數(shù)，發(fā)現(xiàn)有的分數(shù)分子、分母不同，分數(shù)大小卻相同；根據發(fā)現(xiàn)猜想是不是許多分數(shù)都有相同的現(xiàn)象，然后通過舉例子來探索；通過折紙、化成小數(shù)、化成除法算式可以驗證這個發(fā)現(xiàn)。

生：我知道了分數(shù)的基本性質，將一個分數(shù)的分母、分子同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

生：和小數(shù)性質一樣，根據分數(shù)基本性質可以在分數(shù)大小不變的基礎上改變分數(shù)的計算單位。

生：我知道很多知識是有聯(lián)系的，小數(shù)、分數(shù)與除法有著相似的規(guī)律。

生：可以從多種角度來認識分數(shù)與分數(shù)的基本性質。

[評析]我們在“解決問題的策略”“綜合與實踐”的學習中，都有回顧與反思環(huán)節(jié)，本課屬于探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的課型，引導學生進行回顧反思，不僅能讓學生發(fā)現(xiàn)知識本質內涵、思想方法上的聯(lián)結，還能讓學生通過不同視角理解知識本質，實現(xiàn)知識、方法上的融會貫通。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022

[2]席愛勇，何杰. 結構關聯(lián)：小學數(shù)學結構化學習的學理探究[D].淮安：淮陰師范學院學報（自然科學版），2018（12）