基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的單通道盲源分離算法

摘 要： 針對(duì)存在頻譜混疊通信信號(hào)的單通道盲源分離（single channel blind source separation， SCBSS）問題，提出一種基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法。首先，針對(duì)根多重信號(hào)分類（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法在相近載頻估計(jì)方面的局限性，提出一種自適應(yīng)的Root-MUSIC算法，對(duì)接收到的盲混合信號(hào)的源信號(hào)數(shù)目和載頻進(jìn)行估計(jì);其次，將Kalman濾波的思想引入到SCBSS算法中，根據(jù)估計(jì)得到的源信號(hào)參數(shù)構(gòu)造信號(hào)模型，將其作為Kalman濾波系統(tǒng)的觀測(cè)向量，執(zhí)行“時(shí)間更新”和“測(cè)量更新”兩個(gè)過程，得到源信號(hào)的最佳估計(jì)，實(shí)現(xiàn)單通道盲源分離。仿真結(jié)果表明，所提算法能夠有效地從存在頻譜混疊的單路接收信號(hào)中準(zhǔn)確地分離出多路源信號(hào)，比傳統(tǒng)的算法分離精度高，運(yùn)算速度快。

關(guān)鍵詞： 單通道盲源分離; 卡爾曼濾波; 參數(shù)估計(jì); 通信信號(hào)處理

中圖分類號(hào)： TN 911

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.32

Single-channel blind source separation algorithm based on parameter

estimation and Kalman filter

FU Weihong^*， ZHOU Yufei， ZHANG Xinyu， LIU Naian

（School of Telecommunications Engineering， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract： Aiming at the problem of single channel blind source separation （SCBSS） for communication signals with spectrum aliasing， a SCBSS algorithm based on parameter estimation and Kalman filtering is proposed. Firstly， in view of the limitation of root multiple signal classification （Root-MUSIC） algorithm in the estimation of similar carrier frequencies， an adaptive Root-MUSIC algorithm is proposed to estimate the number of source signals and carrier frequencies of the received blind mixed signals. Secondly， the idea of Kalman filtering is introduced into the SCBSS algorithm， and the signal model is constructed according to the estimated source signal parameters， which is used as the observation vector of the Kalman filtering system， and the two processes of “time update” and “measurement update” are performed to obtain the best estimation of the source signals and realize the single channel blind source separation. Simulation results show that the proposed algorithm can effectively and accurately separate multi-channel source signals from single channel received signal with spectrum aliasing， and has higher separation accuracy and faster operation speed than traditional algorithms.

Keywords： single channel blind source separation （SCBSS）; Kalman filtering; parameter estimation; communication signal processing

0 引 言

單通道盲源分離^［1-3］（single channel blind source separation， SCBSS）算法能夠有效地避免多傳感器接收信號(hào)所造成的系統(tǒng)復(fù)雜、造價(jià)昂貴以及設(shè)備體積過大等問題，成為信號(hào)處理^［4］、機(jī)械故障診斷^［5-6］、生物醫(yī)學(xué)^［7-9］等領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)。但SCBSS可供利用的信息較少，是一個(gè)極端病態(tài)問題，需要充分挖掘和利用信號(hào)本身的一些特性來對(duì)其進(jìn)行分離，解決此問題具有挑戰(zhàn)性。針對(duì)SCBSS問題，較為常用的是虛擬多通道法，該方法將單傳感器接收的混合信號(hào)擴(kuò)展為多路信號(hào)從而滿足經(jīng)典盲源分離算法的要求，如集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解^［10-14］（ensemble empirical mode decomposition， EEMD）算法和變分模態(tài)分解^［15-21］（variational mode decomposition， VMD）算法，但該類算法存在自適應(yīng)性差、迭代次數(shù)多、運(yùn)行速度慢的缺點(diǎn)。除虛擬多通道法外，還可以采用稀疏分量分析^［22-23］和基于混合信號(hào)狀態(tài)空間估計(jì)的算法。根據(jù)接收到的觀測(cè)信號(hào)對(duì)源信號(hào)的先驗(yàn)信息進(jìn)行估計(jì)，從而構(gòu)造狀態(tài)空間，再通過對(duì)狀態(tài)的迭代更新得到源信號(hào)的最佳估計(jì)。Lyu等^［24］將小波變換^［25-26］與Kalman濾波^［27］結(jié)合，利用非線性主成分分析實(shí)現(xiàn)了盲源分離;Langkam等^［28］提出了一種基于Kalman濾波的雙參數(shù)估計(jì)方法，解決了線性盲源分離問題;宋宇霄^［29］利用源信號(hào)的時(shí)序結(jié)構(gòu)，提出了一種將Kalman估計(jì)與SCBSS相結(jié)合的算法，用于實(shí)現(xiàn)盲源分離;Dutt等^［30］提出了一種基于雙擴(kuò)展Kalman濾波器的狀態(tài)參數(shù)估計(jì)算法，消除了獨(dú)立分量分析法固有頻率不相交和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的限制，實(shí)現(xiàn)了快速收斂的單通道盲源分離。但目前現(xiàn)有的算法往往存在收斂速度較差、復(fù)雜度較高的問題。

基于上述研究，為了提高SCBSS分離的準(zhǔn)確性，提高運(yùn)算效率，降低復(fù)雜度，本文提出了一種基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法。該算法首先利用改進(jìn)的自適應(yīng)根多重信號(hào)分類（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法進(jìn)行源信號(hào)數(shù)目及載頻的估計(jì)，利用相干解調(diào)原理進(jìn)行源信號(hào)相位的估計(jì);然后利用估計(jì)得到的源信號(hào)參數(shù)重構(gòu)源信號(hào)，并將其作為Kalman濾波系統(tǒng)的觀測(cè)值，對(duì)Kalman濾波系統(tǒng)進(jìn)行初始化;最后通過Kalman濾波對(duì)信號(hào)狀態(tài)不斷地進(jìn)行校正和更新，得到源信號(hào)的最佳估計(jì)，實(shí)現(xiàn)單通道盲源分離。

1 SCBSS信號(hào)模型

假設(shè)接收到的單通道混合信號(hào)是由多個(gè)獨(dú)立的相移鍵控（phase shift keying， PSK）調(diào)制信號(hào)與高斯白噪聲線性疊加而成，各個(gè)PSK調(diào)制信號(hào)在時(shí)域上完全混疊，在頻域上存在不同程度的混疊。單通道混合信號(hào)的模型可以表示為

x（t）=∑Ni=1A_is_i（t），i=1，2，…，N（1）

式中：s_i（t）（i=1，2，…，N）表示第i個(gè)PSK調(diào)制信號(hào);A_i表示第i個(gè)混合系數(shù);（t）表示高斯白噪聲。

將PSK調(diào)制信號(hào)表示為復(fù)信號(hào)形式

s_PSK（t）=∑ni=1g_T（t－iT）e^{j（2πfct+φi）}=e^{j2πfct+∑ni=1φigT（t－iT）}（2）

式中：f_c表示載頻;n表示總碼元數(shù);T表示碼元寬度;g_T（t）表示幅度為 1、寬度為T的矩形脈沖，在0≤t≤T區(qū)間內(nèi)，g_T（t）=1；在其余區(qū)間，g_T（t）均為 0。φ_i表示第i個(gè)調(diào)制碼元對(duì)應(yīng)的相位，φ_i∈{2π（r－1）/R，r=1，2，…，R}，R表示調(diào)制階數(shù)。由此可以得到，對(duì)于PSK調(diào)制的信號(hào)，其相位調(diào)制可以表示為

φ（t）=2πf_ct+∑ni=1φ_ig_T（t－iT）（3）

對(duì)于PSK調(diào)制信號(hào)，相位信息決定其自身特性，而相位調(diào)制中的兩個(gè)重要參數(shù)為載波頻率和調(diào)制碼元對(duì)應(yīng)的相位。因此，對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)是完整構(gòu)建PSK調(diào)制信號(hào)的前提。通過對(duì)PSK信號(hào)進(jìn)行相干解調(diào)得到信號(hào)基帶碼元a_i∈（r－1）（i=1，2，…，n）根據(jù)基帶碼元與碼元對(duì)應(yīng)相位之間的關(guān)系φ_i=2πa_i/R，即可對(duì)PSK信號(hào)的相位進(jìn)行估計(jì)。

相干解調(diào)的前提是已知信號(hào)的載頻，本文提出一種基于自適應(yīng)Root-MUSIC的參數(shù)估計(jì)算法，根據(jù)估計(jì)得到的載頻以及相位就可以利用式（2）所述的模型重構(gòu)出源信號(hào)，得到源信號(hào)的初步估計(jì)。

2 基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法2.1 基于自適應(yīng)Root-MUSIC的參數(shù)估計(jì)算法

MUSIC算法是空間譜估計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用十分廣泛的經(jīng)典算法，該算法通過對(duì)接收到的信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到兩個(gè)相互正交的子空間：信號(hào)子空間和噪聲子空間。然后，搜索空間譜峰，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)參數(shù)的估計(jì)。Root-MUSIC算法是一種通過構(gòu)造多項(xiàng)式并求根從而代替原MUSIC算法中譜峰搜索過程的算法，該算法使求解過程更加簡(jiǎn)便，減小了運(yùn)算量，具有更好的性能和更優(yōu)越的分辨力，從而被應(yīng)用于信號(hào)參數(shù)（如信號(hào)源數(shù)目、頻率、時(shí)延等）的估計(jì)中。

假設(shè)接收到的信號(hào)為

式中：x（t）=［x₁（t），x₂（t），…，x_M（t）］^T表示接收到的數(shù)據(jù)矢量;s（t）=［s₁（t），s₂（t），…，s_N（t）］^T表示入射信號(hào)矢量;a（θ_i）表示第i（i∈{1，2，…，N}）個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的陣列方向矢量;（t）=［₁（t），₂（t），…，_M（t）］^T表示高斯白噪聲矢量;σ²表示高斯白噪聲的方差。為方便表示，后續(xù)將省略x（t）、s（t）和n（t）中的時(shí)間變量t。

由于信號(hào)與噪聲之間相互獨(dú)立，輸入陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為與信號(hào)、噪聲相關(guān)的兩部分，即：

R_xx=E［xx^H］=AE［ss^H］A^H+E［nn^H］=AR_ssA^H+σ²I（5）

式中：R_ss=E［ss^H］表示信號(hào)s的自相關(guān)矩陣。

對(duì)R_xx進(jìn)行特征值分解，得到M個(gè)特征值{λ₁，λ₂，…，λ_M}，將其從大到小進(jìn)行排列，則有λ₁≥λ₂≥…≥λ_Ngt;λ_N+1≈…≈λ_M≈σ²，其中前N個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成信號(hào)子空間，后（M－N）個(gè)近似相等的小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成噪聲子空間，兩個(gè)子空間之間相互正交。

令噪聲矩陣為

V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］（6）

定義一個(gè)關(guān)于z的多項(xiàng)式：

f（z）=q^H_ip（z） i=N+1，…，M（7）

式中：q_i是協(xié)方差矩陣R_xx中的（M－N）個(gè)噪聲特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，p（z）=［1，z，…，z^M－1］^T是關(guān)于z的多項(xiàng)式。當(dāng)z=exp（jω）， ω=2πdsin（θ）/λ時(shí)，表示多項(xiàng)式的根z都落在單位圓上，p（z）=p（exp（jω））。p（z）表示一個(gè)頻率為ω的信號(hào)導(dǎo)向矢量，屬于信號(hào)子空間。因此，式（7）可以表示為

f（z）=p^H（z）V_nV^H_np（z）（8）

對(duì)f（z）求根就可以得到信號(hào)源到達(dá)方向的信息。但多項(xiàng)式中存在的共軛項(xiàng)z^*增加了求解過程的復(fù)雜度。已知z=exp（jω），則有z^*=exp（－jω），zz^*=1，z^*=1/z。對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行修改，得到修正的Root-MUSIC算法表達(dá)式：

f（z）=z^M－1pT（z^－1）V_nV^H_np（z）（9）

式中：f（z）為2（M－1）階的多項(xiàng)式，有M－1對(duì)共扼對(duì)稱的根，即當(dāng)f（z）其中一個(gè)根為z₀時(shí)，則必然存在另一個(gè)為z^*₀的根。在理論意義上，在M－1對(duì)根中應(yīng)該有N對(duì)根位于單位圓上，但在實(shí)際情況下，噪聲的存在會(huì)使協(xié)方差矩陣的估計(jì)產(chǎn)生誤差，因此只需要得到N個(gè)接近于單位圓的根。

Root-MUSIC算法通過在M－1對(duì)根中選擇N個(gè)最接近單位圓的根的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)入射方向的估計(jì)。但是，這種選擇方式存在一定的問題，當(dāng)最接近單位圓的根中恰好有來自同一個(gè)信號(hào)源的共軛對(duì)稱的根時(shí)，估計(jì)將不再準(zhǔn)確。由此，本文提出一種自適應(yīng)Root-MUSIC算法，選擇N個(gè)最接近單位圓且來自不同信號(hào)的根實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)入射方向的估計(jì)：在選擇最小的N個(gè)誤差時(shí)，對(duì)誤差對(duì)應(yīng)的歸一化頻率進(jìn)行觀察，判斷頻率是否相等，對(duì)相等的歸一化頻率對(duì)應(yīng)的誤差只選擇其中一個(gè)，直到找到N個(gè)對(duì)應(yīng)不同歸一化頻率的誤差，從而得到N個(gè)不同的信號(hào)載頻。

在單通道盲源信號(hào)分離中，只有一路接收信號(hào)，因此需要對(duì)其進(jìn)行處理后構(gòu)造多通道信號(hào)矩陣，然后利用自適應(yīng)Root-Music算法估計(jì)信號(hào)參數(shù)，具體步驟如下：

步驟 1 初始化參數(shù)設(shè)置： 下變頻的載頻為f_low，降采樣的頻率為F_s2，重構(gòu)通道數(shù)為M，混合信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

步驟 2 對(duì)接收到的單通道混合信號(hào)x（t）進(jìn)行下變頻和降采樣預(yù)處理，得到x″（t）;

步驟 3 構(gòu)造M×（L－M）維的樣本矩陣

計(jì)算其協(xié)方差矩陣R_X～=1L－M∑L－Mi=1X～（i）X～^H（i），其中X～（i）表示矩陣X～的第i列;

步驟 4 對(duì)協(xié)方差矩陣R_X～進(jìn)行特征值分解，并將特征值按照降序排序，根據(jù)最小特征值的重?cái)?shù)K;估計(jì)源信號(hào)個(gè)數(shù)N=M－K;

步驟 5 根據(jù)M－N個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量q_N+1，q_N+2，…，q_M構(gòu)造噪聲子空間矩陣V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］;

步驟 6 構(gòu)造多項(xiàng)式求根公式f（z）=z^M－1pT（z^－1）·V_nV^H_np（z），并對(duì)多項(xiàng)式求解得到M－1對(duì)根z_i，i=1，2，…，2（M－1）;

步驟 7 求解復(fù)數(shù)根z_i（i=1，2，…，2（M－1））的相位角?_i（i=1，2，…，2（M－1）），并將其轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的歸一化頻率f-_i=?_i/（2π）（i=1，2，…，2（M－1））;

步驟 8 計(jì)算2（M－1）個(gè)根與單位圓之間的誤差e_i=|z_i|－1，i=1，2，…，2（M－1），將誤差按照從小到大順序排列，找到最小的N個(gè)誤差，同時(shí)判斷誤差對(duì)應(yīng)的歸一化頻率是否相等。當(dāng)歸一化頻率相等時(shí)，i′→i+1，繼續(xù)對(duì)下一個(gè)誤差進(jìn)行判斷，直到找到N個(gè)歸一化頻率不同的誤差，即N個(gè)最接近單位圓的根;

步驟 9 將N個(gè)根對(duì)應(yīng)的歸一化頻率保留兩位小數(shù)為f-_i（i=1，2，…，N），將f-_i與信號(hào)的采樣頻率F_s2相乘，再與下變頻的頻率f_low相加，得到源信號(hào)的載頻估計(jì)f^_ci=f-_i·F_s2+f_low， i=1，2，…，N。

2.2 基于Kalman濾波的SCBSS算法

針對(duì)SCBSS問題，可以采用基于混合信號(hào)狀態(tài)空間估計(jì)的算法。Kalman濾波是一種用于在狀態(tài)空間模型中估計(jì)狀態(tài)向量的重要技術(shù)，是一種建立在線性最小均方誤差基準(zhǔn)上的最優(yōu)估計(jì)，具有計(jì)算量小、穩(wěn)定性高、可靠性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。Kalman濾波算法由“時(shí)間更新”（也稱為預(yù)測(cè)）和“測(cè)量更新”（也稱為校正）兩個(gè)步驟組成。在時(shí)間更新過程中，會(huì)根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)來生成當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì);在測(cè)量更新過程中，會(huì)將當(dāng)前時(shí)刻的先驗(yàn)預(yù)測(cè)與當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量相結(jié)合，來修改和更新狀態(tài)估計(jì)。將Kalman濾波算法應(yīng)用于解決單通道盲源信號(hào)分離問題，將得到的源信號(hào)初步估計(jì)值作為Kalman濾波的觀測(cè)值，通過不斷的時(shí)間更新和測(cè)量更新得到源信號(hào)的最佳估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的SCBSS。

Kalman濾波的預(yù)測(cè)部分包含狀態(tài)變量的預(yù)測(cè)和誤差協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)，通過前一狀態(tài)來預(yù)測(cè)當(dāng)前狀態(tài)X^_k/k－1，并對(duì)先驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣P^_k/k－1進(jìn)行估計(jì)，該過程也可以稱為時(shí)間更新過程;校正部分包括Kalman增益矩陣的計(jì)算、狀態(tài)變量的估計(jì)和誤差協(xié)方差矩陣的估計(jì)，利用Kalman增益K_k和k時(shí)刻的觀測(cè)值Z_k對(duì)X^_k/k－1進(jìn)行校正，得到狀態(tài)向量的最小均方誤差估計(jì)（也就是最優(yōu)估計(jì)X^_k），對(duì)P^_k/k－1進(jìn)行校正，得到后驗(yàn)估計(jì)誤差協(xié)方差P_k。在任一時(shí)刻，Kalman濾波只需要知道當(dāng)前最新的測(cè)量數(shù)據(jù)和上一時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)值，便可通過遞推的方式得到當(dāng)前狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值，因此減少了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量，提高了運(yùn)算速度。

在Kalman濾波系統(tǒng)中，觀測(cè)變量Z_k是已知的，只要給定了狀態(tài)變量估計(jì)的初始值X^₀和估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的初始值P₀，Kalman濾波就可以通過不斷遞推和修正的方式計(jì)算出k時(shí)刻狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)X^_k。在基于Kalman濾波的單通道信號(hào)盲源分離系統(tǒng)中，Z_k是利用第2.1節(jié)中提出的算法估計(jì)得到的參數(shù)重構(gòu)后的源信號(hào)的初始估計(jì)值。

基于Kalman濾波的單通道盲源信號(hào)分離算法具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

步驟 1 初始化狀態(tài)變量的初始估計(jì)值X^₀=［000］^T，協(xié)方差矩陣的初始估計(jì)誤差值P₀=1_3×3，觀測(cè)矩陣H=［1， 0， 0］，觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣R=10^－4I，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ為隨機(jī)產(chǎn)生的3×3的矩陣，初始化過程中噪聲的協(xié)方差矩陣Q=10^－4I，將源信號(hào)的初始估計(jì)s_PSK（t）作為Kalman濾波的系統(tǒng)觀測(cè)變量Z_k;

步驟 2 使用轉(zhuǎn)移矩陣Φ對(duì)狀態(tài)變量的下一個(gè)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)

X^_k/k－1=ΦX^_k－1;

步驟 3 對(duì)誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)

P^_k/k－1=ΦP_k－1Φ^T+Q;

步驟 4 計(jì)算Kalman增益

K_k=P^_k/k－1H^T（HP^_k/k－1H^T+R）^－1;

步驟 5 對(duì)狀態(tài)變量估計(jì)進(jìn)行更新

X^_k=X^_k/k－1+K_k（Z_k－H_kX^_k/k－1）;

步驟 6 對(duì)誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新

P_k=（I－K_kH）P^_k/k－1;

步驟 7 在當(dāng)前時(shí)刻k小于信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度L時(shí)，k′→k+1，返回算法步驟2繼續(xù)進(jìn)行更新;否則，得到狀態(tài)變量的最佳估計(jì)值X^_k，X^_k即為源信號(hào)的最佳估計(jì)。

2.3 基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法流程

基于上述研究，本小節(jié)對(duì)基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行總結(jié)，具體流程如下：

步驟 1 利用第2.1節(jié)提出的自適應(yīng)Root-MUSIC算法對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)x″（t）的源信號(hào)數(shù)目N及載頻f^_ci進(jìn)行估計(jì)，其中，i=1，2，…，N;

步驟 2 對(duì)混合信號(hào)x（t）進(jìn)行相干解調(diào)，得到相位估計(jì){φ^_n};

步驟 3 根據(jù)得到的參數(shù)估計(jì)，利用式（2）所述模型重構(gòu)源信號(hào)，得到源信號(hào)的初步估計(jì)s_PSKi（t）;

步驟 4 將得到的s_PSKi（t）作為Kalman濾波的系統(tǒng)觀測(cè)變量Z_ki;

步驟 5 根據(jù)第2.2節(jié)的步驟進(jìn)行Kalman濾波，對(duì)源信號(hào)的狀態(tài)不斷迭代更新，得到源信號(hào)的最佳估計(jì)y_i（t）（i=1，2，…，N），實(shí)現(xiàn)單通道混合信號(hào)的盲源分離。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

3.1 算法可行性仿真

本節(jié)對(duì)基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法進(jìn)行仿真，驗(yàn)證其對(duì)頻譜混疊通信信號(hào)分離的有效性。本節(jié)采用PSK調(diào)制、升余弦脈沖成型的源信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，兩路源信號(hào)s₁（t）和s₂（t）的滾降系數(shù)α～均為0.5，帶通采樣速率F_s1均為20 MHz，符號(hào)速率R_b均為0.2 MHz，信號(hào)調(diào)制類型分別為二進(jìn)制相移鍵控（binary phase shift keying， BPSK）調(diào)制和正交相移鍵控（quadrature phase shift keying， QPSK）調(diào)制，載頻頻率f_i分別為5 MHz和5.2 MHz。生成均值為0、方差為1的隨機(jī)高斯白噪聲n（t），與兩路源信號(hào)線性疊加構(gòu)成單通道混合觀測(cè)信號(hào)x（t）=s₁（t）+s₂（t）+n（t），混合信號(hào)x（t）的信噪比設(shè)置為10 dB。對(duì)混合信號(hào)x（t）進(jìn)行下變頻和降采樣操作，下變頻載頻設(shè)置為f_low=4.84 MHz，降采樣頻率設(shè)置為F_s2=4 MHz，得到預(yù)處理后的信號(hào)x″（t）。設(shè)置重構(gòu)通道數(shù)為10，即M=10，利用自適應(yīng)Root-MUSIC算法對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)x″（t）的信號(hào)源數(shù)目和載頻頻率進(jìn)行估計(jì)，得到信號(hào)源個(gè)數(shù)為N=2，載頻頻率分別為5 MHz和5.2 MHz，與源信號(hào)的真實(shí)載頻相同，表明自適應(yīng)Root-MUSIC算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)頻譜混疊信號(hào)相近載頻的準(zhǔn)確估計(jì)。計(jì)算最終得到的信號(hào)y₁（t）和y₂（t）與源信號(hào)s₁（t）和s₂（t）之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果分別為0.90和089，估計(jì)信號(hào)y₁（t）和y₂（t）與源信號(hào)s₂（t）和s₁（t）之間的相關(guān)系數(shù)則分別為0.07和0.029。由此可見，分離信號(hào)y₁（t）與源信號(hào)s₁（t）對(duì)應(yīng)，y₂（t）與s₂（t）對(duì)應(yīng)。分離信號(hào)與源信號(hào)之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性。計(jì)算分離信號(hào)與對(duì)應(yīng)源信號(hào)之間的誤碼率均為0。

為了更加直觀地觀察估計(jì)信號(hào)的分離效果，可以借助于信號(hào)的星座圖。混合信號(hào)的星座圖以及分離后估計(jì)得到的兩路源信號(hào)星座圖如圖1～圖3所示。

從圖1～圖3可以看出，本文提出的SCBSS算法很好地恢復(fù)出兩路源信號(hào)。

3.2 所提算法對(duì)不同調(diào)制源信號(hào)的分離性能

本節(jié)將改變?cè)葱盘?hào)的調(diào)制方式，混合信號(hào)的頻譜中存在混疊，仿真本文所提算法對(duì)不同調(diào)制方式源信號(hào)的分離性能，分別仿真了兩路源信號(hào)分別為BPSK+BPSK、BPSK+QSPK、QPSK+QPSK以及BPSK+8PSK時(shí)的結(jié)果，其他參數(shù)與第3.1節(jié)中所述一致。

源信號(hào)和估計(jì)信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)隨信噪比變化的曲線如圖4所示。從圖4可以看出，本文所提SCBSS算法分離出來的信號(hào)與源信號(hào)之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，當(dāng)信噪比大于5 dB時(shí)，相關(guān)系數(shù)在0.85以上。

可以看到，源信號(hào)調(diào)制方式對(duì)本文提出的基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法性能影響不大，所提算法可以對(duì)單通道接收的多個(gè)頻譜混疊的不同調(diào)制方式的源信號(hào)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的分離和估計(jì)，具有良好的性能表現(xiàn)。

3.3 所提算法對(duì)不同源數(shù)目混合信號(hào)的分離性能

本節(jié)將改變?cè)葱盘?hào)的混合源數(shù)目，混合信號(hào)的頻譜中存在混疊，分別仿真了兩路和三路源信號(hào)時(shí)的結(jié)果，源信號(hào)均為BPSK信號(hào)，其他參數(shù)與第3.1節(jié)中所述一致。

圖5給出了估計(jì)信號(hào)解調(diào)后得到的誤碼率曲線，從圖中可以看到本文提出的算法能分離出兩路或多路源信號(hào)，只是隨著源信號(hào)個(gè)數(shù)的增加，分離效果會(huì)變差。

3.4 本文所提算法與現(xiàn)有算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將本文所提基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法與經(jīng)典SCBSS算法EEMD和VMD進(jìn)行對(duì)比，仿真時(shí)兩路源信號(hào)調(diào)制方式均為BPSK，其他參數(shù)與第3.1節(jié)中所述參數(shù)一致，其一次仿真所用時(shí)間如表1所示。

由表1可以看到，本文提出的基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法的運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)少于VMD算法和EEMD算法。

不同算法得到的估計(jì)信號(hào)與源信號(hào)之間的平均相關(guān)系數(shù)、誤碼率隨信噪比變化的曲線分別如圖6、圖7所示。從圖6可以看出，本文提出的基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法分離后得到的信號(hào)與源信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)明顯高于VMD算法和EEMD算法，當(dāng)信噪比為5 dB時(shí)，本文提出的盲源信號(hào)分離算法相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.9，而VMD算法和EEMD算法對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)只有0.55和035左右。由圖7可以看出，當(dāng)誤碼率為10^-5時(shí)，本文所提的基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的單通道信號(hào)盲源分離算法所需信噪比為7 dB，而VMD算法和EEMD算法所需的信噪比分別為11 dB和17 dB，因此本文所提算法分離精度和運(yùn)算速度均明顯優(yōu)于基于VMD和EEMD的SCBSS算法。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法。針對(duì)Root-MUSIC算法不能準(zhǔn)確估計(jì)頻譜混疊混合信號(hào)相近載頻的局限性，提出一種自適應(yīng)Root-MUSIC算法，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同源信號(hào)的載頻估計(jì)，提高了載頻估計(jì)的準(zhǔn)確性;將傳統(tǒng)Kalman濾波算法與SCBSS相結(jié)合，利用估計(jì)的源信號(hào)參數(shù)重構(gòu)源信號(hào)，將源信號(hào)的初步估計(jì)作為Kalman濾波系統(tǒng)的觀測(cè)值，給定系統(tǒng)相關(guān)的初始值，通過不斷的預(yù)測(cè)和校正，最終得到源信號(hào)的最佳估計(jì)。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的可行性和有效性。仿真結(jié)果表明，本文所提基于參數(shù)估計(jì)和Kalman濾波的SCBSS算法可以從頻譜混疊的混合信號(hào)中分離出多個(gè)源信號(hào)，得到的估計(jì)信號(hào)與源信號(hào)之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，且準(zhǔn)確無誤地恢復(fù)了源信號(hào)的碼元信息，具有良好的分離性能和較低的算法復(fù)雜度，同時(shí)與基于EEMD的SCBSS算法和基于VMD的SCBSS算法相比，本文所提算法自適應(yīng)性更強(qiáng)，收斂速度更快，分離效果更好，優(yōu)勢(shì)更加明顯。

參考文獻(xiàn)

［1］HOPGOOD J R， RAYNER P J. Single channel nonstationary stochastic signal separation using linear time-varying filters［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2003， 51（7）： 1739-1752.

［2］DAVIES M E， JAMES C J. Source separation using single channel ICA［J］. Signal Processing， 2007， 87（8）： 1819-1832.

［3］ZHU H， ZHANG S N， ZHAO H C. Single-channel source separation of multi-component radar signal with the same generalized period using ICA［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2016， 35（1）： 353-363.

［4］WU C L， LIU Z， WANG X， et al. Single-channel blind source separation of co-frequency overlapped GMSK signals under constant-modulus constraints［J］. IEEE Communications Letters， 2016， 20（3）： 486-489.

［5］CHERRAD M， BENDJAMA H， FORTAKI T. Combination of single channel blind source separation method and normal distribution for diagnosis of bearing faults［J］. Jordan Journal of Mechanical amp; Industrial Engineering， 2022， 16（4）： 493-502.

［6］ZHAO X J， QIN Y， HE C B， et al. Underdetermined blind source extraction of early vehicle bearing faults based on EMD and kernelized correlation maximization［J］. Journal of Intelligent Manufacturing， 2022， 33（1）： 185-201.

［7］WANG L， ZHAO C H， DONG M X， et al. Fetal ECG signal extraction from long-term abdominal recordings based on adaptive QRS removal and joint blind source separation［J］. IEEE Sensors Journal， 2022， 22（21）： 20718-20729.

［8］SHOKOUHMAND A， TAVASSOLIAN N. Fetal electrocardiogram extraction using dual-path source separation of single-channel non-invasive abdominal recordings［J］. IEEE Trans.on Biomedical Engineering， 2023， 70（1）： 283-295.

［9］DUYAN G， YUANYUAN Z. BCG signal denoising method research based on EMD-ICA［J］. Chinese Journal of Biomedical Engineering， 2019， 38（2）： 138-145.

［10］WU Z H， HUANG N E. Ensemble empirical mode decomposition： a noise-assisted data analysis method［J］. Advances in Adaptive Data Analysis， 2009， 1（1）： 1-41.

［11］GU Y， LI X， CHEN S Y， et al. AOAR： an automatic ocular artifact removal approach for multi-channel electroencephalogram data based on non-negative matrix factorization and empirical mode decomposition［J］. Journal of Neural Engineering， 2021， 18（5）： 6012-6017.

［12］ZHAO L H， HONG G， WANG Z L， et al. Research on fault vibration signal features of GIS disconnector based on EEMD and kurtosis criterion［J］. IEEE Trans.on Electrical and Electronic Engineering， 2021， 16（5）： 677-686.

［13］LIU X L， WANG H， HUANG Y M. SCBSS signal denoising method of integrating EEMD and ESMD for dynamic deflection of bridges using GBSAR［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing， 2021， 14（99）： 2845-2856.

［14］LANG B， ZHANG X Y， XIAO J， et al. A new dynamic balance framework based on blind source separation under multiple fault conditions［J］. Shock and Vibration， 2022， 2022： 4059824.

［15］DRAGOMIRETSKIY K， ZOSSO D. Variational mode decomposition［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2013， 62（3）： 531-544.

［16］唐貴基， 王曉龍. 參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解方法在滾動(dòng)軸承早期故障診斷中的應(yīng)用［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2015， 49（5）： 73-81.

TANG G J， WANG X L. Parameter optimized variational mode decomposition on method with application to incipient fault diagnosis of rolling bearing［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2015， 49（5）： 73-81.

［17］劉長(zhǎng)良， 武英杰， 甄成剛. 基于變分模態(tài)分解和模糊 C 均值聚類的滾動(dòng)軸承故障診斷［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2015， 35（13）： 3358-3365.

LIU C L， WU Y J， ZHEN C G. Rolling bearing fault diagnosis based on variational mode decomposition and fuzzy C means clustering［J］. Proceedings of the CSEE， 2015， 35（13）： 3358-3365.

［18］湯杰， 陳劍， 楊斌. 基于 IVMD 的單通道盲源分離方法及其應(yīng)用［J］. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)， 2018（7）： 25-30.

TANG J， CHEN J， YANG B. Single-channel blind source separation based on IVMD and its applications［J］. Modular Machine Tool ＆ Automatic Manufacturing Technique， 2018（7）： 25-30.

［19］ZHOU J， WANG J X. A novel underdetermined source number estimation for coupled vibration sources of mechanical fault based on variational mode decomposition［J］. Journal of Mechanical Science and Technology， 2022， 36（2）： 621-635.

［20］ZHOU Q， YAO J P， LI J H， et al. A smart universal single-channel blind source separation method and applications［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2022， 33（4）： 1295-1321.

［21］WANG R， XU L， LIU F K. Bearing fault diagnosis based on improved VMD and DCNN［J］. Journal of Vibro Engineering， 2020， 22（5）： 1055-1068.

［22］WANG G， WANG Y B， MIN Y Z， et al. Blind source separation of transformer acoustic signal based on sparse component analysis［J］. Energies， 2022， 15（16）： 6017.

［23］KIM H G， JANG G J， PARK J S， et al. Single channel blind source separation based on probabilistic matrix factorisation［J］. Electronics Letters， 2017， 53（21）： 1429-1431.

［24］LYU Q， ZHANG X D， JIA Y. Kalman filtering algorithm for blind source separation［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， 2005， 5： 257-260.

［25］KEMIHA M， KACHA A. Single-channel blind source separation using adaptive mode separation-based wavelet transform and density-based clustering with sparse reconstruction［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2023， 42： 5338-5357.

［26］MADDIRALA A K， VELUVOLU K C. SSA with CWT and K-means for eye-blink artifact removal from single-channel EEG signals［J］. Sensors， 2022， 22（3）： 931-947.

［27］HE J A， SONG Y X. Blind source separation of the multi-signal single channel based on Kalman filtering［J］. Journal of Signal Processing， 2018， 34（7）： 843-851.

［28］LANGKAM S， DEB A K. Linear blind source separation： a dual state-parameter estimation approach［C］∥Proc.of the 39th National Systems Conference， 2015.

［29］宋宇霄. 基于信號(hào)狀態(tài)空間估計(jì)的單通道盲源分離算法研究［D］. 蘭州： 蘭州理工大學(xué)， 2019.

SONG Y X. Research on single channel blind source separation algorithm for signal state space estimation［D］. Lanzhou： Lanzhou University of Technology， 2019.

［30］DUTT R， MONDAL S， ACHARYYA A. Single channel blind source separation using dual extended Kalman filter［C］∥Proc.of the IEEE International Symposium on Circuits and Systems， 2021.

作者簡(jiǎn)介

付衛(wèi)紅（1979—），女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)槊ば盘?hào)處理、雷達(dá)目標(biāo)成像。

周雨菲（1997—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)的盲源分離。

張?chǎng)吴暎?999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)的盲源分離。

劉乃安（1966—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)闊o線通信。