基于稀疏矩陣填充的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)高分辨測(cè)角方法

摘 要： 級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)將多個(gè)射頻芯片進(jìn)行級(jí)聯(lián)，可實(shí)現(xiàn)大規(guī)模多輸入多輸出（multiple-input multiple-output， MIMO）天線陣列。然而，現(xiàn)有毫米波雷達(dá)的測(cè)角方法存在精確度不足、旁瓣過(guò)高等問(wèn)題。對(duì)此，提出一種基于稀疏矩陣填充的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)高分辨測(cè)角方法。首先，建立級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)二維稀疏陣列的陣列信號(hào)模型。然后，將該陣列的單快拍信號(hào)構(gòu)造為低秩漢克爾（Hankel）矩陣，使用加權(quán)非精確增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行稀疏矩陣填充，并將填充后的矩陣轉(zhuǎn)化為均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)。最后，使用常規(guī)波束形成（conventional beamforming， CBF）方法估計(jì)目標(biāo)角度信息并進(jìn)行配對(duì)。仿真和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法能夠精確地估計(jì)目標(biāo)角度信息，并有效抑制峰值旁瓣電平。

關(guān)鍵詞： 級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá); 波達(dá)方向估計(jì); 稀疏矩陣; 矩陣填充

中圖分類號(hào)： TN 958

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.11

High resolution angle measurement method for cascaded millimeter wave

radar based on sparse matrix completion

ZHANG Minglong¹， WU Yulin¹， WEI Wenqiang¹， SHEN Yuanjie¹，

GUO Shisheng^1，2， CUI Guolong^{1，2，*}

（1. School of Information and Communication Engineering， University of Electronic Science and

Technology of China， Chengdu 611731， China; 2. Yangtze Delta Region Institute （Quzhou），

University of Electronic Science and Technology of China， Quzhou 324003， China）

Abstract： Cascaded millimeter wave radar cascades multiple radio frequency chips to realize large-scale multiple-input multiple-output （MIMO） antenna array. However， the existing angle measurement methods of millimeter wave radar have problems such as insufficient accuracy and high sidelobes. To solve these problems， a high resolution angle measurement method for cascaded millimeter wave radar is proposed based on sparse matrix completion. Firstly， a two-dimensional sparse array signal model of the cascaded millimeter wave radar is established. Then， the single snapshot signal of the array is converted into a low-rank Hankel matrix， the weighted inexact augmented Lagrange multiplier method is used for sparse matrix completion， and the completed matrix is converted into the single snapshot signal of uniform virtual array. Finally， conventional beamforming （CBF） method is used to estimate the angles of the targets and the angles of the targets are paired. The simulation and experimental results show that the proposed method can accurately estimate the angles of the targets and effectively suppress peak sidelobe level.

Keywords： cascaded millimeter wave radar; direction of arrival （DOA） estimation; sparse matrix; matrix completion

0 引 言

隨著自動(dòng)駕駛技術(shù)的發(fā)展，毫米波雷達(dá)已經(jīng)成為高級(jí)駕駛輔助系統(tǒng)（advanced driving assistance system， ADAS）不可或缺的一部分^［1］。毫米波雷達(dá)是一種利用毫米波頻段（30～300 GHz）的電磁波進(jìn)行探測(cè)的雷達(dá)。相比于其他ADAS傳感器，如激光雷達(dá)、攝像頭等，其具有全天時(shí)、全天候的探測(cè)能力，可在惡劣天氣和低光照條件下進(jìn)行有效的目標(biāo)探測(cè)和跟蹤^［2-3］。同時(shí)，毫米波雷達(dá)還具有硬件成本低、體積小等特點(diǎn)，因此毫米波雷達(dá)在自動(dòng)駕駛領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如自適應(yīng)巡航控制、緊急制動(dòng)、泊車輔助等^［4-5］。

在毫米波雷達(dá)信號(hào)處理過(guò)程中，波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計(jì)是重要步驟之一，影響著毫米波雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的定位精度^［6］?，F(xiàn)有的毫米波雷達(dá)DOA估計(jì)方法包括波束形成類^［7-9］、子空間類^［10-11］、迭代自適應(yīng)方法（iterative adaptive approach， IAA）類^［12-15］、壓縮感知類^［16］、深度學(xué)習(xí)類^［17］方法等。文獻(xiàn)［18］基于單片微波集成電路（mono-lithic microwave integrated circuit， MMIC）芯片毫米波雷達(dá)，利用數(shù)字波束形成方法估計(jì)目標(biāo)的方位角和仰角，但是該方法的角度估計(jì)精度有限。文獻(xiàn)［19］基于單芯片毫米波雷達(dá)，通過(guò)最小方差無(wú)失真響應(yīng)（minimum variance distortionless response， MVDR）方法進(jìn)行目標(biāo)測(cè)角，以消除多徑假目標(biāo);文獻(xiàn)［20］使用多重信號(hào)分類（multiple signal classification， MUSIC）方法估計(jì)目標(biāo)角度，通過(guò)單芯片毫米波雷達(dá)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)，但是上述兩種方法的角度估計(jì)性能依賴于多快拍的陣列協(xié)方差矩陣。文獻(xiàn)［21］基于單芯片毫米波雷達(dá)，提出了一種三維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以用于DOA估計(jì)，不過(guò)該方法需要大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，較難應(yīng)用于實(shí)際工程中。但是，單芯片毫米波雷達(dá)收發(fā)陣元數(shù)量較少，角度分辨率有限，并且其性能容易受到信號(hào)衰減、多徑效應(yīng)等影響，而級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)將多個(gè)MMIC芯片進(jìn)行級(jí)聯(lián)，可實(shí)現(xiàn)大規(guī)模多輸入多輸出（multiple-input multiple-output， MIMO）天線陣列，提高角度分辨率、抗干擾能力和探測(cè)精度^［22-24］。對(duì)于級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)均勻陣列，文獻(xiàn)［25］使用MUSIC方法分析級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)的角度估計(jì)性能，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明其角度估計(jì)精度優(yōu)于單芯片毫米波雷達(dá)。文獻(xiàn)［26］結(jié)合先驗(yàn)信息和IAA，提出了一種快速局部迭代搜索算法，使用級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)在單快拍條件下估計(jì)目標(biāo)角度。壓縮感知方法在文獻(xiàn)［27］中被用于級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)目標(biāo)角度估計(jì)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)周圍環(huán)境的準(zhǔn)確感知。雖然上述的IAA和壓縮感知方法能夠基于單快拍信號(hào)得出角度估計(jì)結(jié)果，但是需要較高的計(jì)算成本和信噪比條件，并且網(wǎng)格失配情況會(huì)降低壓縮感知方法角度估計(jì)的精度。

級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)的角度分辨率取決于天線陣列的虛擬孔徑。在確定收發(fā)天線陣元數(shù)量的前提下，使用傳統(tǒng)均勻布陣方法得到的均勻陣列虛擬孔徑較小、角度分辨率較低。而采用稀疏布陣方法得到的稀疏陣列能夠在不增加天線陣元和硬件成本的條件下，獲得更大的陣列虛擬孔徑，實(shí)現(xiàn)更高的角度分辨率，從而提高級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)性能，在有限的天線陣元資源下，挖掘更多的潛能^［28-30］。然而，上述DOA估計(jì)方法在被應(yīng)用于稀疏陣列時(shí)存在精度不足、高旁瓣等問(wèn)題。在級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)稀疏陣列的基礎(chǔ)上，可通過(guò)矩陣填充（matrix completion， MC）方法恢復(fù)接收信號(hào)矩陣中的缺失數(shù)據(jù)，再進(jìn)行DOA估計(jì)。該方法可提高缺失陣元數(shù)據(jù)時(shí)的DOA估計(jì)精度，同時(shí)避免網(wǎng)格失配問(wèn)題^［31-34］，為實(shí)現(xiàn)高精度雷達(dá)成像和三維環(huán)境感知提供支撐。傳統(tǒng)的基于核范數(shù)最小化的MC算法包括奇異值閾值算法^［35］、加速近端梯度算法^［36］、交替方向乘子法^［37］、增廣拉格朗日乘子法^［38］等方法。為提高核范數(shù)最小化方法的靈活性，文獻(xiàn)［39］指定合理的核范數(shù)權(quán)重，實(shí)現(xiàn)加權(quán)核范數(shù)最小化，提高估計(jì)損壞的潛在輸入數(shù)據(jù)的能力;文獻(xiàn)［40］提出截?cái)嗪朔稊?shù)方法，通過(guò)截?cái)噍^大奇異值之和，更好地解決低秩矩陣逼近問(wèn)題。文獻(xiàn)［41］使用奇異值閾值算法恢復(fù)陣列信號(hào)協(xié)方差矩陣中的缺失元素，利用旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)目標(biāo)角度參數(shù)。文獻(xiàn)［42］結(jié)合加速近端梯度算法和MUSIC算法以恢復(fù)接收信號(hào)矩陣和估計(jì)DOA^［42］。文獻(xiàn)［43］基于交替方向乘子法和聯(lián)合重加權(quán)以填充稀疏快拍矩陣，通過(guò)快速傅里葉變換（fast Fourier transform， FFT）獲得目標(biāo)方位角和仰角。文獻(xiàn)［44］將一維稀疏陣列的快拍信號(hào)構(gòu)造為漢克爾（Hankel）矩陣，使用奇異值閾值算法填充信號(hào)數(shù)據(jù)矩陣，再通過(guò)FFT算法實(shí)現(xiàn)一維DOA估計(jì);文獻(xiàn)［45］將數(shù)據(jù)排列成具有多重低秩Hankel結(jié)構(gòu)的低秩增強(qiáng)形式，通過(guò)核范數(shù)最小化方法實(shí)現(xiàn)MC，恢復(fù)缺失數(shù)據(jù);文獻(xiàn)［46］為減輕MIMO雷達(dá)天線陣元故障帶來(lái)的負(fù)面影響，將四重Hankel矩陣的結(jié)構(gòu)化處理與MC方法相結(jié)合，有效地恢復(fù)陣列信號(hào)協(xié)方差矩陣的行和列的連續(xù)損壞數(shù)據(jù)，提高天線陣列的角度估計(jì)性能^［46］。然而，上述方法只通過(guò)理論分析與數(shù)字仿真驗(yàn)證了算法的有效性，其算法性能在實(shí)際場(chǎng)景中有待驗(yàn)證。本文將MC引入到級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)DOA估計(jì)，借助Hankel矩陣的特殊構(gòu)型，通過(guò)迭代的方式恢復(fù)稀疏虛擬陣列信號(hào)以提高DOA估計(jì)性能，并通過(guò)數(shù)字仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的有效性。

本文提出了一種基于稀疏MC的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)高分辨測(cè)角方法，與已有研究相比，本文的主要貢獻(xiàn)包括：① 構(gòu)建了級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)二維MIMO天線陣列的陣列回波信號(hào)模型;② 將陣列的單快拍信號(hào)構(gòu)造為低秩Hankel矩陣，使用加權(quán)非精確增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行稀疏MC，獲取均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)，通過(guò)常規(guī)波束形成（conventional beamforming， CBF）方法估計(jì)目標(biāo)方位角和仰角信息，并進(jìn)行配對(duì);③ 通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)際場(chǎng)景測(cè)試，驗(yàn)證了所提方法的有效性。結(jié)果表明，所提方法能夠準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)的角度信息，并有效抑制旁瓣對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，可幫助級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)識(shí)別、點(diǎn)云成像等任務(wù)。

1 信號(hào)模型

假設(shè)級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)由M個(gè)MMIC射頻芯片級(jí)聯(lián)組成，每個(gè)毫米波雷達(dá)芯片具有N_t個(gè)發(fā)射陣元和N_r個(gè)接收陣元。系統(tǒng)采用時(shí)分復(fù)用（time division multiplexing， TDM）技術(shù)，發(fā)射陣元發(fā)射調(diào)頻連續(xù)波（frequency modulated continuous wave， FMCW）信號(hào)。所有發(fā)射陣元和接收陣元構(gòu)成級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)二維MIMO天線陣列，在三維空間中對(duì)目標(biāo)方位角、俯仰角進(jìn)行估計(jì)。

建立如圖1所示的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)陣列模型，其中級(jí)聯(lián)天線陣列位于x-o-z平面，紅色表示發(fā)射陣列，由MN_t個(gè)發(fā)射陣元組成，藍(lán)色表示接收陣列，由MN_r個(gè)接收陣元組成。

發(fā)射陣元和接收陣元的x軸坐標(biāo)可分別表示為

t_x=［t_x，1，t_x，2，…，t_x，MNt］^T（1）

r_x=［r_x，1，r_x，2，…，r_x，MNr］^T（2）

發(fā)射陣元和接收陣元的y軸坐標(biāo)均為0，z軸坐標(biāo)可分別表示為

t_z=［t_z，1，t_z，2，…，t_z，MNt］^T（3）

r_z=［r_z，1，r_z，2，…，r_z，MNr］^T（4）

假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)一目標(biāo)位于坐標(biāo)（x_o，y_o，z_o）處，方位角與仰角分別為φ和θ，以徑向速度V運(yùn)動(dòng)，則目標(biāo)與第i個(gè)發(fā)射陣元、第j個(gè)接收陣元之間的距離分別為

R_t，i=（x_o－t_x（i））²+y²_o+（z_o－t_z（i））²（5）

R_r，j=（x_o－r_x（j））²+y²_o+（z_o－r_z（j））²（6）

發(fā)射陣元發(fā)射的Chirp信號(hào)為

s（t）=exp（j2πf₀t+jπKt²）， t∈［0，T］（7）

式中：f₀為載波頻率;K=B/T為調(diào)頻斜率，B為信號(hào)帶寬;T為信號(hào)時(shí)寬。對(duì)于級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)第i個(gè)發(fā)射陣元所發(fā)射的第n個(gè)Chirp信號(hào)，n=1，2，…，N，N表示發(fā)射的Chirp信號(hào)數(shù)目，第j個(gè)接收陣元所接收到的回波信號(hào)可表示為

s_i，j（t，n）=s（t－（τ_i，j+2V（t+ΔT_n）/c））+v_i，j（t，n）=

exp（j2πf₀（t－（τ_i，j+2V（t+ΔT_n）/c）））·

s^b_i，j（t，n）+v_i，j（t，n）（8）

s^b_i，j（t，n）=exp（jπK（t－（τ_i，j+2V（t+ΔT_n）/c））²）（9）

式中：v_i，j（t，n）表示均值為0、方差為σ²的復(fù)高斯白噪聲;ΔT_n=（n－1）T;c表示光速;電磁傳播時(shí)延τ_i，j=（R_t，i+R_r，j）/c?？紤]到2V（t+ΔT_n）/c與τ_i，j相比是一個(gè)非常小的值，故忽略s^b_i，j（t，n）中包含的2V（t+ΔT_n）/c項(xiàng)，接收信號(hào)與發(fā)射信號(hào)經(jīng)過(guò)混頻后，中頻信號(hào)可表示為

x_i，j（t，n）=exp（j2πf₀τ_i，j）x^b_i，j（t，n）+v_i，j（t，n） （10）

x^b_i，j（t，n）=exp（j2π（Kτ_i，j+f_d）t－jπKτ²_i，j+j2πf_dΔT）（11）

式中：f_d=2V/λ表示多普勒頻率;λ為信號(hào)波長(zhǎng)。由于系統(tǒng)采用TDM技術(shù)，當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同發(fā)射陣元形成的虛擬陣列之間存在多普勒相位偏移。相鄰發(fā)射順序的發(fā)射陣元之間的多普勒相位偏移為

Δ?_d=4πVTλ（12）

則中頻信號(hào)為

x_i，j（t，n）=exp（j（2πf₀τ_i，j+（i－1）Δ?_d））·

x^b_i，j（t，n）+v_i，j（t，n）（13）

考慮到目標(biāo)位于遠(yuǎn)場(chǎng)，將式（5）和式（6）分別重寫(xiě)為

R_t，i≈R_t，1+（t_x（i）－t_x（1））sin φcos θ+

（t_z（i）－t_z（1））sin θ（14）

R_r，j≈R_r，1+（r_x（j）－r_x（1））sin φcos θ+

（r_z（j）－r_z（1））sin θ（15）

故目標(biāo)與第i個(gè)發(fā)射陣元、第j個(gè)接收陣元之間的電磁傳播時(shí)延可表示為

τ_i，j=R_t，i+R_r，jc=τ_1，1+Δτ_i，j（16）

式中：Δτ_i，j為第i個(gè)發(fā)射陣元、第j個(gè)接收陣元與第1個(gè)發(fā)射陣元、第1個(gè)接收陣元之間的波程差。由于其是非常小的值，故忽略x^b_i，j（t，n）中的Δτ_i，j項(xiàng)，將信號(hào)重寫(xiě)為

x_i，j（t，n）=exp（j（2πf₀Δτ_i，j+（i－1）Δφ_d））·

x⁰（t，n）+v_i，j（t，n）（17）

式中：x⁰（t，n）=exp（j2πf₀τ_1，1）x^b_1，1（t，n）。

結(jié)合所有虛擬陣列的通道，將x_1，1（t，n），x_1，2（t，n），…，x_MNt，MNr（t，n）排列為向量x（t，n），則虛擬陣列接收信號(hào)為

x（t，n）=a（φ，θ）x⁰（t，n）+v（t，n）（18）

a（φ，θ），v（t，n）可分別表示為

a（φ，θ）=a_t（φ，θ）a_r（φ，θ） （19）

v（t，n）=［v_1，1（t，n），v_1，2（t，n），…，v_MNt，MNr（t，n）］^T（20）

式中：a（φ，θ）表示導(dǎo)向矢量;a_t（φ，θ）和a_r（φ，θ）分別為發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量;表示克羅內(nèi)克積。a_t（φ，θ）和a_r（φ，θ）分別表示為

a_t（φ，θ）=［exp{j2π（t_x，1sin φcos θ+t_z，1sin θ）/λ}，

exp{j2π（t_x，2sin φcos θ+t_z，2sin θ）/λ+jΔ?_d}，…，

exp{j2π（t_x，MNtsin φcos θ+t_z，MNtsin θ）/λ+j（MN_t－1）Δ?_d}］^T（21）

a_r（φ，θ）=［exp{j2π（r_x，1sin φcos θ+r_z，1sin θ）/λ}，

exp{j2π（r_x，2sin φcos θ+r_z，2sin θ）/λ}，…，

exp{j2π（r_x，MNrsin φcos θ+r_z，MNrsin θ）λ}］^T（22）

經(jīng)過(guò)采樣之后，得到離散接收信號(hào)x（h，n），可表示為

x（h，n）=a（φ，θ）x⁰（h，n）+v（h，n），h=1，2，…，H（23）

式中：H表示采樣點(diǎn)數(shù)。對(duì)每個(gè)虛擬陣列通道的信號(hào)進(jìn)行H-點(diǎn)離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT），結(jié)果可表示為

x^r（h-，n）=a（φ，θ）x^r，0（h-，n）+v^r（h-，n）， h-=1，2，…，H-（24）

式中：x^r，0（h-，n）為x⁰（h，n）的DFT結(jié)果;v^r（h-，n）是噪聲的DFT結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)Chirp信號(hào)中，所有虛擬陣列通道的距離維DFT的目標(biāo)峰值索引均為h_p。取x^r（h-，n）中索引為h_p的值，表示為

x^r（h_p，n）=a（φ，θ）x^r，0（h_p，n）+v^r（h_p，n）（25）

2 基于MC的高分辨測(cè)角方法

本節(jié)將介紹基于稀疏MC的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)高分辨測(cè)角方法。所提方法首先將MIMO天線陣列的單快拍信號(hào)構(gòu)造為低秩Hankel矩陣，然后使用加權(quán)非精確增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行稀疏MC，并將填充后的矩陣轉(zhuǎn)化為均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)，最后使用CBF方法估計(jì)目標(biāo)的方位、俯仰角信息并進(jìn)行配對(duì)。測(cè)角方法的具體流程圖如圖2所示。

2.1 稀疏MC

對(duì)于同一距離/多普勒單元內(nèi)的少量目標(biāo)，由于其空間散射點(diǎn)是稀疏的，故由虛擬陣列快拍信號(hào)構(gòu)造的矩陣是低秩的。在結(jié)合稀疏與低秩先驗(yàn)的基礎(chǔ)上，可將虛擬陣列的快拍信號(hào)構(gòu)造為待填充的輸入矩陣^［31］。具體地，對(duì)所有虛擬陣列通道在目標(biāo)距離單元的單快拍信號(hào)進(jìn)行選取，以方位維度為例，將方位維度上選取的信號(hào)構(gòu)造為低秩Hankel矩陣，作為待填充的矩陣。

虛擬陣列在目標(biāo)距離單元的第n個(gè)快拍信號(hào)y（n）=x^r（h_p，n），其在方位維度選取后的信號(hào)為y_d（n）=［y_d（n，0），y_d（n，i_d），…，y_d（n，L）］^T，y_d（n，i_d）表示虛擬通道坐標(biāo)為i_d的第n個(gè)快拍信號(hào)，i_d∈I_d，I_d為虛擬陣列通道坐標(biāo)集合，相鄰陣元最小間距d=λ/2，Ld為虛擬孔徑。假設(shè)孔徑為L(zhǎng)d的均勻陣列在目標(biāo)距離單元的第n個(gè)快拍信號(hào)為y_u（n）=［y_u（n，0），y_u（n，j_u），…，y_u（n，L）］^T，均勻陣列通道坐標(biāo)j_u=0，1，2，…，L，y_u（n，j_u）可表示為

將均勻陣列快拍信號(hào)y_u（n）按照Hankel矩陣形式進(jìn)行構(gòu)造，得到的Hankel矩陣可以看作為無(wú)缺失元素的均勻陣列快拍信號(hào)的空間采樣矩陣，該矩陣具有低秩的先驗(yàn)特性。通過(guò)求解Hankel矩陣核范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，可以較好地恢復(fù)均勻陣列快拍信號(hào)中的缺失元素^［47-48］。將該矩陣作為稀疏MC問(wèn)題的輸入矩陣D，使用加權(quán)非精確增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行稀疏MC^［37-39］，填充后的目標(biāo)矩陣A可求解如下：

minA|A|_w，*， A+E=D; π_Ω（E）=0（27）

式中：A_w，*=∑^r_l=1w_lσ_l（A）;σ_l（A）為矩陣A的第l個(gè)奇異值;w=［w₁，w₂，…，w_r］^T;w_l為σ_l（A）的非負(fù)權(quán)值;r為奇異值個(gè)數(shù);E是A和D之間的誤差矩陣;Ω為D中非零項(xiàng)的索引集合;π_Ω是保持Ω中元素不變的線性運(yùn)算符。

式（27）中，MC問(wèn)題的部分增廣拉格朗日函數(shù)可表示為

L（A，E，Y，μ）=A_w，*+〈Y，D－A－E〉+μ2D－A－E2F（28）

式中：〈A，B〉表示矩陣A^TB的跡函數(shù);Y為拉格朗日乘子;μgt;0為懲罰因子;·_F表示Frobenius范數(shù)。通過(guò)交替更新變量A，E，Y，μ以最小化部分增廣拉格朗日函數(shù)L（A，E，Y，μ）。具體來(lái)說(shuō)，該問(wèn)題可通過(guò)迭代以下步驟解決。

步驟 1 固定E_k、Y_k和μ_k不變，通過(guò)最小化L（A，E_k，Y_k，μ_k）以更新A_k+1，計(jì)算公式為

A_k+1=argminA L（A，E_k，Y_k，μ_k）=

argminAA_w，*+〈Y_k，D－A－E_k〉+μ_k2D－A－E_k2F=

argminAA_w，*+μ_k2D－A－E_k+1μ_kY_k2F（29）

迭代計(jì)算A_k+1時(shí)，通過(guò)指定合理的權(quán)重w，提高核范數(shù)最小化問(wèn)題的靈活性，更好地恢復(fù)輸入矩陣中待填充的部分。由于輸入矩陣的較大奇異值量化了其基本主方向的信息，所以較大奇異值的收縮量較少，較小奇異值的收縮量較大^［39］。矩陣A進(jìn)行奇異值分解后可表示為A=UΣ-V^T，Σ-=diag（［σ₁（A），σ₂（A），…，σ_r（A）］）。令Z=D-E_k+Y_k/μ_k，矩陣Z進(jìn)行奇異值分解后的奇異值為Σ=diag（［σ₁（Z），σ₂（Z），…，σ_r（Z）］），σ_l（A）為

σ_l（A）=0， c₂lt;0

c₁+c₂2， c₂≥0（30）

式中：c₁=σ_l（Z）－ε;c₂=（σ_l（Z）+ε）²－4C;ε為極小的正值;C為正則化參數(shù)。

步驟 2 固定A_k+1、Y_k和μ_k不變，通過(guò)最小化L（A_k+1，E，Y_k，μ_k）以更新E_k+1，計(jì)算公式為

E_k+1=argminπΩ（E）=0L（A_k+1，E，Y_k，μ_k）=argminπΩ（E）=0A_k+1w，*+

〈Y_k，D－A_k+1－E〉+μ_k2D－A_k+1－E2F=

argminπΩ（E）=0μ_k2D－A_k+1－E+1μ_kY_k2F=

πD－A_k+1+1μ_kY_k（31）

更新矩陣E_k+1時(shí)，約束π_Ω（E）=0在最小化L（A_k+1，E，Y_k，μ_k）時(shí)強(qiáng)制執(zhí)行。

步驟 3 固定A_k+1、E_k+1和μ_k不變，更新Y_k+1：

Y_k+1=Y_k+μ_k（D－A_k+1－E_k+1）（32）

步驟 4 更新懲罰因子μ_k+1：

μ_k+1=ρμ_k（33）

式中：ρ為更新因子。

迭代上述步驟直至滿足迭代終止條件或者達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，終止迭代運(yùn)算，得到目標(biāo)矩陣A?；诜抡妗?shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理經(jīng)驗(yàn)，將最大迭代次數(shù)k_m設(shè)置為200，迭代終止條件設(shè)置為D－A_k－E_kF/D_Flt;ε₁，其中ε₁表示迭代終止閾值，ε₁=10^－3。取目標(biāo)矩陣A的反對(duì)角線元素的平均值^［47-48］，可得到均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)y_o（n）。稀疏MC算法如算法1所示。

算法 1 稀疏CM算法輸入 輸入信號(hào)y_u（n），虛擬孔徑Ld，迭代次數(shù)k，最大迭代次數(shù)k_m

輸出 輸出信號(hào)y_o（n）

步驟 1 將y_u（n）按照Hankel矩陣形式進(jìn)行構(gòu)造，得到輸入矩陣D和索引集合Ω。

步驟 2

步驟 2.1 更新A

A_k+1=argminAL（A，E_k，Y_k，μ_k）

步驟 2.2 更新E

E_k+1=argminπΩ（E）=0L（A_k+1，E，Y_k，μ_k）

步驟 2.3 更新Y

Y_k+1=Y_k+μ_k（D－A_k+1－E_k+1）步驟 2.4 更新μ

μ_k+1=ρμ_k

步驟 2.5 k′=k+1

步驟 3 若未達(dá)到最大迭代次數(shù)k_m或迭代終止條件D－A_k－E_kF/D_Flt;ε₁，重復(fù)步驟2。

步驟 4 取目標(biāo)矩陣A的反對(duì)角線元素的平均值，得到輸出信號(hào)y_o（n）。

2.2 角度估計(jì)

對(duì)于均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)y_o（n），通過(guò)CBF方法^［7-8］進(jìn)行DOA估計(jì)。CBF空間譜為

P（φ）=b_w（φ）^HRb_w（φ）（34）

式中：R=y_o（n）y_o（n）^H;b_w（φ）由方位維度的導(dǎo)向矢量加窗后得到，本文使用漢明窗。通過(guò)稀疏CM獲取均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)，然后使用CBF方法估計(jì)空間譜，獲取目標(biāo)的角度，本文將上述方法稱為矩陣填充常規(guī)波束形成（matrix completion conventional beam forming， MC-CBF）方法。相似地，在俯仰維度進(jìn)行DOA估計(jì)之后，獲得目標(biāo)俯角。之后將獲取的方位角、俯角信息進(jìn)行配對(duì)，對(duì)于S個(gè)方位角不同的目標(biāo)（s=1，2，…，S），構(gòu)造代價(jià)函數(shù)：

V_s=argp=1，2，…，Pmaxa^H（φ_s，θ_p）E_nE^H_na（φ_s，θ_p）^－1（35）

式中：E_n表示由虛擬陣列通道的快拍信號(hào)所構(gòu)造的噪聲子空間;φ_s和θ_p分別為獲取的目標(biāo)方位角和俯角;P為獲取的俯角個(gè)數(shù);·表示2范數(shù)。通過(guò)計(jì)算代價(jià)函數(shù)的最大值，可將目標(biāo)與獲取的仰角信息進(jìn)行配對(duì)，得到最終的角度估計(jì)結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)通過(guò)級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際場(chǎng)景測(cè)試，驗(yàn)證本文所提的MC-CBF方法的性能。將MC-CBF方法與幾種毫米波雷達(dá)DOA估計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，包括CBF方法^［7-8］、MVDR方法^［9］、MUSIC方法^［10］、IAA方法^［12-14］，驗(yàn)證本文所提方法的有效性和優(yōu)越性。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮一級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)，設(shè)置為兩片四發(fā)四收MMIC級(jí)聯(lián)模式。發(fā)射陣元和接收陣元的排布如圖3所示，其中相鄰陣元間距均為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，最小間距為半波長(zhǎng)。發(fā)射陣元的x軸和z軸坐標(biāo)分別為t_x=［0，8，24，28，32，9，10，11］^T、t_z=［0，0，0，0，0，1，4，6］^T，接收陣元的x軸和z軸坐標(biāo)分別為r_x=［0，1，2，3，12，14，15，53］^T、r_z=［0，0，0，0，0，0，0，0］^T。系統(tǒng)采用TDM技術(shù)，發(fā)射陣元的發(fā)射順序id為e_t=［1，2，3，4，5，6，7，8］。

發(fā)射陣元與接收陣元形成的二維虛擬陣列示意圖如圖4所示。方位、俯仰維度的虛擬子陣列分別為Subarray₁和Subarray₂。方位稀疏虛擬子陣列Subarray₁具有40個(gè)通道，構(gòu)成的虛擬孔徑為42.5λ，俯仰稀疏虛擬子陣列Subarray₂具有4個(gè)通道，構(gòu)成的虛擬孔徑為3λ。

假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)距離均為5 m，速度均為0 m/s，目標(biāo)1的（方位角，俯角）為（0°，0°），目標(biāo)2的（方位角，俯角）為（10°，0°），接收回波信噪比為SNR=20 dB，載波頻率為77 GHz，信號(hào)帶寬為2.527 GHz，信號(hào)時(shí)寬為32 μs，采樣率為8 MHz，采樣點(diǎn)數(shù)為256，快拍數(shù)為1。

用不同方法對(duì)Subarray₁在目標(biāo)距離單元的單快拍信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)，得到的空間譜對(duì)比結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，對(duì)于Subarray₁的單快拍信號(hào)，所有方法的空間譜在目標(biāo)方位角處均出現(xiàn)了譜峰。由于Subarray₁為稀疏陣列，直接使用CBF方法進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)較高的旁瓣電平。MVDR方法和MUSIC方法受到快拍數(shù)限制，無(wú)法準(zhǔn)確構(gòu)造陣列信號(hào)協(xié)方差矩陣，因此旁瓣很高。MC-CBF方法通過(guò)稀疏MC得到均勻虛擬陣列的單快拍信號(hào)后，再根據(jù)式（34）進(jìn)行DOA估計(jì)，相比于CBF、MVDR、MUSIC、IAA方法，旁瓣電平得到了有效抑制。圖6為保持其他條件不變，將陣列接收回波的信噪比設(shè)置為SNR=－10 dB時(shí)，不同方法的空間譜對(duì)比結(jié)果。從圖6可以看出，MC-CBF方法在低信噪比條件下仍然具有更好的旁瓣抑制水平。

圖7為目標(biāo)的距離方位角度譜，圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）分別為對(duì)Subarray₁的單快拍信號(hào)使用CBF、IAA、MC-CBF方法得到的距離方位角度譜。從圖7可知，在原有稀疏虛擬陣列基礎(chǔ)上直接進(jìn)行DOA估計(jì)，由于旁瓣影響，不易直接在方位維度檢測(cè)到兩個(gè)目標(biāo)，而MC-CBF方法的距離方位角度譜具有兩個(gè)清晰的譜峰，對(duì)應(yīng)著正確的距離和方位角度。在俯仰維度進(jìn)行DOA估計(jì)之后，將獲取的方位角、俯角信息進(jìn)行配對(duì)。圖8為三維空間定位結(jié)果，對(duì)比了目標(biāo)在空間中的真實(shí)位置與使用MC-CBF方法的估計(jì)結(jié)果。觀察圖8可知，MC-CBF方法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的角度信息。

通過(guò)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，采用均方根誤差（root mean square error， RMSE）衡量不同方法對(duì)于虛擬陣列的DOA估計(jì)精度，RMSE定義為

RMSE=1S1Q∑Ss=1∑Qq=1（θ-_s，q－θ_s）²（36）

式中：S為信源個(gè)數(shù);Q為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)。圖9為在蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中，不同方法在不同信噪比條件下對(duì)方位維度進(jìn)行DOA估計(jì)的RMSE曲線。將接收回波信噪比設(shè)置為－10 dB到20 dB之間，將步進(jìn)值設(shè)置為2 dB。由圖9可見(jiàn)，所有方法的RMSE都隨著信噪比的增加而逐漸減小，而且MC-CBF方法具有更高的角度估計(jì)精度。

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)所提方法的旁瓣抑制性能，將接收回波的信噪比設(shè)置為－10 dB到20 dB之間，設(shè)置步進(jìn)值為2 dB。圖10為不同信噪比條件下，不同方法對(duì)方位維度DOA估計(jì)的空間譜的峰值旁瓣電平（peak sidelobe level， PSL）對(duì)比結(jié)果。從圖10可以發(fā)現(xiàn)，在不同信噪比下，本文提出的方法均具有更好的旁瓣抑制效果。

3.2 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提方法的有效性以及對(duì)比不同方法在實(shí)際測(cè)量中的性能，使用德州儀器（Texas Instruments， TI）公司的四芯片AWR2243級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)進(jìn)行實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)。其發(fā)射與接收陣列如圖11所示，其中相鄰陣元間距均為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，最小陣元間距為半波長(zhǎng)。該級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)由4個(gè)MMIC芯片級(jí)聯(lián)構(gòu)成，共包含12個(gè)發(fā)射陣元和16個(gè)接收陣元，構(gòu)成的二維虛擬陣列在方位、俯仰維度的虛擬孔徑分別為42.5λ和3λ。

該級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)的發(fā)射陣元與接收陣元能夠覆蓋仿真部分中的兩片四發(fā)四收MMIC級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)的發(fā)射陣元與接收陣元。在實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)合理使能對(duì)應(yīng)的8個(gè)發(fā)射陣元和8個(gè)接收陣元，即可實(shí)現(xiàn)仿真部分的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)，形成相同的虛擬陣列。故TI級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)使能發(fā)射陣元的x軸和z軸坐標(biāo)分別為t_x=［0，8，24，28，32，9，10，11］^T、t_z=［0，0，0，0，0，1，4，6］^T，使能接收陣元的x軸和z軸坐標(biāo)分別為r_x=［0，1，2，3，12，14，15，53］^T、r_z=［0，0，0，0，0，0，0，0］^T。同時(shí)，設(shè)置發(fā)射陣元的發(fā)射順序id為e_t=［12，10，6，5，4，3，2，1］，使發(fā)射陣元、接收陣元的x、z軸坐標(biāo)，發(fā)射陣元的發(fā)射順序均與仿真部分的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)相同。

圖12為實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，令兩個(gè)目標(biāo)距離均為5 m，速度均為0 m/s，目標(biāo)1的（方位角，俯角）為（－4°，－2°），目標(biāo)2的（方位角，俯角）為（6°，－2°），載波頻率為77 GHz，信號(hào)帶寬為2.527 GHz，信號(hào)時(shí)寬為32 μs，采樣率為8 MHz，采樣點(diǎn)數(shù)為256，快拍數(shù)為1。

圖13為不同方法對(duì)方位維度的稀疏虛擬子陣列的單快拍信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)得到的空間譜。觀察圖13可知，對(duì)于Subarray₁的單快拍信號(hào)，所有方法的空間譜在目標(biāo)方位角處均出現(xiàn)了譜峰，但是MC-CBF方法能夠獲得比其他方法更低的旁瓣電平。

圖14為實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)中的目標(biāo)距離方位角度譜，圖14（a）、圖14（b）、圖14（c）分別為對(duì)方位維度的稀疏虛擬子陣列使用CBF方法、IAA方法、MC-CBF方法所得到的距離方位角度譜。可以發(fā)現(xiàn)，使用MC-CBF方法對(duì)方位維度稀疏虛擬子陣列的單快拍信號(hào)填充之后，再進(jìn)行DOA估計(jì)，獲得的距離角度譜具有兩個(gè)更加清晰的譜峰，該方法抑制了旁瓣電平，能夠獲取精確的目標(biāo)角度信息。在俯仰維度進(jìn)行DOA估計(jì)之后，將目標(biāo)的方位角和仰角進(jìn)行配對(duì)，得到如圖15所示的三維空間實(shí)測(cè)定位結(jié)果。觀察圖15可知，在實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)中，MC-CBF方法能夠較為準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的方位角、俯角信息。

為了避免隨機(jī)性的影響，對(duì)級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)虛擬陣列接收信號(hào)的任意快拍信號(hào)進(jìn)行處理，分析任意單快拍下，各方法對(duì)方位維度DOA估計(jì)的空間譜的旁瓣抑制性能。從圖16可以發(fā)現(xiàn)，在接收回波信噪比較高的條件下，對(duì)于任意單快拍，所提方法具有更好的旁瓣抑制效果。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于稀疏MC的級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)高分辨測(cè)角方法。首先，建立了級(jí)聯(lián)毫米波雷達(dá)二維稀疏陣列的陣列信號(hào)模型。其次，將虛擬陣列的單快拍信號(hào)構(gòu)造為低秩Hankel矩陣，將其作為待填充的矩陣。然后，基于該矩陣奇異值的稀疏特性，構(gòu)建稀疏MC的優(yōu)化模型，并使用加權(quán)非精確增廣拉格朗日乘子法求解待填充的矩陣。最后，將填充后的矩陣構(gòu)造為均勻陣列的單快拍信號(hào)，使用CBF方法估計(jì)目標(biāo)的角度信息并進(jìn)行配對(duì)。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)證明了所提方法的可行性，結(jié)果表明該方法能夠精確地估計(jì)目標(biāo)角度信息，而且可以有效抑制PSL。

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作者簡(jiǎn)介

張明龍（2000—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

吳雨林（2000—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹撩撞ɡ走_(dá)信號(hào)處理。

魏文強(qiáng)（1997—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、最優(yōu)化理論和算法。

沈園杰（1999—）， 男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)镸IMO毫米波雷達(dá)、信號(hào)處理。

郭世盛（1991—），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)槌鞘协h(huán)境多徑探測(cè)、雷達(dá)信號(hào)處理。

崔國(guó)龍（1982—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)槌鞘协h(huán)境目標(biāo)探測(cè)、陣列信號(hào)處理。