基于空間對(duì)抗的多智能體編隊(duì)控制方法

摘要： 針對(duì)3維空間對(duì)抗環(huán)境下，具有非線性二階積分器動(dòng)力學(xué)模型的多智能體系統(tǒng)（multi-agents system， MAS）時(shí)變編隊(duì)機(jī)動(dòng)與隊(duì)形變換控制問題，提出一種可抑制外部干擾的MAS時(shí)變編隊(duì)機(jī)動(dòng)與隊(duì)形變換策略。首先，根據(jù)空間對(duì)抗環(huán)境分析常見編隊(duì)隊(duì)形的效用，設(shè)計(jì)一種基于應(yīng)力矩陣和領(lǐng)導(dǎo)-跟隨策略的24機(jī)編隊(duì)立體構(gòu)型，通過靈活地仿射變換隊(duì)形，提高M(jìn)AS編隊(duì)空間對(duì)抗效率。其次，基于一致性理論、滑模理論和魯棒性控制，利用時(shí)變編隊(duì)?wèi)?yīng)力矩陣，設(shè)計(jì)了一種魯棒一致性跟蹤控制器，以在外部未知擾動(dòng)條件下，確保MAS時(shí)變編隊(duì)在機(jī)動(dòng)與仿射變換時(shí)跟隨者對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的精確協(xié)同跟蹤。然后，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)證明了外界未知擾動(dòng)下3維MAS時(shí)變編隊(duì)連續(xù)機(jī)動(dòng)和隊(duì)形變換的穩(wěn)定性。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的控制器能夠使時(shí)變編隊(duì)在機(jī)動(dòng)和隊(duì)形變換過程中實(shí)現(xiàn)精確協(xié)同跟蹤。

關(guān)鍵詞： 多智能體系統(tǒng); 空間對(duì)抗; 編隊(duì)隊(duì)形控制; 應(yīng)力矩陣

中圖分類號(hào)： TJ 761

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.26

Multi-agents formation control method based on space confrontation

ZHANG Jie¹， LIU Kairong²， CHEN Jinbao¹， ZHANG Yingxue¹， CHEN Chuanzhi^1，*， YU Hongzhi¹， ZHANG Yunxiao¹

（1. College of Astronautics， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 211106， China; 2. Shanghai Aerospace Control Technology Institute， Shanghai 201109， China）

Abstract： Aiming at the problem of time-varying formation maneuvering and affine transformation control for multi-agents system （MAS） with nonlinear second-order integrator dynamics model in three-dimensional （3D） space confrontation environment， a strategy for MAS time-varying formation maneuvering and formation transformation is proposed， which is designed to suppress external disturbances. Firstly， by analyzing the utility of common formations in spatial adversarial environments， a 24-agents spatial configuration is devised based on stress matrix and leader-follower strategy. Through flexible affine transformation formations， this configuration can adapt to other formations， thereby enhancing the spatial resilience efficiency of MAS formations in adversarial environments. Secondly， leveraging consistency theory， sliding mode theory and robust control， a distributed robust consistency tracking controller is designed using the time-varying formation stress matrix. This controller is designed to address scenarios where MAS time-varying formations are subject to external unknown disturbances， ensuring precise coordinated tracking of the leader during affine transformation and continuous maneuvering. Thirdly， the stability of 3D MAS time-varying formation continuous maneuvering and affine transformation in the presence of external unknown disturbances is proven by constructing a Lyapunov function. Finally， simulation experiments demonstrate that the proposed controller can achieve precise coordinated tracking during maneuvering and formation transformation for time-varying formations.

Keywords： multi-agent system （MAS）; space confrontation; formation control; stress matrix

0 引 言

多智能體系統(tǒng)（multi-agents system，MAS）在復(fù)雜空間對(duì)抗環(huán)境下交互作戰(zhàn)是一種新型作戰(zhàn)模式，是根據(jù)自然界鳥群、蜂群、蟻群等群居動(dòng)物生物種群的交流合作方式而誕生的^［1］。相較于傳統(tǒng)空間對(duì)抗載體，大規(guī)模、低成本的MAS可利用內(nèi)部拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)協(xié)同偵察、協(xié)同打擊、協(xié)同干擾等功能，可被有效應(yīng)用于反恐維穩(wěn)、遠(yuǎn)程突防、戰(zhàn)機(jī)護(hù)航等作戰(zhàn)任務(wù)^［2］。合適的MAS的集群化載荷部署還可以增強(qiáng)空間生存和打擊能力，擴(kuò)大信息獲取范圍，縮短復(fù)雜空間任務(wù)的完成周期，是地-空-天聯(lián)合體系的重要平臺(tái)^［3］。

協(xié)同控制是MAS時(shí)變編隊(duì)控制的重要研究內(nèi)容。按照協(xié)同控制策略，協(xié)同編隊(duì)可以分成基于領(lǐng)航-跟隨控制編隊(duì)、基于虛擬結(jié)構(gòu)控制編隊(duì)、基于行為控制編隊(duì)、一致性控制編隊(duì)、人工勢場控制編隊(duì)。隨著控制方法的發(fā)展深入，針對(duì)MAS時(shí)變編隊(duì)隊(duì)形保持、變換與避障等問題，將上述研究策略和各類先進(jìn)智能控制方法混合使用效果更佳?；陬I(lǐng)航-跟隨框架，更容易應(yīng)用復(fù)雜的控制算法，例如動(dòng)態(tài)逆控制^［4-6］、滑?？刂?sup>［^7-8］、自適應(yīng)控制^［9-11］、模型預(yù)測控制^［12-15］和模糊控制^［16-19］等。

近年來，基于圖論的剛性理論分布式編隊(duì)控制方法^［20］被廣泛研究。Lin等^［21］將圖論拉普拉斯矩陣的交互權(quán)重由正實(shí)數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，形成仿射隊(duì)形，該方法也被稱為仿射編隊(duì)控制。Wang等^［22］將仿射編隊(duì)控制的拓?fù)鋱D由無向圖延伸到有向圖。文獻(xiàn)［23］完整總結(jié)了無向圖和有向圖的仿射控制充分必要條件。

針對(duì)3維甚至更高維度的MAS時(shí)變編隊(duì)控制策略已有諸多成果。Kwon等^［24］將Park等^［25］提出的弱剛性概念拓展到3維空間的三角形編隊(duì)。Tang等^［26］基于方位和相對(duì)速度解決了3維空間中的編隊(duì)控制問題，并用4個(gè)智能體的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。Zhao等^［27］探究了軸承剛度理論，提出適用于任意維度空間的基于方位的分布式編隊(duì)控制策略，并用8個(gè)智能體組成的立方體驗(yàn)證該方法。隨后，Xu等^［28］實(shí)現(xiàn)了用任意積分動(dòng)力學(xué)控制跟隨者，成功跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者在任意維度上的任意階多項(xiàng)式軌跡，并分別用由9個(gè)智能體組成的立方體編隊(duì)和由10個(gè)智能體組成的平面楔形編隊(duì)驗(yàn)證該策略。上述文獻(xiàn)中研究的MAS時(shí)變編隊(duì)大多是由3～10個(gè)智能體組成的3維編隊(duì)，且編隊(duì)隊(duì)形簡單，沒有考慮外部干擾，對(duì)于實(shí)際空間對(duì)抗任務(wù)需求，算法應(yīng)用依舊比較困難。

本文針對(duì)3維空間對(duì)抗環(huán)境中的大型MAS時(shí)變編隊(duì)機(jī)動(dòng)與隊(duì)形變換穩(wěn)定控制問題，設(shè)計(jì)了一種大型MAS編隊(duì)立體矩形基礎(chǔ)構(gòu)型，并提出一種可有效抑制外部未知擾動(dòng)的MAS時(shí)變編隊(duì)的魯棒一致性跟蹤控制器。與現(xiàn)有研究成果相比，本文工作的創(chuàng)新性體現(xiàn)如下：

（1） 基于空間對(duì)抗環(huán)境，分析了一字形、楔形、菱形等常規(guī)編隊(duì)隊(duì)形的對(duì)抗效用，設(shè)計(jì)了一種基于應(yīng)力矩陣和領(lǐng)航-跟隨控制策略的3維24機(jī)編隊(duì)立體矩形構(gòu)型，其可通過靈活仿射變換為一字形、菱形等其他隊(duì)形，從而達(dá)到多種隊(duì)形的對(duì)抗與避障效果，提高對(duì)抗效能;

（2） 為實(shí)現(xiàn)24機(jī)立體構(gòu)型編隊(duì)在機(jī)動(dòng)與隊(duì)形變換中的穩(wěn)定控制，考慮外界未知擾動(dòng)情況，基于一致性理論、滑模理論和魯棒性控制，設(shè)計(jì)了MAS時(shí)變編隊(duì)跟隨者的魯棒一致性跟蹤控制器。該控制器可有效抑制外界未知擾動(dòng)，消除跟蹤過程誤差，解決領(lǐng)航-跟隨時(shí)變編隊(duì)協(xié)同控制中的跟隨者跟蹤控制問題。

1 預(yù)備知識(shí)

圖論是分布式控制和一致性理論的基礎(chǔ)^［29］。在一致性理論中，拉普拉斯矩陣十分重要，其具有許多重要性質(zhì)^［30］，尤其是半正定性對(duì)于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性證明十分重要。

1.1 無向圖

作為MAS通信拓?fù)涔ぞ?，?yán)格來說，各類圖的強(qiáng)度效果根據(jù)“有向圖lt;強(qiáng)連接圖lt;生成樹lt;平衡圖lt;無向圖”逐漸加強(qiáng)^［31］。無向圖G=（V， E）由n個(gè)節(jié)點(diǎn)集V={V₁，V₂，…，V_n}和邊集E={（i，j）：i，j∈V，i≠j}組成的拓?fù)渫ㄐ啪W(wǎng)絡(luò)，用于描述智能體之間的相互作用。其中，V_i表示智能體i，邊（i，j）∈E或（j，i）∈E表示V_j∈V和V_i∈V是彼此的鄰居。對(duì)于智能體i，所有可訪問智能體的集合表示為N_i，也稱為i的鄰居集，即N_i={V_i|（i，j）∈E}，N_i是智能體i的鄰居數(shù)量。無向圖G的鄰接矩陣為A=［a_ij］∈R^n×n，其中若（i，j）∈E，則（j，i）∈E也存在，且a_ij=a_ji=1，否則為0。

考慮在歐幾里得空間R^d中的一組n個(gè)智能體，其中d≥3，n≥d+1。設(shè)p_i∈R^d是智能體i的位置，則p=［p^T₁，p^T₂，…，p^T_n］^T∈R^d是所有智能體的配置矩陣。在不失一般性的情況下，假設(shè)前n_l個(gè)智能體是領(lǐng)導(dǎo)者，剩余的智能體則為跟隨者n_f=n-n_l，則領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者分別為V_l={1，2，…，n_l}，V_f=V/V_l。領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的位置分別表示為p_l=［p^T₁，p^T₂，…，p^T_nl］^T和p_f=［p^T_nl+1，p^T_nl+2，…，p^T_n］^T。將無向圖G及其相應(yīng)的配置矩陣P=［p_l，p_f］置于R^d中，從而獲得編隊(duì)（G，P）。

1.2 仿射空間

編隊(duì)的配置矩陣P∈R^n×d和增廣矩陣P-∈R^n×（d+1）為

引理1 仿射空間的秩條件^［32］。當(dāng)且僅當(dāng)n≥d+1時(shí)，點(diǎn)集{p_i}ⁿ_i=1仿射空間為R^d且rank（P-（p））=d+1。

定義一個(gè)非奇異矩陣A=R^d×d表示隊(duì)形伸縮、旋轉(zhuǎn)等變換，位移向量b∈R^d表示在上述變換之上進(jìn)行位置偏移，均在時(shí)間t上連續(xù)。標(biāo)稱配置矩陣r代表所需要保持的集群隊(duì)形，智能體i∈V在目標(biāo)編隊(duì)中的理想位置為

MAS時(shí)變編隊(duì)協(xié)同控制的目的可以表達(dá)為：t→∞時(shí)，p（t）→p^d（t）。

1.3 應(yīng)力矩陣

應(yīng)力矩陣又稱為符號(hào)拉普拉斯矩陣，與拉普拉斯矩陣類似，均表述了個(gè)體之間的通信拓?fù)潢P(guān)系，不同之處在于應(yīng)力矩陣包含了個(gè)體與鄰居的位置關(guān)系，表征的是一個(gè)構(gòu)型或者圖的內(nèi)部力平衡狀態(tài)。

在數(shù)學(xué)和力學(xué)理論與應(yīng)用中，參數(shù)ω_ij是圖G的邊（i，j）上的一個(gè)標(biāo)量權(quán)重，建模了智能體之間的拓?fù)湫畔⒘鹘Y(jié)構(gòu)，且ω_ij=ω_ji成立。當(dāng)ω_ijgt;0時(shí)，表示邊（i，j）存在引力，反之則為斥力。向量ω_ij（p_j－p_i）表示智能體j通過邊（i，j）施加在智能體i上的力。對(duì)于一個(gè)編隊(duì)（G，P），若能滿足下述要求

∑j∈N_iω_ij（p_j－p_i）=0，i∈V（5）

則稱ω為配置矩陣P的平衡應(yīng)力。因此，式（5）意味著由智能體j∈N_i施加在智能體i上的力是平衡的。將ω=（ω₁，ω₂，…，ω_m）^T∈R^m表示應(yīng)力向量，其中ω_k對(duì)應(yīng)于第k個(gè)無向邊，k=1，2，…，m。

值得注意的是，平衡應(yīng)力只能在標(biāo)量因子的范圍內(nèi)確定，即若ω是平衡應(yīng)力向量，那么對(duì)于任何k∈R_≠0，kω也是平衡應(yīng)力向量。將式（5）寫為矩陣形式，即為

（ΩI_d）P=0（6）

應(yīng)力矩陣Ω=［Ω_ij］∈R^n×n定義如下：

應(yīng)力矩陣的性質(zhì)與編隊(duì)結(jié)構(gòu)的通用剛性密切相關(guān)。下面給出需要用到的兩個(gè)關(guān)于應(yīng)力矩陣的引理，分別用于建立應(yīng)力矩陣與結(jié)構(gòu)為通用剛性、仿射映像的關(guān)系。

引理2 仿射編隊(duì)通用剛性條件^［33］。給定一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無向圖G和通用配置矩陣P，且n≥d+2。當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)應(yīng)力矩陣Ω，Ω是半正定的，且rank（Ω）=n－d－1，則編隊(duì)（G，P）是通用剛性的。

引理3 仿射可定位的應(yīng)力條件^［33］。當(dāng)且僅當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的標(biāo)稱配置{r_i}ⁿ_i∈Vl仿射空間為R^d，同時(shí)具有半正定應(yīng)力矩陣Ω且rank（Ω）=n－d－1，當(dāng)且僅當(dāng)增廣應(yīng)力矩陣Ω-_ff模塊是非奇異時(shí)，標(biāo)稱編隊(duì)（G，r）是仿射可定位的，p_f可以被唯一確定，且p_f=－Ω-^－1_ffΩ-_flp_l。根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者將增廣應(yīng)力矩陣分解為

進(jìn)一步定義跟隨者跟蹤誤差和速度誤差為

δ_pf（t）=p_f（t）－p^d_f（t）=p_f（t）+Ω-^－1_ffΩ-_flp_l（9）

δ_vf（t）=v_f（t）－v^d_f（t）=v_f（t）+Ω-^－1_ffΩ-_flv_l（10）

假設(shè)1 編隊(duì)可仿射變換的條件。假設(shè)MAS時(shí)變編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目ngt;d+1且有半正定應(yīng)力矩陣Ω，rank（Ω）=n－d－1。

注1 基于圖論、應(yīng)力矩陣、全局剛性、仿射空間的引理1、引理2表述集群編隊(duì)的隊(duì)形結(jié)構(gòu)，以及通信拓?fù)湫铦M足的要求，是引理3的前置條件?；诜律涠x與仿射可定位的引理3，給出了集群編隊(duì)的期望信息，可由領(lǐng)導(dǎo)者位置求解跟隨者位置，通過領(lǐng)導(dǎo)者位置與隊(duì)形配置信息確定整體隊(duì)形變換。

2 大型空間對(duì)抗編隊(duì)隊(duì)形設(shè)計(jì)

從有人機(jī)長期作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)可了解到，合理有效的空間對(duì)抗MAS隊(duì)形可以充分發(fā)揮空中兵力的整體威力，提高協(xié)同作戰(zhàn)效率，滿足獲取戰(zhàn)場態(tài)勢信息的及時(shí)性、增加編隊(duì)飛行的安全性和隱身性、提高任務(wù)完成率等任務(wù)要求。常用的空間對(duì)抗編隊(duì)隊(duì)形有“一”字形、楔形、菱形等多種隊(duì)形^［34］。

“一”字形編隊(duì)可分為平行編隊(duì)與縱向編隊(duì)，MAS間距根據(jù)智能體的偵查設(shè)備載荷的搜索能力、航行安全距離來調(diào)整。如圖1所示，在平行編隊(duì)隊(duì)形中，智能體橫向一字排開，主要用于大面積搜索目標(biāo)，智能體數(shù)量的增加可以明顯擴(kuò)大搜索范圍，提高作戰(zhàn)效率?？v向編隊(duì)主要用于躲避障礙物、轟炸地面目標(biāo)等任務(wù)，當(dāng)編隊(duì)在沒有對(duì)方威脅的區(qū)域航行時(shí)，編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者可以帶領(lǐng)編隊(duì)航行，穿越、躲避空間障礙物。

楔形緊密編隊(duì)主要用于出航和返航，編隊(duì)最前方為領(lǐng)航機(jī)，有利于MAS減小燃油消耗，增大航程。菱形編隊(duì)主要用于攻擊，有利于提高攻擊效率，增加完成任務(wù)的概率。處于前方的智能體攻擊目標(biāo)之后對(duì)攻擊效果進(jìn)行評(píng)估，如果需要二次攻擊，處于斜后方的智能體可以執(zhí)行二次攻擊，否則斜后方的智能體可以繼續(xù)執(zhí)行其他任務(wù)。這樣，前方的智能體無需掉頭進(jìn)行二次攻擊，從而節(jié)省智能體能量消耗。MAS編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者可以處于編隊(duì)的后方安全區(qū)域，并且實(shí)時(shí)監(jiān)督每顆智能體的飛行狀態(tài)和任務(wù)執(zhí)行情況，必要時(shí)可直接修改智能體作戰(zhàn)任務(wù)。

菱形編隊(duì)還可實(shí)現(xiàn)保護(hù)MAS領(lǐng)導(dǎo)者安全的效果。當(dāng)編隊(duì)遭遇強(qiáng)于自身的空間力量襲擊時(shí)，MAS跟隨者在領(lǐng)導(dǎo)者周圍保護(hù)領(lǐng)導(dǎo)者迅速撤離戰(zhàn)場，跟隨者吸引敵方來襲，必要時(shí)以機(jī)身來阻擋來襲襲擊，以最大限度地保護(hù)領(lǐng)導(dǎo)者。編隊(duì)功能如圖2所示。

矩形編隊(duì)分為大縱深的隊(duì)列布陣和淺縱深寬橫面的方陣。相比于適用于擴(kuò)大攔截面積的淺縱深寬橫面方陣，大縱深隊(duì)列布陣更適合執(zhí)行協(xié)同任務(wù)，火力載荷裝備在前排智能體上，光學(xué)探測或其他重要載荷裝備在前排陣后，橫排數(shù)量少，可以有效提高航行、對(duì)抗及應(yīng)戰(zhàn)速度。

相較于其他隊(duì)形（如楔形、圓形等）作為仿射變換基礎(chǔ)隊(duì)形的單一效果，基于矩形的仿射變換可變換為“一”字形、菱形，可達(dá)到楔形隊(duì)形的巡航和轟炸、圓形隊(duì)形的圍攻和信號(hào)屏蔽等隊(duì)形的作戰(zhàn)效果，如圖3所示?；诖?，本文選用矩形編隊(duì)為空間對(duì)抗的MAS基礎(chǔ)隊(duì)形。

3 MAS時(shí)變編隊(duì)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

3.1 問題描述

假定在歐幾里得空間R³中，所有智能體考慮如下二階積分器動(dòng)力學(xué)模型：

式中：p_i是智能體的位置；v_i為智能體的速度；u_i是所需設(shè)計(jì)的控制輸入；d_i是外界擾動(dòng)。

假設(shè)2 編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡保持。領(lǐng)導(dǎo)者軌跡提前由智能軌跡規(guī)劃器生成，且其時(shí)刻位于目標(biāo)編隊(duì)位置內(nèi)，即對(duì)于任意時(shí)刻t，均有p_l（t）=p^d_l（t），v_l（t）=v^d_l（t）。

3.2 無擾動(dòng)的跟隨者一致性跟蹤控制器設(shè)計(jì)

考慮MAS動(dòng)力學(xué)模型為式（11），當(dāng)d_i≡0時(shí)，基于假設(shè)1、假設(shè)2，對(duì)每個(gè)跟隨者i∈V_f設(shè)計(jì)如下一致性跟蹤控制器：

u_i=－1ξ_i∑j∈N_i（Ω-_ijk₁（p_i－p_j）+k₂（v_i－v_j）－v·_j）（12）

式中：k₁、k₂是正常數(shù)的控制增益；ξ_i=∑_j∈Niω_ij，由于Ω-_ff是正定矩陣，ξ_i≥0恒成立。

定理1 考慮MAS動(dòng)力學(xué)模型為式（11），基于假設(shè)1與假設(shè)2，式（12）跟隨者一致性跟蹤控制器可使時(shí)變編隊(duì)在無外界擾動(dòng)下，形成并維持期望的仿射變換隊(duì)形，且機(jī)動(dòng)過程中跟隨者位置誤差δ_pf（t）和速度誤差δ_vf（t）全局指數(shù)地快速收斂至零。

證明 根據(jù)式（12）有

將式（13）寫為矩陣-向量形式：

化簡式（14）可得：

v·_f=－k₁δ_pf－k₂δ_vf－Ω-^－1_ffΩ-_flv·^d_l（15）

由于Ω-_ff是非奇異的，將式（15）代入式（10）得

δ·_vf=v·_f+Ω-^－1_ffΩ-_flv·^d_l=－k₁δ_pf－k₂δ_vf（16）

將式（16）寫為矩陣-向量形式：

式（17）也為誤差動(dòng)力學(xué)，其狀態(tài)矩陣的特征值為λ=－k₁±k²₂－4k₁/2，對(duì)于任何k₁、k₂，它總是具有負(fù)實(shí)部，具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。

定義φ=［δ^T_pf，δ^T_vf］^T，且S是包含控制增益k₁、k₂的狀態(tài)矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)S是Hurwitz時(shí)，φ可以收斂至零，從而推斷出k₁、k₂是正常數(shù)。證畢

3.3 存在未知擾動(dòng)的跟隨者魯棒一致性跟蹤控制器設(shè)計(jì)

考慮MAS動(dòng)力學(xué)模型為式（11），當(dāng)d_i不為零時(shí)，在式（12）控制器基礎(chǔ)上，對(duì)d_i采用擾動(dòng)估計(jì)，從而進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償。

假設(shè)3 外界擾動(dòng)有界性。外界未知擾動(dòng)d_i是有界的，且存在常數(shù)d_max≥0使得d_i≤d_max。

假設(shè)4 擾動(dòng)估計(jì)有界性。令d^_i是擾動(dòng)估計(jì)器對(duì)外界未知擾動(dòng)d_i的估計(jì)值，存在擾動(dòng)估計(jì)器使得d～_i（t）是有界的，且limt→∞d～_i（t）=0。

基于假設(shè)3與假設(shè)4，考慮對(duì)每個(gè)跟隨者i∈V_f設(shè)計(jì)如下魯棒一致性跟蹤滑模控制器：

式中：k₃，k₄，k₅是正常數(shù)的控制增益；ξ_i=∑_j∈Niω_ij，由于Ω -_ff是正定矩陣，ξ_i≥0恒成立，d ^_i是擾動(dòng)d_i估計(jì)值。

定理2 考慮MAS動(dòng)力學(xué)模型為式（11），基于假設(shè)3與假設(shè)4，式（18）跟隨者魯棒一致性跟蹤滑模控制器可使時(shí)變編隊(duì)在外界未知擾動(dòng)下，能夠形成并維持期望的仿射變換隊(duì)形，且機(jī)動(dòng)過程中跟隨者位置誤差δ_pf（t）和速度誤差δ_vf（t）全局指數(shù)地快速收斂至零。

證明 根據(jù)式（18）有

將式（19）寫為矩陣-向量形式：

其中，定義Ω～_ii=ξ_i。

化簡式（20）可得：

v·_f=-k₃δ_pf-k₄δ_vf+Ω～_iiΩ-^-1_ffd^_i-

k₅Ω～_iiΩ-^-1_ffsign（δ_vf）-Ω-^-1_ffΩ-_flv·^d_l（21）

由于Ω-_ff是非奇異的，將式（21）代入跟蹤誤差式（10）得

將式（22）寫為矩陣-向量形式：

式（23）也稱為誤差動(dòng)力學(xué)，其狀態(tài)矩陣的特征值為λ=－k₃±k²₄－4k₃/2，對(duì)于任何k₃、k₄，它總是具有負(fù)實(shí)部，具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。

定義φ=［δ^T_pf，δ^T_vf］^T，且S是包含控制增益k₁、k₂的狀態(tài)矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)S是Hurwitz時(shí)，φ可以收斂至零，從而可推斷出k₃、k₄是正常數(shù)。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

V=12δ^T_vfΩ-_ffδ_vf（24）

對(duì)式（24）求導(dǎo)得

由式（19）可知，當(dāng)Ω～_iimaxδ_vf1d^_imax－k₅Ω～_iimaxδ^T_vf1≤0成立，即k₅≥d_imax≥d^_imax時(shí)，有V·≤0。由Barbalat引理可得，當(dāng)t→∞時(shí)，實(shí)現(xiàn)δ_pf→0和δ_vf→0。式（18）控制律使得MAS時(shí)變編隊(duì)的跟隨者跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，編隊(duì)保持構(gòu)型穩(wěn)定。證畢

3.4 擾動(dòng)估計(jì)器設(shè)計(jì)

考慮對(duì)跟隨者i∈V_f設(shè)計(jì)外界未知擾動(dòng)估計(jì)器。令d^_i的拉普拉斯表達(dá)式滿足關(guān)系式：

d^_i=Qd_i=Q（p¨_i－u_i）（26）

其中Q為低通濾波器，保證了系統(tǒng)正則性和可實(shí)現(xiàn)性。取Q拉氏變換為

Q（s）=1Ts+1（27）

令

由式（26）、式（27）和式（28）得

d^_i=Q（p¨_i－μ_i+d^_i）（29）

從而得外界未知擾動(dòng)估計(jì)值為

d^_i=Q1－Q（p¨_i－μ_i）=1Ts（p¨_i－μ_i）=

（v_i（t）－v₀（t）－∫t₀μ_i（τ）dτ）/T（30）

定理3 式（30）擾動(dòng)估計(jì)器使得d～_i（t）是有界的，且limt→∞d～_i（t）=0。

證明 引入擾動(dòng)估計(jì)誤差d～_i為

d～_i=d_i－d^_i（31）

根據(jù)式（26）和式（31），得

Tsd～_i+d～_i=Tsd_i（32）

式（32）的時(shí)域表達(dá)式為

d·～_i（t）=－1Td～_i（t）+d·_i（t）（33）

將式（33）視為輸入為d·_i（t），狀態(tài)為d·～_i（t）的系統(tǒng)。當(dāng)limt→∞d·_i（t）=0成立時(shí)，由于式（33）是全局輸入狀態(tài)穩(wěn)定的，顯然可得limt→∞d～_i（t）=0。且濾波器截止頻率為T^－1。具體證明推導(dǎo)過程與文獻(xiàn)［35］過程類似，在此不再贅述。證畢

至此，針對(duì)式（11）具有外部擾動(dòng)的MAS模型，本文提出了MAS時(shí)變編隊(duì)跟隨者的魯棒一致性跟蹤控制器式（18），其控制結(jié)構(gòu)如圖4所示。該控制器由兩個(gè)部分組成：一部分是基于應(yīng)力矩陣的一致性滑模跟蹤控制，作為系統(tǒng)穩(wěn)定器;另一部分為外部擾動(dòng)估計(jì)器，可以有效抑制系統(tǒng)受到的外界未知擾動(dòng)。

4 仿真與分析

4.1 標(biāo)稱隊(duì)形和標(biāo)稱配置矩陣設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)所提出的MAS時(shí)變編隊(duì)跟隨者魯棒一致性跟蹤控制器式（18），需要設(shè)計(jì)滿足引理3與假設(shè)1條件的標(biāo)稱編隊(duì)隊(duì)形。在3維空間內(nèi)至少需要4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，基于領(lǐng)航-跟隨策略，設(shè)計(jì)了4×3×2陣列的24機(jī)MAS時(shí)變編隊(duì)為標(biāo)稱編隊(duì)，給定對(duì)應(yīng)的配置矩陣P（r）∈R^24×3和鄰接矩陣A=R^24×24。編隊(duì)構(gòu)型如圖5所示，圖中紅色標(biāo)記為領(lǐng)導(dǎo)者，藍(lán)色標(biāo)記為跟隨者，黑色連接線代表智能體間的鄰接通信拓?fù)潢P(guān)系。該MAS時(shí)變編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)量滿足4≥d+1=3+1，而且領(lǐng)導(dǎo)者的位置并不共面，對(duì)應(yīng)的無向圖也是4根的。

24機(jī)編隊(duì)標(biāo)稱配置矩陣P（r）為

P（r）=［P₁ P₂ P₃ P₄］^T（34）

其中，

24機(jī)編隊(duì)鄰接矩陣A可由圖5得出。

4.2 應(yīng)力矩陣計(jì)算

根據(jù)本文應(yīng)力矩陣分析與剛性集群要求，應(yīng)力矩陣應(yīng)滿足引理2、引理3。Zhao等^［32］提出一種用于構(gòu)造普遍剛性框架的正半定應(yīng)力矩陣的算法。該構(gòu)造方法基于矩陣奇異值分解（singular value decomposition， SVD）和乘法逆特征值（multiplicative inverse eigenvalues， MIE）算法，其中需要無向圖的配置矩陣全局信息。但其所提出的基于應(yīng)力矩陣的編隊(duì)控制器是完全分布式的，不需要全局信息，與分布式控制文獻(xiàn)中經(jīng)常使用的控制設(shè)計(jì)策略“集中式設(shè)計(jì)，分布式實(shí)現(xiàn)”一致^［36］。

根據(jù)Zhao等^［32］的應(yīng)力矩陣求解算法，通過配置矩陣與鄰接矩陣解算即可得到24機(jī)編隊(duì)的應(yīng)力矩陣Ω。

注2 一個(gè)MAS編隊(duì)的應(yīng)力矩陣可視為符號(hào)拉普拉斯圖，其結(jié)構(gòu)由無向圖G確定，但應(yīng)力矩陣元素的值由編隊(duì)構(gòu)型（即標(biāo)稱配置矩陣和鄰接矩陣）共同確定。由于一個(gè)MAS編隊(duì)構(gòu)型的標(biāo)稱配置矩陣、鄰接矩陣具有多解，因此其應(yīng)力矩陣通常是不確定的。

4.3 MAS時(shí)變編隊(duì)機(jī)動(dòng)與仿射變換仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，MAS選用模型式（11），領(lǐng)導(dǎo)者智能體以時(shí)變且連續(xù)的理想加速度進(jìn)行預(yù)設(shè)軌跡運(yùn)動(dòng)，式（18）作為MAS時(shí)變編隊(duì)跟隨者的魯棒一致性跟蹤滑?？刂破?，外界干擾d_i（t）=5sin（100t），并賦予MAS時(shí)變編隊(duì)初始位置隨機(jī)位置誤差。

實(shí)驗(yàn)得到24機(jī)MAS時(shí)變編隊(duì)機(jī)動(dòng)與仿射變換軌跡如圖6和圖7所示，紅色標(biāo)記的為4個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，藍(lán)色標(biāo)記的為20個(gè)跟隨者。t=0 s時(shí)標(biāo)稱隊(duì)形位置具有隨機(jī)位置誤差;t=6 s前迅速恢復(fù)至標(biāo)稱隊(duì)形位置并起飛;t=17 s和t=39 s時(shí)連續(xù)仿射放大隊(duì)形通過大型障礙;t=62 s時(shí)仿射縮小，隊(duì)形渡過障礙;t=75 s時(shí)由矩形立體構(gòu)型仿射為矩形2維平面，可用于屏蔽信號(hào)、圍攻;t=118 s時(shí)矩形2維平面旋轉(zhuǎn)渡過狹長障礙;t=179 s時(shí)矩形2維平面仿射變換為一字形隊(duì)形渡過狹小障礙，該隊(duì)形也可用于自殺式攻擊;t=179 s時(shí)由一字形隊(duì)形仿射為矩形立體3維構(gòu)型;t=269 s時(shí)整體旋轉(zhuǎn)繞過危險(xiǎn)區(qū)域;t=364 s時(shí)發(fā)現(xiàn)前下方為作戰(zhàn)危險(xiǎn)區(qū)域，準(zhǔn)備仿射變換為菱形隊(duì)形作戰(zhàn);t=450 s時(shí)仿射變換為菱形隊(duì)形，擴(kuò)展面積攻擊下方危險(xiǎn)區(qū)域，也可用于攻擊前方、保護(hù)核心智能體。

24機(jī)MAS時(shí)變編隊(duì)跟隨者位置誤差變化如圖8（a）所示，可以看出跟隨者位置跟蹤誤差的l₂范數(shù)能夠快速收斂至零，且在整個(gè)過程中基本保持在零附近。為了更清楚地對(duì)比擾動(dòng)估計(jì)器的作用，還針對(duì)式（18）進(jìn)行了有無擾動(dòng)估計(jì)器的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，無擾動(dòng)估計(jì)器的位置跟蹤誤差變化如圖8（b）所示。

相應(yīng)地，24機(jī)MAS時(shí)變編隊(duì)速度、加速度的變化如圖9和圖10所示，從圖中可以看出當(dāng)產(chǎn)生機(jī)動(dòng)時(shí)，跟隨者的速度和加速度沒有產(chǎn)生明顯的波動(dòng)。

從實(shí)驗(yàn)中可以看出，MAS時(shí)變編隊(duì)的領(lǐng)導(dǎo)者智能體在機(jī)動(dòng)過程中無須始終保持在空間內(nèi)的仿射張成。機(jī)動(dòng)過程中領(lǐng)導(dǎo)者編隊(duì)會(huì)出現(xiàn)共線情況，例如，領(lǐng)導(dǎo)者編隊(duì)連續(xù)機(jī)動(dòng)合并為一字形、矩形平面、菱形編隊(duì)，但MAS時(shí)變編隊(duì)的定位性和穩(wěn)定性不會(huì)受到影響。本文所提出的魯棒一致性跟蹤滑模控制器能夠?qū)崿F(xiàn)MAS時(shí)變編隊(duì)在不同方向上的連續(xù)平移、旋轉(zhuǎn)、放縮，且能夠使得整個(gè)MAS時(shí)變編隊(duì)在復(fù)雜空間對(duì)抗環(huán)境內(nèi)增大攻擊效能、擁有可變形避障功能。

5 結(jié) 論

本文面向空間對(duì)抗環(huán)境設(shè)計(jì)了一種基于leader-foll-ower框架和應(yīng)力矩陣的3維24機(jī)編隊(duì)矩形立體構(gòu)型，提出一種可有效抑制外部擾動(dòng)的MAS時(shí)變編隊(duì)的魯棒一致性跟蹤控制器，只需控制少量編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者，即可實(shí)現(xiàn)整個(gè)編隊(duì)的穩(wěn)定機(jī)動(dòng)與仿射變換。

仿真實(shí)驗(yàn)考慮了外界未知擾動(dòng)、外界威脅和環(huán)境障礙規(guī)避等情況，經(jīng)過驗(yàn)證，在本文提出的控制器作用下，本文設(shè)計(jì)的24機(jī)編隊(duì)可以快速消除外界未知擾動(dòng)和機(jī)動(dòng)過程誤差，執(zhí)行直線飛行、旋轉(zhuǎn)等機(jī)動(dòng)動(dòng)作，靈活、穩(wěn)定地仿射變換為具有對(duì)抗、保護(hù)、圍攻、避障性能的其他隊(duì)形，從而只采用一個(gè)基礎(chǔ)編隊(duì)構(gòu)型便能具有多種隊(duì)形對(duì)抗效能，適用于復(fù)雜任務(wù)作戰(zhàn)情景，為MAS編隊(duì)作戰(zhàn)提供了參考。

但是本文沒有考慮智能體之間、智能體與環(huán)境之間的避碰，未來可考慮進(jìn)一步融合擬態(tài)物理學(xué)（artificial phy-sics， AP）算法，使得MAS時(shí)變編隊(duì)在更為復(fù)雜的空間對(duì)抗環(huán)境內(nèi)進(jìn)一步提升系統(tǒng)的環(huán)境自適應(yīng)性與穩(wěn)定性。

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作者簡介

張 杰（1997—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱骷褐悄芤?guī)劃與協(xié)同控制。

劉開蓉（1978—），女，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱餮b備研制（機(jī)電一體化）、航天物資采購供應(yīng)鏈。

陳金寶（1980—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楹教炱餮b備研制（機(jī)電一體化）、航天器結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、航天器著陸緩沖裝置設(shè)計(jì)。

張迎雪（1995—），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星集群控制。

陳傳志（1986—），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)楹教炱鹘Y(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、空間弱撞擊對(duì)接。

余虹志（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檐壍绖?dòng)力學(xué)、衛(wèi)星集群相對(duì)運(yùn)動(dòng)、多智能體控制、人工勢場法。

張?jiān)茋[（1997—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱骶庩?duì)協(xié)同控制。