航天器入軌狀態(tài)與偏差傳播分析

摘要： 本文研究了航天器入軌狀態(tài)和入軌偏差傳播問題。推導(dǎo)了火箭熄火時的入軌速度平方比率及速度仰角與主要軌道參數(shù)之間的關(guān)系，從而分析航天器的入軌狀態(tài)。建立了航天器轉(zhuǎn)移軌道的偏差傳播矩陣，得到入軌偏差對轉(zhuǎn)移軌道的影響。將本文的偏差傳播分析方法與傳統(tǒng)軌道誤差分析方法進行對比以驗證本文方法的正確性。最后，通過仿真算例分析了航天器入軌狀態(tài)和入軌偏差對轉(zhuǎn)移軌道的影響。

關(guān)鍵詞： 軌道參數(shù); 入軌狀態(tài); 入軌偏差; 偏差傳播矩陣

中圖分類號： V 448.2

文獻標志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.30

Analysis of orbital injection state and deviation propagation of spacecraft

PENG Qibo¹， LIU Jianghui ^{1，2，3，*}， ZHANG Hailian²， ZHOU Jianping²

（1. China Astronaut Research and Training Center， Beijing 100094， China; 2. China Manned Space Agency， Beijing 100071， China; 3. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100083， China）

Abstract： The problem of orbital injection state and deviation propagation of spacecraft is studied in this paper. This relationship between the velocity square ratio of orbital injection and the velocity elevation angle and the main orbital parameters when the rocket extinguishes is derived to analyze the orbital injection state of the spacecraft. The deviation propagation matrix of the spacecraft’s transfer orbit is established， and the influence of the orbit inject deviation on the transfer orbit is obtained. The deviation propagation analysis method in this paper is compared with the traditional orbital error analysis method to verify the correctness of the proposed method. Finally， the influence of spacecraft’s orbital injection state and orbit inject deviation on the transfer orbit is analyzed through simulation example.

Keywords： orbital parameters; orbital injection state; orbit inject deviation; deviation propagation matrix

0 引 言

航天器發(fā)射入軌或從停泊軌道進行軌道轉(zhuǎn)移時，由于火箭故障或制導(dǎo)律重構(gòu)直接影響航天器的入軌狀態(tài)，產(chǎn)生入軌偏差。入軌狀態(tài)和入軌偏差作為發(fā)射指標，是判斷航天任務(wù)成功的重要標志^［1-5］。

針對航天器入軌狀態(tài)問題，相關(guān)研究主要集中在如何提高運載火箭自身的制導(dǎo)能力，以提高入軌精度^［6-9］。文獻［10］分析了運載火箭平臺慣導(dǎo)系統(tǒng)桿臂效應(yīng)對航天器入軌精度的影響。文獻［11］研究了液體運載火箭末子級并聯(lián)貯箱推進劑輸送不均衡對衛(wèi)星入軌精度的影響，發(fā)現(xiàn)質(zhì)心橫移產(chǎn)生的力矩會使軌道傾角產(chǎn)生偏差。文獻［12］基于蒙特卡羅方法對火箭入軌精度進行了分析，針對運載火箭制導(dǎo)偏差問題進行了有益的探討。文獻［13］針對重復(fù)地面軌道的入軌偏差問題，將軌道設(shè)計轉(zhuǎn)化為多目標優(yōu)化方法以提高入軌精度，并通過多目標遺傳算法進行求解。文獻［14］提出一種基于多階段自適應(yīng)采樣策略的改進序列逼近優(yōu)化算法以提高火箭的入軌精度。文獻［15］開發(fā)了一種適用于立方體衛(wèi)星在軌實施的軌道確定算法以提高入軌精度。文獻［16］采用鄰域最優(yōu)控制方法提高衛(wèi)星的入軌精度。文獻［17］引入可變時域鄰近最優(yōu)制導(dǎo)方法以提高載人月球探測任務(wù)的入軌精度。文獻［18］提出一種基于Radau偽譜法的優(yōu)化算法以消除火箭單臺發(fā)動機故障對入軌精度的影響。

航天器入軌偏差方面的研究主要集中在軌道偏差傳播的規(guī)律以及如何通過后期中途修正以消除初始偏差引起的軌道偏差。文獻［19］分析了火箭入軌偏差對航天器軌道的影響。文獻［20］分析了LAGEOS III衛(wèi)星的入軌偏差，將完整的位勢協(xié)方差矩陣應(yīng)用到偏差傳播方程中。文獻［21］提出基于標稱軌道數(shù)據(jù)的偏差傳播機理分析方法，利用偏差傳播矩陣進行協(xié)方差分析和中途脈沖修正。文獻［22］研究了可自由返回探月航天器的地月轉(zhuǎn)移軌道和月地返回軌道問題，通過軌道偏差傳播矩陣計算出第一次軌道中途修正量，并給出了地月轉(zhuǎn)移軌道偏差傳播特點。文獻［23］采用蒙特卡羅法和統(tǒng)計理論定量分析了月地返回軌道入軌狀態(tài)偏差、入軌時刻偏差、轉(zhuǎn)移段定軌偏差、入軌控制偏差、中途修正控制偏差等各種偏差對軌道終端參數(shù)的影響。文獻［24］介紹了軌道力學(xué)中偏差不確定性傳播問題的研究進展，總結(jié)了已有線性和非線性方法在軌道動力學(xué)中的應(yīng)用，討論了軌道偏差不確定性傳播方法的優(yōu)缺點。文獻［25］建立了遠程導(dǎo)引段軌道平面偏差與入軌點軌道參數(shù)偏差之間的映射關(guān)系，基于軌道傾角偏差和升交點赤經(jīng)偏差推導(dǎo)了修正起飛方位角和起飛時刻。

文獻［26］分析并測試了一種旨在補償軌道擾動以及中低空地球軌道衛(wèi)星入軌偏差的非線性軌道控制技術(shù)。文獻［27］提出一種包含多項式擬合公式的參數(shù)化模型以減小大偏心率橢圓軌道外推偏差。文獻［28］基于紀元偏差速度估計模型提出一種可以實時監(jiān)測衛(wèi)星軌道偏差動態(tài)變化的方法。文獻［29］研究了德雷珀半分析衛(wèi)星理論在軌道演化和軌道確定中的應(yīng)用。文獻［30］通過挖掘和轉(zhuǎn)換軌道偏差模式以降低軌道預(yù)測偏差。文獻［31］提出一種基于現(xiàn)成全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（global navigation satellite system， GNSS）接收器的空間修正方法以減小軌道確定偏差。文獻［32］研究了電離層偏差對軌道精度的影響。針對微推力在軌偏差估計問題，文獻［33］提出一種基于高精度軌道確定的微推力實時在軌估計方法。文獻［34］對嫦娥五號任務(wù)關(guān)鍵節(jié)點的軌道確定預(yù)測精度進行了評價。文獻［35］提出一種由動態(tài)模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型組成的混合模型以提高軌道預(yù)測的精度。

已有的航天器入軌狀態(tài)方面研究大多偏重于如何提高火箭制導(dǎo)能力以提高入軌精度，針對入軌參數(shù)與入軌狀態(tài)之間關(guān)系的研究較少。入軌偏差方面的問題大多也側(cè)重于研究軌道偏差傳播矩陣，轉(zhuǎn)移軌道入軌參數(shù)偏差對轉(zhuǎn)移軌道偏差傳播方面的研究較少。本文從入軌狀態(tài)和轉(zhuǎn)移軌道入軌偏差分析入手，研究入軌參數(shù)與入軌狀態(tài)之間關(guān)系和入軌參數(shù)偏差對轉(zhuǎn)移軌道偏差的影響。從軌道分析方面為提高火箭入軌精度或軌道捕獲提供有益的參考。本文所推導(dǎo)的方法同樣可應(yīng)用于航天器的軌道維持或軌道機動任務(wù)。

1 入軌狀態(tài)分析

地心軌道坐標系O_EX_OY_OZ_O：定義航天器地心軌道坐標系O_EX_OY_OZ_O的坐標中心為地心O_E，如圖1所示，O_EX_O的方向為地心與升交點連線的方向，O_EZ_O的方向為航天器軌道面的法向，O_EY_O的方向由右手定則確定。

地心慣性坐標系O_EXYZ：定義地心慣性坐標系O_EXYZ的坐標中心為地心O_E，歷元平赤道面為基準平面，O_EZ的方向為基準平面法向， O_EX的方向由O_E指向平春分點，O_EY的方向由右手定則確定。

當?shù)靥鞏|北坐標系Sx_sy_sz_s：定義當?shù)靥鞏|北坐標系Sx_sy_sz_s的坐標中心為航天器的質(zhì)心S，Sx_s的方向與地心O_E指向航天器的質(zhì)心S的方向重合，Sy_s的方向垂直于當?shù)刈游缑娌⒅赶蛘龞|，Sz_s的方向由右手定則確定。

在地心軌道坐標系O_EX_OY_OZ_O中，火箭熄火時航天器只受地心引力的影響，動力學(xué)方程的表達式為

式中：μ為地心引力常數(shù);r=x²+y²+z²為航天器質(zhì)心到地心的距離?？紤]到O_EX_O與O_EY_O都在航天器軌道面內(nèi)，O_EZ_O垂直軌道面，航天器實際在軌道面內(nèi)運動。因此，可以使用二維極坐標形式描述航天器的運動方程，令

式中：θ為航天器在軌道面內(nèi)的相位角。當以近心點為起始位置時，θ為真近點角，其表達式為

θ=?－ω（3）

式中：?為緯度幅角;ω為近心點角距。將式（2）代入式（1）可得

對式（4）的子式二積分，式（4）可變?yōu)?/p>

式中：h為航天器的動量矩;h為常量。設(shè)ξ=1/r，以θ為變量，由式（5）子式一可得

d²dθ²ξ+ξ=μh²（6）

求解式（6）可得

ξ=μ（1+ecos θ）h²（7）

由式（3）和式（7）可得

r=h²/μ1+ecos（?－ω）（8）

航天器軌道運動的活力公式（能量積分）為

v²=2μr－μa（9）

由式（9）可得到航天器在近心點時的速度v_p為

v_p=2μa（1－e）－μa=μa（1+e）（1－e）（10）

式中：e為偏心率。在近心點位置，航天器的動量矩h_p的表達式為

h_p=r_p·v_p=a（1－e）μa·（1+e）（1－e）=μa（1－e²）（11）

航天器無外力矩作用時，動量矩守恒，因此

h=rvcos γ=μa（1－e²）（12）

式中：γ為航天器速度矢量與平面Sy_sz_s的夾角，稱速度仰角（速度傾角）。將式（12）代入式（8）可得

r=a（1－e²）1+ecos（?－ω）（13）

將式（11）代入式（5）子式二可得

r²θ·=μa（1－e²）（14）

由式（9）可得

v²=2μr－μa=r·²+r²θ·²（15）

聯(lián)立式（14）和式（15），消去θ，可得

r·²=μar²［a²e²－（a－r）²］（16）

偏近點角E和橢圓軌道徑向距離r存在如下關(guān)系：

航天器的平均角速度為n=μ/a³，聯(lián)立式（16）和式（17）可得

ndt=（1－ecos E）dE（19）

對式（19）積分并將n=μ/a³代入可得

t－t_p=a³μ（E－esin E）（20）

式中：t_p為航天器經(jīng)過近心點位置的時刻。假設(shè)航天器在徑向距離為r的圓軌道上的速度為v_c，由式（9）可知，其表達式為

v_c=μr（21）

為了把軌道根數(shù)描述成入軌參數(shù)的顯函數(shù)，令

p=v²v²_c（22）

聯(lián)立式（9）、式（21）和式（22）可得

a=r2－p（23）

聯(lián)立式（12）、式（21）～式（23），消去a，可得

e=1－p（2－p）cos²γ（24）

聯(lián)立式（13）、式（23）和式（24）可得近地距r_p和遠地距r_a，其表達式分別為

r_p=r2－p［1－1－p（2－p）cos²γ］（25）

r_a=r2－p［1+1－p（2－p）cos²γ］（26）

聯(lián)立式（13）和式（23）可得

ecos θ=pcos²γ－1（27）

esin θ=psin γcos γ（28）

聯(lián)立式（24）和式（27）可得近點角θ，其表達式為

式（23）～式（26）和式（29）描述了火箭熄火時航天器入軌速度平方比率及速度仰角與主要軌道參數(shù)之間的關(guān)系，即航天器的入軌狀態(tài)。

2 入軌偏差影響

為了便于分析入軌偏差對轉(zhuǎn)移軌道的影響，只考慮地球引力，忽略其他引力的作用，假設(shè)火箭入軌時刻航天器速度矢量在平面Sy_sz_s的投影與Sz_s的夾角為β（方位角），赤經(jīng)為λ，赤緯為δ，如圖1所示。根據(jù)球面三角余弦定理可知，軌道傾角i和方位角β、赤緯δ存在如下關(guān)系：

cos i=sin βcos δ（30）

由式（30）可得

i=arccos（sin βcos δ）（31）

航天器升交點經(jīng)度Ω的表達式為

Ω=S₀+λ+arcsin（tan δcot i）（32）

式中：S₀為零時世界時的恒星時。

航天器在進行軌道轉(zhuǎn)移過程中，在某時刻其實際出發(fā)位置與標稱時刻出發(fā)位置存在偏差。假設(shè)某時刻航天器的實際出發(fā)位置為S，標稱時刻出發(fā)位置為S-，如圖2所示。Z為天極位置，d為地心O_E到標稱位置S-的連線O_ES-與地心O_E到實際位置S的連線O_ES的夾角∠S-O_ES。

對式（31）和式（32）兩邊一階微分可得

對于球面三角形SZS-，根據(jù)余弦定理可得

cos［90°－（δ+dδ）］=cos（90°－δ）cos（d）+

sin（90°－δ）sin（d）cos（90°+β）（35）

將式（35）按泰勒級數(shù)展開，消去二階小量可得

dδ=－sin β·d（36）

將式（36）代入式（33）可得

di=－sin δsin²β·dsin i－cos δcos β·dβsin i（37）

球面三角形中存在如下關(guān)系式：

sin（dλ）sin（d）=sin（90°+β）sin（90°－δ－dδ）（38）

在小角度dλ、d和dδ情況下，由式（38）可得

dλ=cos β·dcos δ（39）

將式（36）、式（37）和（39）代入式（34）可得

由式（37）和式（40）可知，軌道面的偏差di和dΩ通過航天器速度方位角β、赤經(jīng)δ、軌道傾角i、d和dβ決定。

軌道面內(nèi)的偏差由半長軸a、偏心率e、近心點角距ω和經(jīng)過近心點時刻決定。對式（9）求一階微分可得

2vdv=－2μr²dr+μa²da（41）

聯(lián)立式（13）和式（41）可得

daa=2（1+ecos θ）1－e²·drr+2（1+2ecos θ+e²）1－e²·dvv（42）

需要說明的是，為了直觀展示da與dr和dv之間的關(guān)系，本文在推導(dǎo)過程中以da/a、dr/r和dv/v的方式進行呈現(xiàn)。

對式（12）求一階微分可得

rcos γdv+vcos γdr－rvsin γ·dγ=μ（1－e²）da－2μaede2μa（1－e²）=

μ（1－e²）da－2μaede2rvcos γ（43）

整理式（43）可得

對式（13）求一階微分可得

（1+ecos（?－ω））·dr+rcos（?－ω）·de－resin（?－ω）·

（d?－dω）=（1－e²）·da－2ae·de（45）

整理式（45）可得

dω=sin θe·drr+2sin θe·dvv+2e+（1+e²）cos θe（1+ecos θ）·dγ+d?（46）

對式（17）求一階微分可得

dr=da·（1－ecos E）+a（－de·cos E+esinE·dE）（47）

對式（20）求一階微分可得

聯(lián)立式（20）、式（44）、式（47）和式（48）可得

根據(jù)式（37）、式（40）、式（42）、式（44）、式（46）和式（49）可知，在初始小偏差情況下，橢圓軌道的偏差傳遞關(guān)系滿足如下表達式：

D=M·N（50）

式中：

偏差傳播矩陣M中的各系數(shù)為

偏差傳播矩陣M的其余部分均為0。

由式（50）可知，調(diào)整向量N中的各值即可得到滿足任務(wù)需要的結(jié)果D。本文所推導(dǎo)的偏差傳播分析結(jié)果可應(yīng)用于航天器的軌道維持或軌道機動任務(wù)，也可用于分析航天器的入軌精度和軌道捕獲。

3 對比分析

為了驗證本文所推導(dǎo)的軌道偏差傳播方法的正確性，有必要與航天器傳統(tǒng)軌道保持或軌道機動的誤差分析方法進行對比。根據(jù)高斯型攝動運動方程^［36］可知

式中：F_r，F(xiàn)_t，F(xiàn)_n分別表示航天器沿軌道徑向、切向和軌道面法向施加的作用力;P_a為軌道半通徑。在近地軌道中，偏心率e為極小量，存在如下近似關(guān)系式：

忽略e的二階項，由式（51）可得

假設(shè)航天器做軌道維持時的有限推力F_r、F_t和F_n經(jīng)過航天器的質(zhì)心，推力工作時間為Δt，航天器各個推力方向的速度增量分別為Δv_r、Δv_t和Δv_n，存在如下關(guān)系式：

由式（53）～式（55）可得到航天器做機動后的軌道變化，其表達式分別為

其中，式（56）代表航天器軌道平面內(nèi)的變化，式（57）代表航天器軌道面的變化。為了方便對比，以航天器在近地軌道做軌道保持或軌道機動時軌道面內(nèi)的變化情況為例進行分析。航天器只沿軌道切線方向施加有限推力F_t，F(xiàn)_r=0和F_n=0。此時dr=0，dγ=0，d?=0。由式（56）可得

忽略e的二階項，由式（42）、式（44）和式（46）可得

將式（58）和式（59）進行對比可知，Δω=dω。當e為極小的量時，可認為Δa=da，Δe=de。上述對比結(jié)果驗證了本文偏差傳播分析方法的正確性。與傳統(tǒng)的軌道保持或軌道機動的誤差分析方法相比，本文方法推導(dǎo)的結(jié)果精度更高，適用范圍更廣。

4 仿真算例

以航天器進入某條標準近地停泊圓軌道為例分析其入軌狀態(tài)，該圓軌道半徑為R=6 548 km。由式（23）～式（26）和式（29）可得到如圖3～圖7所示的半長軸a、偏心率e、近地點距離r_p、遠地點距離r_a、真近點角θ與入軌速度仰角γ和速度平方比率p之間的關(guān)系。需要說明的是，為了直觀展示a、r_p、r_a與參數(shù)γ、p之間的關(guān)系，本文以進入標稱圓軌道的半徑r為標量，將上述參數(shù)縮比成a/r、r_p/r、r_a/r進行處理。

由圖3可知，航天器的軌道半長軸a與速度平方比率p有關(guān)，與入軌速度仰角γ無關(guān)。當p=1時，軌道半長軸等于圓軌道的半徑，此時航天器以圓軌道方式入軌。圖4顯示軌道偏心率e受到仰角γ和速度平方比率p的影響，當p=1和γ=0°時，e=0。當p在一定范圍內(nèi)為定值時，入軌速度仰角γ的絕對值越大，偏心率e越大。由圖5和圖6可知，當γ=0°，近地點距離r_p和遠地點距離r_a均與p相關(guān)，當plt;1時，近地點距離r_p小于標稱圓軌道半徑，遠地點距離r_a等于標稱圓軌道半徑。當p≥1時，近地點距離r_p等于標稱圓軌道半徑，遠地點距離r_a大于標稱圓軌道半徑。此時，航天器在近地或遠地點入軌。由圖7可知，當p=1，仰角γgt;0時，真近點角的變化從90°開始逐漸減小。當p=1，仰角γlt;0時，真近點角從-90°開始逐漸增大。

以某條標準地月轉(zhuǎn)移軌道為例，分析航天器入軌偏差的影響，近地距為r_p=6 548 km，地月轉(zhuǎn)移軌道在近地點處的初始速度為v=10.965 km/s。該地月轉(zhuǎn)移軌道的偏心率為e=0.975 1，軌道半長軸為a=262 518.678 km。根據(jù)軌道偏差傳播矩陣M可知，緯度幅角偏差d?只是簡單的疊加到近心點角距偏差dω中。因此，本文分析不考慮緯度幅角偏差d?，只考慮轉(zhuǎn)移軌道的高度偏差dr、速度偏差dv、速度仰角偏差dγ、方位角偏差dβ和d。根據(jù)式（50）可得到圖8～圖16所示的偏差傳播關(guān)系圖。

由圖8和圖9可知，軌道傾角偏差di和升交點經(jīng)度偏差dΩ受dβ和d的共同影響。當偏差dβ=0和d=0時，di=0且dΩ=0。當偏差dβ和d一定時，升交點經(jīng)度偏差dΩ比軌道傾角偏差di大一倍。由圖10可知，速度偏差dv和高度偏差dr均為0時，半長軸偏差da也為0。在相同的速度偏差下，半長軸偏差與高度偏差成一定的線性化關(guān)系。在相同的高度偏差下，半長軸偏差與速度偏差亦成一定的線性化關(guān)系。由圖11和圖12可知，偏心率偏差de受速度仰角偏差dγ的影響極小，受速度偏差dv和高度偏差dr的共同作用且影響較明顯。

由圖13和圖14可知，近心點角距偏差dω受速度仰角偏差dγ的影響極大，當速度仰角偏差dγ一定時，dω受速度偏差dv和高度偏差dr的共同作用但影響較小。由圖15和圖16可知，航天器過進行點時刻偏差d（t－t_p）受速度仰角偏差dγ的影響極大，當速度仰角偏差dγ一定時，d（t－t_p）受速度偏差dv和高度偏差dr的共同作用但影響較小。

5 結(jié) 論

（1） 航天器的軌道半長軸只與火箭熄火時刻的速度v有關(guān)，與入軌速度仰角γ無關(guān)。遠地點距離r_a、近地點距離r_p、偏心率e和真近點角θ受入軌速度v與速度仰角γ的共同作用。當速度仰角γ=0時，航天器在近地點或遠地點入軌。

（2） 轉(zhuǎn)移軌道的軌道傾角偏差和升交點經(jīng)度偏差受dβ和d的共同影響。偏心率偏差受高度偏差和速度偏差影響較大，受仰角偏差影響較小。近心點角距偏差和過近心點時刻偏差受高度偏差、速度偏差和仰角偏差的共同影響，仰角偏差的影響尤其明顯。

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作者簡介

彭祺擘（1982—），男，研究員，博士，主要研究方向為載人登月總體任務(wù)分析與設(shè)計。

劉將輝（1987—），男，工程師，博士，主要研究方向為載人登月總體任務(wù)分析與設(shè)計。