抗間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾的發(fā)射波形與失配濾波器聯(lián)合優(yōu)化算法

摘要： 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾（interrupted sampling repeater jamming， ISRJ）與發(fā)射信號之間具有強(qiáng)相關(guān)性，若在接收端采用匹配濾波處理則會產(chǎn)生多個數(shù)量可控的高逼真假目標(biāo)，對雷達(dá)的檢測性能具有極大的干擾。針對上述問題，提出了一種抗ISRJ的發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化算法，將失配濾波體制下的信噪比（signal to noise ratio， SNR）損失、發(fā)射信號恒模約束以及濾波器能量約束考慮在內(nèi)，以最小化干擾信號歸一化脈壓后峰值、失配濾波輸出信號積分副主比以及輸出干信比，并采用主分量最小化（majorization-minimization， MM）方法與平方迭代加速算法提高算法運(yùn)行速度。仿真結(jié)果表明，與其他同類方法相比，所提算法能在保證可靠抗干擾性能的同時，極大縮短運(yùn)行時間，具有較好的實(shí)時性。

關(guān)鍵詞： 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾; 失配濾波; 主分量最小化; 平方迭代方法; 恒模約束

中圖分類號： TN 974

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.04

A joint optimization algorithm for transmitting waveform and mismatched filter against interrupted sampling repeater jamming

LIU Qian， DAI Fengzhou^*

（School of Electronic Engineering， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract： Interrupted sampling repeater jamming （ISRJ） has a strong correlation with the transmitting signal， if the matched filtering processing is still adopted at the receiving end， multiple high-fidelity 1 targets with controllable quantity will be generated， which seriously affects the detection performance of radar. To solve the above problem， a joint optimization algorithm for transmitting waveform and receiving filter against the ISRJ is proposed， which takes into account the signal to noise ratio （SNR） loss under the mismatched filtering system， the constant modulus constraint of transmitting signal and the energy constraint of filter， to minimize the normalized peak of the interference signal after pulse compression， the ratio of the energy of the integral side lobe to main lobe and the interference to signal ratio of the output of the mismatched filter， the majorization-minimization （MM） method and the square iterative acceleration algorithm are adopted to accelerate the running speed of the proposed algorithm. The simulation results show that compared with other similar methods， the proposed algorithm can greatly shorten the running time and has better real-time performance on the basis of ensuring reliable anti-interference performance.

Keywords： interrupted sampling repeater jamming （ISRJ）; mismatched filter; majorization-minimization （MM）; squared iterative method; constant modulus constraint

0 引 言

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾（interrupted sampling repeater jamming， ISRJ）是一種基于數(shù)字射頻存儲技術(shù)的相干干擾^［1-5］，通過對雷達(dá)發(fā)射信號進(jìn)行間斷性采樣并轉(zhuǎn)發(fā)，可以在接收端產(chǎn)生多個假目標(biāo)^［6-8］，對雷達(dá)檢測、跟蹤以及目標(biāo)識別具有極大的欺騙性。因此，抗ISRJ技術(shù)已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

當(dāng)前抗ISRJ的方法主要可分為兩大類，分別為在接收端通過信號處理濾除干擾的方法以及通過波形設(shè)計(jì)的抗干擾方法。對于第一類方法，文獻(xiàn)［1］指出ISRJ信號的時頻特性在脈沖持續(xù)時間內(nèi)是不連續(xù)的，并利用了ISRJ信號與目標(biāo)回波的這一時頻差異性，在接收端針對ISRJ信號構(gòu)造了多個帶通濾波器，以實(shí)現(xiàn)對ISRJ信號的抑制。文獻(xiàn)［9］基于雙向堆疊門控遞歸單元（stacked bidirectional gated recurrent unit， SBiGRU）網(wǎng)絡(luò)提出了抗ISRJ的方法：將信號提取轉(zhuǎn)化為時間分類問題，生成帶通濾波器，在抑制ISRJ信號的同時可保留真實(shí)目標(biāo)信號分量，從而保證可靠的抗干擾性能。然而，以上方案均為被動抗干擾策略，未考慮發(fā)射波形的優(yōu)化問題，使得算法可設(shè)計(jì)的自由度較低，且上述算法僅適用于信干比高的場景，而在信干比較低，甚至是信號被干擾信號淹沒的工作場景下則無法發(fā)揮理想的抗干擾效果。

對于第二類抗ISRJ的方法，不同的發(fā)射信號波形無疑具有不同的抗干擾能力^［10-18］。當(dāng)前，為保障可靠的探測及抗干擾性能，在工程應(yīng)用中雷達(dá)廣泛采用脈內(nèi)調(diào)制信號，其主要分為脈內(nèi)調(diào)頻與脈內(nèi)調(diào)相兩種形式。較為典型的抗干擾信號波形即為宙斯盾系統(tǒng)^［10］中雷達(dá)發(fā)射的脈內(nèi)多載頻信號，其脈沖內(nèi)包含多個子脈沖，各子脈沖內(nèi)部進(jìn)行了相位編碼處理，且子脈沖之間伴有隨機(jī)的頻率編碼。研究表明，脈內(nèi)多載頻相位編碼信號具有比傳統(tǒng)的單載頻相位編碼信號更為可靠的抗干擾性能^［10］。張彥等^［12］則對雙曲調(diào)頻（hyperbolic frequency modulated， HFM）波形的抗ISRJ性能進(jìn)行了分析，并指出了HFM波形相較于線性調(diào)頻信號具有更好的抗干擾性能。文獻(xiàn)［14］提出了一種用于抗ISRJ的自適應(yīng)相位編碼信號設(shè)計(jì)方案，利用遺傳算法優(yōu)化得出與干擾信號正交的發(fā)射信號，進(jìn)而可通過脈沖壓縮對ISRJ信號進(jìn)行有效抑制。文獻(xiàn)［15］同樣以設(shè)計(jì)相正交的工作波形與保護(hù)波形的思路來抑制ISRJ。但上述方法都僅僅對發(fā)射波形進(jìn)行優(yōu)化，而未考慮接收濾波器，算法可設(shè)計(jì)的自由度較低，為獲得更為可靠的抗干擾性能可對發(fā)射波形與接收濾波器進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化處理。因此，文獻(xiàn)［16］基于平方迭代加速方法，提出了一種發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)的快速算法，在目標(biāo)與干擾機(jī)距離不可分時仍能保證可靠的抗干擾性能，但該算法對于間歇采樣重復(fù)周期的敏感度較高，因此對干擾信號采樣重復(fù)周期的估計(jì)精度提出了較高的要求。文獻(xiàn)［17］則以最小化失配濾波器輸出的旁瓣積分能量以及干擾積分能量為目標(biāo)，提出了一種迭代算法，并分別使用了拉格朗日乘子法以及交替方向乘子法對發(fā)射波形和接收濾波器進(jìn)行優(yōu)化，可在抑制ISRJ信號的同時保持良好的脈沖壓縮性能，但該算法計(jì)算復(fù)雜度較高，算法收斂速度慢。

針對上述問題，本文提出了一種抗ISRJ的發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)算法。其基本思路是，以干擾信號歸一化脈壓峰值、失配濾波器輸出的積分副主比以及干信比最小為目標(biāo)，同時考慮信號的恒模約束以及接收濾波器的能量約束等因素，并將失配濾波體制下的信噪比損失考慮在內(nèi)，構(gòu)造雷達(dá)發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。并在此基礎(chǔ)上，利用主分量最小化（majorization-minimization， MM）原理分別推導(dǎo)出了發(fā)射波形和失配濾波器在各次交替優(yōu)化迭代過程中的解析表達(dá)式，加快了算法運(yùn)行速度。同時，本文使用平方迭代加速方法，進(jìn)一步加快了算法運(yùn)行速度。最后，仿真結(jié)果表明，本文算法能夠以較小的信噪比損失（signal to noise ratio loss， SNRL）為代價換取可靠的抗干擾性能，且能夠有效地縮短算法運(yùn)行時間。

1 發(fā)射波形與失配濾波器聯(lián)合優(yōu)化問題建模

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射信號x是恒模相位編碼信號，其長度N可表示為

x=［x₁，x₂，…，x_N］^T（1）

式中：x_n=e^jφ_n，n=1，2，…，N，且其相位滿足φ_n∈［0，2π］;（·）^T為取轉(zhuǎn)置運(yùn)算。與之相應(yīng)的接收濾波器長度也為N，可表示為h=［h₁，h₂，…，h_N］^T。進(jìn)一步可定義發(fā)射序列矩陣X與接收濾波器矩陣^［16］H：

式中：（·）^H表示取共軛轉(zhuǎn)置操作。信號經(jīng)失配濾波脈壓后的積分旁瓣能量可表示為h^HX^HWXh或x^HH^HWHx，主瓣能量則為h^HX^HXh－h(huán)^HX^HWXh=|h^Hx|²=h^Hxx^Hh，其中W為（2N－1）×（2N－1）的方陣，該矩陣中除第N個對角元素與所有非對角元素為0外，其余元素的為1。定義向量p=［p₁，p₂，…，p_N］^T為用于間歇采樣的離散序列，則ISRJ可表示為x_jam=x⊙p，其中⊙表示哈達(dá)瑪積。那么可進(jìn)一步定義ISRJ信號矩陣X_jam與相應(yīng)的失配濾波器矩陣^［16］H_jam：

失配濾波器輸出的干擾信號積分能量可表示為h^HX^H_jam·X_jamh或x^HH^H_jamH_jamx，期望失配濾波后的積分副主能量比以及干信比足夠小，以獲得可靠的目標(biāo)檢測性能，則可考慮如下約束函數(shù)：

g₁（x，h）=h^HX^HWXh+h^HX^H_jamX_jamh|h^Hx|²（6）

ISRJ是通過對發(fā)射信號進(jìn)行間歇性采樣所得，那么ISRJ信號經(jīng)過失配濾波后的脈壓峰值主要取決于零距離時延處脈壓值的大小，即干擾信號的脈壓峰值為h^Hx_jam。為獲得可靠的目標(biāo)檢測性能，則應(yīng)保證干擾信號歸一化脈壓峰值足夠低，因此可考慮如下約束函數(shù)：

g₂（x，h）=|h^Hx_jam|²|h^Hx|2（7）

此外，在發(fā)射波形與失配濾波器的聯(lián)合優(yōu)化問題中，為能夠?qū)SRJ起到有效的干擾抑制作用，會導(dǎo)致與ISRJ信號相對應(yīng)的發(fā)射信號片段經(jīng)過失配濾波器處理后只能獲得極小的信號處理增益，即與匹配濾波機(jī)制相比，會存在一定程度的SNRL，則在該聯(lián)合優(yōu)化問題中，需要將SNRL問題也考慮在內(nèi)。在失配濾波體制下，SNRL^［16］可表示為

SNRL=10lgh2x2|h^Hx|²（8）

式中：lg（·）表示取對數(shù)操作;·表示矢量的L₂范數(shù)。那么在本文的聯(lián)合優(yōu)化問題中，SNRL可直接通過以下約束函數(shù)來控制：

g₃（x，h）=h2x2|h^Hx|²（9）

式中：h=［h₁，h₂，…，h_N］^T;x=［x₁，x₂，…，x_N］^T。此外，假設(shè)接收濾波器滿足能量限制：h^Hh=N，且發(fā)射信號滿足恒模約束：|x_n|=1， n=1，2，…，N。

綜上所述，發(fā)射序列和接收濾波器的聯(lián)合優(yōu)化問題可以表示為多目標(biāo)優(yōu)化問題：

minx，h α₁g₁（x，h）+α₂g₂（x，h）+α₃g₃（x，h）s.t. h^Hh=N

|x_n|=1， n=1，2，…，N（10）

式中：α₁、α₂、α₃均為可調(diào)節(jié)權(quán)重因子，可以通過增大某權(quán)重因子來增加其所對應(yīng)的約束函數(shù)在損失函數(shù)中所占的比重，從而獲得該方面性能較好的優(yōu)化結(jié)果。需要指出的是上述優(yōu)化問題無法使算法的抗干擾性能與信號處理增益性能同時達(dá)到最優(yōu)。為能夠?qū)SRJ起到有效的干擾抑制作用，會導(dǎo)致與ISRJ信號相對應(yīng)的信號片段經(jīng)過失配濾波器處理后只能獲得極小的信號處理增益，即存在一定的SNRL，而所允許的SNRL越小，優(yōu)化結(jié)果的抗干擾性能就會越差;相反，要想獲得較好的抗干擾性能，就必須犧牲一定的信號處理增益;那么，就需要在抗干擾性能與信號處理增益之間進(jìn)行折中。

2 基于MM方法的模型求解

觀察式（10）所表示的優(yōu)化問題，可知同時對發(fā)射信號和接收濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分困難的，因此本文采用交替迭代的方式分別對發(fā)射波形和接收濾波器進(jìn)行優(yōu)化，具體的優(yōu)化過程可以分為兩步：首先固定發(fā)射波形x^（l），優(yōu)化失配濾波器h;然后再將優(yōu)化得到的失配濾波器h^（l+1）固定，優(yōu)化發(fā)射波形x，重復(fù)進(jìn)行上述交替迭代過程直至算法收斂。那么，本文所提出的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可表述為以下兩大步：

h^（l+1）=arg min g（x^（l），h）（11）

x^（l+1）=arg min g（x，h^（l+1））（12）

式中：x^（l）為第l次迭代所得的發(fā)射波形;h^（l+1）和x^（l+1）分別表示第l+1次迭代后所得到的接收濾波器和發(fā)射波形。

2.1 非匹配濾波器的優(yōu)化問題

固定第l次迭代所得到的發(fā)射波形x^（l），優(yōu)化失配濾波器h，此時優(yōu)化問題式（10）可具體表示為

minhα₁h^H（X^（l））^HWX^（l）h+h^H（X^（l）_jam）^HX^（l）_jamh|h^Hx^（l）|²+α₂|h^Hx^（l）_jam|²|h^Hx^（l）|²+α₃h2x^（l）2|h^Hx^（l）|²

s.t. h^Hh=N（13）

式中：x^（l）為第l次迭代時所得到的發(fā)射波形，X^（l）為第l次迭代所得到的發(fā)射序列矩陣，x^（l）_jam為與x^（l）相對應(yīng)的間歇采樣干擾信號。而當(dāng)前的雷達(dá)發(fā)射信號x^（l）已知且其滿足恒模約束，那么優(yōu)化問題式（13）可以寫為

minhα₁h^H（X^（l））^HWX^（l）h+h^H（X^（l）_jam）^HX^（l）_jamhh^Hx^（l）（x^（l））^Hh+α₂h^Hx^（l）_jam（x^（l）_jam）^Hhh^Hx^（l）（x^（l））^Hh+α₃Nh^Hhh^Hx^（l）（x^（l））^Hh

s.t. h^Hh=N（14）

為方便分析，定義兩個新函數(shù)：

g（x^（l），h）=c（x^（l），h）d（x^（l），h）（15）

e（x^（l），h）=c（x^（l），h）－g（x^（l），h^（l））d（x^（l），h）（16）

式中：

c（x^（l），h）=h^H（α₁（（X^（l））^HWX^（l）+（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam）+

α₂x^（l）_jam（x^（l）_jam）^H+α₃NI_N）h

d（x^（l），h）=h^Hx^（l）（x^（l））^Hh

R^（l）₁=α₁（（X^（l））^HWX^（l）+（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam）+α₂x^（l）_jam（x^（l）_jam）^H+α₃NI_N

R^（l）₂=g（x^（l），h^（l））x^（l）（x^（l））^H

根據(jù)式（16）對函數(shù)e（x^（l），h）的定義知，當(dāng)h=h^（l）時有：

e（x^（l），h^（l））=c（x^（l），h^（l））－g（x^（l），h^（l））d（x^（l），h^（l））=0

那么若第l+1次迭代所得到的接收濾波器h^（l+1）能夠使函數(shù)e（x^（l），h）值減小，則有：

e（x^（l），h^（l+1））=c（x^（l），h^（l+1））－g（x^（l），h^（l））d（x^（l），h^（l+1））lt;

e（x^（l），h^（l））=0（17）

而其中d（x^（l），h^（l+1））是x^（l）作為發(fā)射信號、h^（l+1）作為接收濾波器時發(fā)射信號經(jīng)失配濾波器處理后的主瓣能量，其值始終大于0，則整理式（17）可得：

c（x^（l），h^（l+1））d（x^（l），h^（l+1））=g（x^（l），h^（l+1））lt;g（x^（l），h^（l））

即若e（x^（l），h^（l+1））lt;e（x^（l），h^（l））則一定滿足g（x^（l），h^（l+1））lt;g（x^（l），h^（l）），反之也成立。那么優(yōu)化問題式（14）可以轉(zhuǎn)化為

minh h^HR^（l）₁h－h(huán)^HR^（l）₂h

s.t. h^Hh=N（18）

需要指出的是優(yōu)化問題式（18）的最優(yōu)解h^*不一定是原優(yōu)化問題式（14）的最優(yōu)解，但一定可以保證在本次迭代中使原優(yōu)化問題式（14）中的目標(biāo)函數(shù)值減小，令R^（l）=R^（l）₁－R^（l）₂。為保證R^（l）正定，可使用對角加載方法令R～^（l）=R^（l）+λI_N，其中λ=max{0，－λ_min（R^（l））}。顯然R～^（l）為半正定矩陣，則根據(jù)文獻(xiàn)［19-20］中的引理1可知，可使用MM原理對優(yōu)化問題進(jìn)行簡化，利用MM法求解非凸優(yōu)化問題的收斂性^［21-22］，已有大量文獻(xiàn)進(jìn)行了分析。利用MM原理簡化并略去無關(guān)項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)后，最終可將優(yōu)化問題式（14）轉(zhuǎn)化為

minh 2Re（h（R～^（l）－tr（R～^（l））I_N）h^（l））

s.t. h^Hh=N（19）

式中：Re（·）表示取實(shí)部運(yùn)算;tr（·）表示取矩陣的跡;I_N為單位陣，其階次與接收濾波器長度一致，也為N。

求解優(yōu)化問題式（19）可得，當(dāng)前條件下最優(yōu)接收濾波器的解析表達(dá)式為

h^（l+1）=－Nw^（l）2w^（l）（20）

式中：N為接收濾波器的長度，且有：

w^（l）=（R～^（l）－tr（R～^（l））I_N）h^（l）（21）

2.2 發(fā)射波形的優(yōu)化問題

固定第（l+1）次迭代所得的接收濾波器h^（l+1），優(yōu)化發(fā)射波形x，則優(yōu)化問題式（10）可具體表述為

minx α₁x^H（H^（l+1））^HWH^（l+1）x+x^H（H^（l+1）_jam）^HH^（l+1）_jamx|x^Hh^（l+1）|²+α₂|x^Hh^（l+1）_jam|²|x^Hh^（l+1）|²+α₃h^（l+1）2x2|x^Hh^（l+1）|²

s.t. |x（n）|=1， n=1，2，…，N（22）

同樣地，利用接收濾波器的能量約束條件并使用MM原理^［23-26］對優(yōu)化問題式（22）進(jìn)行簡化可得：

式中：

求解優(yōu)化問題式（23），當(dāng)前條件下最優(yōu)發(fā)射信號可表示為

x^（l+1）=－e^{j·arg（v（l+1）}）（25）

式中：arg（·）表示取相位操作，且有：

v^（l+1）=（T～^（l+1）－tr（T～^（l+1））I_N）x^（l）（26）

3 算法加速

3.1 平方迭代算法加速優(yōu)化問題求解

在上述推導(dǎo)中使用了MM原理提高了算法的運(yùn)行速度，在本節(jié)中將利用平方迭代加速算法^［27-28］來對聯(lián)合優(yōu)化問題進(jìn)一步加速。為方便表示，分別定義第l次迭代過程中求解失配濾波器與發(fā)射波形的函數(shù)為

F_h（x^（l），h^（l））=－Nw^（l）2w^（l）（27）

F_x（x^（l），h^（l+1））=－e^{j·arg（v（l+1）}）（28）

式中：w^（l）與v^（l+1）的定義分別見式（21）、式（26）。

使用MM原理對第2節(jié)中所構(gòu)造的優(yōu)化模型進(jìn)行求解的算法流程如算法1所示，但使用MM原理進(jìn)行優(yōu)化時算法的收斂速度與所定義的優(yōu)化函數(shù)性質(zhì)密切相關(guān)^［29］，為進(jìn)一步提高算法的收斂速度，可用平方迭代加速方法來加速聯(lián)合優(yōu)化算法的收斂速度。根據(jù)上述分析，本文所提出的發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合優(yōu)化抗ISRJ信號算法如算法2所示。

3.2 算法復(fù)雜度分析

結(jié)合分析式（20）、式（21）以及式（25）、式（26）可知，迭代更新發(fā)射波形x和接收濾波器h的計(jì)算復(fù)雜度主要是由矩陣R～^（l）和T～^（l+1）的計(jì)算更新引入的：而根據(jù)式（17）與式（24）可知要更新上述兩個矩陣會涉及矩陣之間的乘法運(yùn)算，其計(jì)算復(fù)雜度為O（N³）;為減小算法計(jì)算復(fù)雜度，本文中直接計(jì)算R～^（l）h^（l）與T～^（l+1）x^（l），對發(fā)射波形x和接收濾波器h進(jìn)行更新，從而避免了由于直接進(jìn)行矩陣R～^（l）和T～^（l+1）更新引入的矩陣與矩陣之間的乘法運(yùn)算，此時其計(jì)算復(fù)雜度僅來自矩陣和向量之間的乘法運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度為O（N²）。此外，本文根據(jù)發(fā)射波形的恒模約束以及接收濾波器的能量約束信息推出了矩陣R～^（l）和T～^（l+1）的跡滿足的關(guān)系式并利用MM原理對矩陣跡的求解進(jìn)行了簡化，從而避免了直接計(jì)算矩陣跡需要更新矩陣R～^（l）和T～^（l+1）而引入的矩陣之間的乘法運(yùn)算，因此本文算法的計(jì)算復(fù)雜度僅為O（N²）。本文推導(dǎo)得出矩陣R～^（l）和T～^（l+1）的跡滿足以下關(guān)系式：

式中：D為間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)的占空比。

下面給出證明：

首先，利用矩陣跡^［30］的性質(zhì)：tr（A+B）=tr（A）+tr（B），可得：

tr（R～^（l））=tr（R^（l）₁）－tr（R^（l）₂）+tr（λI_N）（31）

將R^（l）₁與R^（l）₂的表達(dá)式代入式（31），并利用矩陣跡^［30］的另一定理：tr（kA）=k·tr（A）可得：

tr（R～^（l））=α₁（tr（（X^（l））^HWX^（l））+tr（（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam））+

α₂·tr（x^（l）_jam（x^（l）_jam）^H）+α₃N·tr（I_N）+λ·tr（I_N）－

g（x^（l），h^（l））tr（x^（l）（x^（l））^H）（32）

而本文中發(fā)射信號滿足恒模約束，則有：

tr（x^（l）（x^（l））^H）=N（33）

tr（x^（l）_jam（x^（l）_jam）^H）=DN（34）

此外，結(jié)合式（2）及矩陣W的定義得：

tr（（X^（l））^HWX^（l））=N（N－1）（35）

結(jié)合矩陣X_jam的定義式（4）分析可知矩陣（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam的第n個對角元素為p_n∑^N_i=1x_ix^*_i=Np_n，那么其跡可以表示為

tr（（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam）=N∑Nn=1p_n（36）

式中：p_n為用于間歇采樣的向量p=［p₁，p₂，…，p_N］^T的第n個元素，那么∑^N_n=1p_n可以用DN進(jìn)行表示，則有：

tr（（X^（l）_jam）^HX^（l）_jam）=DN²（37）

至此，可以得出矩陣R～^（l）的跡為

tr（R～^（l））=α₁N（（N－1）+DN）+α₂DN+α₃N²－

g（x^（l），h^（l））N+λN

矩陣T～^（l+1）跡的推導(dǎo)與矩陣R～^（l）的推導(dǎo)類似，相同部分不再贅述，需要指出的是接收濾波器滿足能量約束h^Hh=N，則有：

tr（h^（l+1）_jam（h^（l+1）_jam）^H）≤tr（h^（l+1）（h^（l+1））^H）=N

tr（（H^（l+1）_jam）^HH^（l+1）_jam）≤tr（（H^（l+1））^HH^（l+1））=N²

其中，當(dāng)且僅當(dāng)間歇采樣占空比D=100%時等號成立。那么，就可以得出：

tr（T～^（l+1））≤α₁N（（N－1）+N）+α₂N+α₃N²－

g（x^（l），h^（l+1））N+λN

為方便分析，定義兩個變量：

ε=α₁N（（N－1）+DN）+α₂DN+α₃N²－

g（x^（l），h^（l））N+λN（38）

γ=α₁N（（N－1）+N）+α₂N+α₃N²－

g（x^（l），h^（l+1））N+λN（39）

結(jié)合關(guān)系式（29）、式（30）以及矩陣R～^（l）和T～^（l+1）的半正定性，可知存在以下關(guān)系式：

R～^（l）pεI_N

T～^（l+1）pγI_N

那么根據(jù)MM原理可得，利用ε和γ分別替換矩陣R～^（l）和T～^（l+1）跡的準(zhǔn)確值仍可保證算法迭代過程中目標(biāo)函數(shù)是單調(diào)下降的^［16］，且可有效地避免由于直接計(jì)算矩陣R～^（l）和T～^（l+1）而引入的矩陣乘法運(yùn)算，從而減小算法的計(jì)算復(fù)雜度。

4 仿真結(jié)果分析

4.1 發(fā)射序列和失配濾波器性能仿真

本節(jié)將對本文所提聯(lián)合設(shè)計(jì)方法的性能進(jìn)行驗(yàn)證。具體仿真參數(shù)的設(shè)置如表1所示，且算法的終止條件設(shè)為相鄰兩次迭代的相對誤差小于等于10^-5，即當(dāng)

g（x^（l+1），h^（l+1））-g（x^（l），h^（l））g（x^（l），h^（l））

≤10^－5時算法終止迭代。為了量化算法的性能，定義第l次迭代時的歸一化損失函數(shù)^［29］為

g_Nor（l）=10lg

g（x^（l），h^（l））g（x^（0），h^（0））

式中：x^（0），h^（0）分別為用隨機(jī)相位編碼序列初始化的發(fā)射波形和接收濾波器初值。

圖1為歸一化損失函數(shù)在算法迭代過程中的變化曲線，從中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，歸一化損失函數(shù)值逐漸減小且最終趨于穩(wěn)定，說明本文所提的聯(lián)合優(yōu)化算法可以有效地解決式（10）所示的優(yōu)化問題。圖2（a）、圖2（b）分別為所設(shè)計(jì)的發(fā)射信號與接收濾波器的零多普勒相關(guān)函數(shù)以及ISRJ與接收濾波器的零多普勒相關(guān)函數(shù)。從圖中可以看出，發(fā)射信號和失配濾波器脈壓輸出的峰值旁瓣比約為-29.6 dB，有效起到了抑制旁瓣能量的作用，且干擾信號和失配濾波器脈壓輸出的峰值可降低至-31.28 dB，說明本文算法所設(shè)計(jì)的發(fā)射序列與失配濾波器有較好的抗干擾性能。

表2分別給出了不同信號長度下發(fā)射信號、ISRJ與接收濾波器相關(guān)函數(shù)的旁瓣峰值。從表中可以看出，隨著信號長度N的增大，旁瓣峰值和干擾脈壓峰值均逐漸降低，即所設(shè)計(jì)的發(fā)射序列和接收濾波器的相關(guān)性能與抗干擾性能逐漸提升，這是由于信號長度的增加，會使得模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的自由度增大，從而能夠得到抗干擾性能更好的發(fā)射波形與接收濾波器。但需要指出的是，信號長度的增加會導(dǎo)致算法的運(yùn)算量增大，進(jìn)而導(dǎo)致算法的實(shí)時性變差（不同信號長度下該算法的具體運(yùn)行時間在表3中給出），因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求對算法實(shí)時性與抗干擾性能進(jìn)行綜合考慮，以選取合適的信號長度。

4.2 算法實(shí)時性分析

本節(jié)將對MM法、平方迭代加速M(fèi)M法以及文獻(xiàn)［16］算法的運(yùn)行時間進(jìn)行分析對比，驗(yàn)證本文算法的實(shí)時性。本節(jié)的仿真參數(shù)與表1中的設(shè)置一致。圖3中給出了MM法與平方迭代加速M(fèi)M法的損失函數(shù)收斂曲線，可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，兩種算法下的損失函數(shù)值均逐漸減小且最終均可收斂，但相比于MM法，加速M(fèi)M法的運(yùn)行時間明顯縮短，即其可以在不改變目標(biāo)函數(shù)收斂性的前提下加快算法收斂速度，同時也驗(yàn)證了本文算法2的可行性。

為進(jìn)一步分析說明本文算法的實(shí)時性，本節(jié)在不同信號長度下對本文算法與文獻(xiàn)［16］算法的收斂時間進(jìn)行了對比。需要指出的是，為消除樣本偶然性帶來的影響，以下仿真中令兩種算法在各個信號長度下分別進(jìn)行50次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，并對各次運(yùn)行時間取平均，作為該參數(shù)體制下算法的運(yùn)行時間。表3記錄了在不同發(fā)射信號長度下，本文算法與文獻(xiàn)［16］算法的運(yùn)行時間?？梢钥闯?，隨著信號與濾波器長度N的增加，兩種算法的運(yùn)行時間均明顯增加，這是由N增大會導(dǎo)致算法的計(jì)算量增大而造成的，但在長度N與迭代終止條件均相同的條件下本文所提算法的收斂速度明顯快于文獻(xiàn)［16］算法的收斂速度，即本文算法具有更好的實(shí)時性（本文中所有仿真均在同一平臺進(jìn)行）。

4.3 算法抗干擾性能仿真

本節(jié)將在單個目標(biāo)、單個干擾機(jī)的場景下對優(yōu)化得到的發(fā)射波形和接收濾波器進(jìn)行抗干擾性能分析。將雷達(dá)、目標(biāo)以及干擾機(jī)的位置分別設(shè)置為（0，0，0）m、（0，8 000，0）m、（0，6 000，0）m，假設(shè)該仿真場景下干擾機(jī)的工作模式為直接轉(zhuǎn)發(fā)干擾，并將信干比與信噪比分別設(shè)定為-10 dB、15 dB，其余仿真參數(shù)設(shè)置與表1一致。圖4給出了在發(fā)射序列和接收濾波器初始值相同的情況下分別使用兩種算法優(yōu)化所得的序列，并將其作為發(fā)射信號與接收濾波器后回波的失配濾波結(jié)果以及回波經(jīng)傳統(tǒng)匹配濾波后的結(jié)果，從中可以看出經(jīng)匹配濾波處理后干擾信號峰值高于目標(biāo)信號峰值，說明當(dāng)干擾信號較強(qiáng)時，傳統(tǒng)的匹配濾波處理已無法抑制ISRJ，而本文算法與文獻(xiàn)［16］方法下的輸出干擾峰值均在-10 dB之下，且本文算法具有更低的干擾信號脈壓峰值，抗干擾性能更為可靠。

表4給出了在上述仿真場景下本文算法與文獻(xiàn)［16］方法的具體抗干擾性能對比，可以看出在SNRL基本相同的情況下，文獻(xiàn)［16］算法的輸出信干比略優(yōu)于本文算法，但本文算法的輸出干擾峰值以及輸出積分主副比性能明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［16］算法，說明本文算法能夠以較小的SNRL為代價換取對ISRJ信號的有效抑制作用，進(jìn)而保證可靠的抗干擾性能。

為進(jìn)一步分析本文算法的抗干擾性能，圖5給出了兩種算法下干擾機(jī)位于不同位置時輸出干擾峰值的變化。其中，雷達(dá)與目標(biāo)的位置設(shè)置不變，而干擾機(jī)的位置以20 m為間隔從（0，6 000，0）m變化至（0，7 980，0）m，在每個位置下均進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，并取均值作為該位置下的干擾峰值以減弱隨機(jī)噪聲的影響。從中可以看出，兩種算法在干擾機(jī)與目標(biāo)距離較近的情況下均可對干擾信號起到較好的抑制作用，且本文算法下的干擾峰值總體上低于文獻(xiàn)［16］方法。

4.4 參數(shù)敏感性分析

對于ISRJ而言，干擾機(jī)的輸出主要由間歇采樣重復(fù)周期、采樣占空比、采樣轉(zhuǎn)發(fā)起始位置以及轉(zhuǎn)發(fā)次數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)所決定。在實(shí)際應(yīng)用中可基于雷達(dá)回波對上述干擾機(jī)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)：首先對雷達(dá)回波進(jìn)行均勻分段，對分段信號分別進(jìn)行最優(yōu)階次分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后進(jìn)行拼接;然后改變信號分段長度，重復(fù)進(jìn)行上述操作，即可得到多組拼接信號;最后從多個拼接信號中尋找復(fù)雜度最低的信號，分析該拼接信號相鄰波峰的距離以及波峰分布的周期性，即可得到上述參數(shù)的估計(jì)值^［31］。

從前文的分析中可知，在獲知干擾機(jī)參數(shù)的前提下，本文算法對ISRJ可以起到有效的抑制作用。但在實(shí)際應(yīng)用中上述關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)往往具有一定的誤差，為進(jìn)一步分析本文所提算法的性能，本節(jié)將對該算法的3個關(guān)鍵參數(shù)：間歇采樣占空比、間歇采樣重復(fù)周期以及間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)起始位置進(jìn)行敏感性分析。

4.4.1 間歇采樣占空比敏感性分析

選取第4.3節(jié)中針對間歇采樣重復(fù)周期為10 μs、間歇采樣占空比D=0.25的情況下優(yōu)化得到的結(jié)果作為雷達(dá)發(fā)射序列和接收濾波器，具體仿真環(huán)境設(shè)置與第4.3節(jié)相同。圖6（a）～圖6（c）分別給出了間歇采樣重復(fù)周期固定為10 μs，改變實(shí)際間歇采樣占空比時本文算法與文獻(xiàn)［16］方法的輸出干擾峰值、積分主副比以及輸出信干比的變化曲線。

從圖6（a）中可以看出，當(dāng)間歇采樣的實(shí)際占空比低于預(yù)設(shè)占空比時，兩種算法下的干擾峰值均在-10 dB之下，都能夠保證可靠的抗干擾性能，但此時本文算法對占空比有相對較低的敏感度;當(dāng)實(shí)際占空比高于預(yù)設(shè)值時，隨著偏離程度的增大，兩種算法下的干擾信號脈壓峰值均逐步增大，算法抗干擾性能變差，即當(dāng)實(shí)際占空比高于預(yù)設(shè)占空比時，兩種優(yōu)化算法對占空比都十分敏感，但可以看出，在相同的占空比偏離程度下本文算法有相對較低的干擾峰值。從圖6（b）中可以看出，隨著實(shí)際間歇采樣占空比與預(yù)設(shè)值之間偏離程度的增大，兩種算法下非匹配濾波輸出的積分主副比均有所減小，但在相同的占空比偏離程度下，使用本文算法優(yōu)化得到的序列可獲得較高的輸出積分主副比，對旁瓣的抑制作用優(yōu)于文獻(xiàn)［16］。從圖6（c）中可以看出，當(dāng)實(shí)際間歇采樣占空比低于預(yù)設(shè)值時，兩種算法下的輸出信干比基本一致，但當(dāng)實(shí)際采樣占空比高于預(yù)設(shè)值時，本文算法下的輸出信干比低于文獻(xiàn)［16］。綜合上述3項(xiàng)主要性能比較，可知本文算法對間歇采樣占空比的敏感度總體上低于文獻(xiàn)［16］方法。

在實(shí)際應(yīng)用中，通常無法獲得間歇采樣占空比的準(zhǔn)確值，所估計(jì)出的占空比與實(shí)際占空比之間會存在一定程度的偏差，可以通過增大聯(lián)合優(yōu)化時的預(yù)設(shè)占空比來使得算法能夠在更大的實(shí)際間歇采樣占空比區(qū)間內(nèi)保證可靠的抗干擾性能，即獲得更大的對間歇采樣占空比不敏感的區(qū)間。但需要指出的是，預(yù)設(shè)間歇采樣占空比增大后，干擾信號與發(fā)射信號之間的相似性增加，會使得本文算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的自由度減小，進(jìn)而導(dǎo)致算法的抗干擾性能有所減弱，且會導(dǎo)致SNRL增大。同時，從圖6（b）、圖6（c）中可以看出，隨著預(yù)設(shè)占空比正向偏離實(shí)際占空比程度的增大，輸出積分主副比與輸出信干比均逐漸減小，即會導(dǎo)致算法對干擾信號以及旁瓣的抑制作用變差，從而使得目標(biāo)檢測性能有一定程度的下降。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)間歇采樣占空比的估計(jì)值在一定范圍內(nèi)適當(dāng)增大占空比預(yù)設(shè)值。

4.4.2 間歇采樣重復(fù)周期敏感性分析

本節(jié)仍選取第4.3節(jié)仿真條件下優(yōu)化得到的結(jié)果分別作為發(fā)射波形和接收濾波器，具體仿真環(huán)境仍與第4.3節(jié)的設(shè)置相同。圖7（a）～圖7（c）分別給出了將實(shí)際間歇采樣占空比固定為D=0.25，改變實(shí)際間歇采樣重復(fù)周期時兩種算法下的輸出干擾峰值、積分主副比以及輸出信干比的變化曲線。從圖7（a）中可以看出，隨著實(shí)際間歇采樣重復(fù)周期與聯(lián)合優(yōu)化時預(yù)設(shè)采樣重復(fù)周期值之間偏離程度的增大，兩種算法下的干擾信號脈壓峰值均逐步上升，使算法抗干擾性能變差。當(dāng)偏離程度達(dá)到約±7%時，干擾信號峰值與目標(biāo)信號脈壓峰值基本相當(dāng)，已無法滿足該場景下的目標(biāo)檢測需求，但在相同的間歇采樣重復(fù)周期偏離程度下本文算法有相對較低的干擾峰值，抗干擾性能更為可靠。從圖7（b）可以看出，隨著實(shí)際間歇采樣重復(fù)周期與預(yù)設(shè)值之間偏離程度的增大，兩種算法下的輸出積分主副比均顯著減小，但本文算法下的輸出積分主副比總體上高于文獻(xiàn)［16］方法，對旁瓣能量有較好的抑制作用。從圖7（c）中可以看出，兩種算法下的輸出信干比基本一致，且隨著實(shí)際間歇采樣周期與預(yù)設(shè)值之間偏離程度的增大，兩種算法下的輸出信干比均逐漸減小，當(dāng)偏離程度達(dá)到±10%時，輸出信干比接近-10 dB，基本無法發(fā)揮對干擾信號的抑制作用。綜合對以上3項(xiàng)重要性能指標(biāo)的討論，可知兩種算法對于間歇采樣重復(fù)周期的敏感度均較高。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)提高對間歇采樣重復(fù)周期的估計(jì)精度，以保證算法抗干擾性能得以發(fā)揮。

4.4.3 間歇采樣起始位置敏感性分析

本節(jié)仍選取第4.3節(jié)中的優(yōu)化結(jié)果作為雷達(dá)發(fā)射波形和接收濾波器，且具體仿真環(huán)境與第4.3節(jié)的設(shè)置相同。圖8（a）～圖8（c）分別給出了改變實(shí)際間歇采樣起始位置時本文算法與文獻(xiàn)［16］方法下的輸出干擾峰值、積分主副比以及輸出信干比的變化曲線。

從圖8（a）中可以看出，當(dāng)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)的實(shí)際起始位置與預(yù)估起始位置有相對±8%以內(nèi)的偏差時，兩種算法下的干擾峰值均在-10 dB之下，都能夠保證可靠的抗干擾性能，但可以看出，在相同的起始位置偏離程度下本文算法有相對較低的輸出干擾峰值。從圖8（b）中可以看出，隨著實(shí)際采樣轉(zhuǎn)發(fā)起始位置與預(yù)設(shè)值之間偏離程度的增大，兩種算法下非匹配濾波輸出的積分主副比均有所減小，但總體來看使用本文算法優(yōu)化得到的序列可獲得相對較高的輸出積分主副比，對旁瓣的抑制作用優(yōu)于文獻(xiàn)［16］方法。從圖8（c）中可以看出，隨著實(shí)際采樣轉(zhuǎn)發(fā)起始位置相對于預(yù)設(shè)起始位置偏離程度的增大，兩種算法下的輸出信干比均逐漸減小。綜合上述3項(xiàng)關(guān)鍵性能的比較，可以得出兩種算法對采樣轉(zhuǎn)發(fā)起始位置偏移量的敏感度均較高，這也對干擾機(jī)關(guān)鍵參數(shù)的估計(jì)精度提出了較高的要求。

5 結(jié)束語

本文提出了一種發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)的抗ISRJ算法，仿真結(jié)果表明，本文方法能夠以較小的SNRL為代價換取可靠的抗干擾性能，同時有效地縮短了算法運(yùn)行時間，具有較好的實(shí)時性。需要指出的是，本文算法對干擾信號的間歇采樣重復(fù)周期有較高的敏感度，這就要求對間歇采樣重復(fù)周期的估計(jì)足夠精確，否則會導(dǎo)致本文算法的抗干擾性能下降。下一步的研究重點(diǎn)是尋找精準(zhǔn)估計(jì)間歇采樣重復(fù)周期的方法，且尋找更為高效的優(yōu)化算法。在保證可靠抗干擾性能的同時提升算法的實(shí)時性，也是未來研究的重點(diǎn)。

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作者簡介

劉 茜（1999—），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)槟婧铣煽讖嚼走_(dá)成像、波形優(yōu)化及其抗干擾。

戴奉周（1978—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)橹悄芨兄c信號處理、電磁超材料、毫米波雷達(dá)。