勾股定理的圖形證明

哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，勾股定理也不例外。作為幾何學(xué)中的一顆璀璨明珠，千百年來，它吸引了無數(shù)人樂此不疲地進(jìn)行證明，貢獻(xiàn)了許多數(shù)學(xué)證明中的優(yōu)美案例。讓我們跟隨數(shù)學(xué)家們的腳步，通過拼圖的方式來驗證勾股定理。

《周髀算經(jīng)》與趙爽“弦圖”

據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前11世紀(jì)，我們的祖先就在生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論。三國時期，趙爽注解《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)制了“弦圖”，并用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明。

如圖1，用4個全等的直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形拼成一個邊長為c的大正方形。

一方面，大正方形的邊長為c，因此大正方形的面積為c2。另一方面，大正方形的面積又等于4個直角三角形的面積之和再加上中間邊長為b-a的小正方形的面積，因此大正方形也可以表示為4×?ab+（b-a）2。由等面積法可得4×?ab+（b-a）2=c2，化簡即得a2+b2=c2。

《九章算術(shù)注》中的“青朱出入圖”

魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在寫《九章算術(shù)注》時，利用“青朱出入圖”，證明了勾股定理。圖雖失傳，但根據(jù)割補(bǔ)法原理，參照書中類似方法，后人還原了此圖。

如圖2，使用割補(bǔ)法，將S1平移至S1′，將S2平移至S2′，將S3平移至S3′，我們不難發(fā)現(xiàn)：以a為邊長的正方形與以b為邊長的正方形的面積之和等于以c為邊長的正方形的面積，即a2+b2=c2。

加菲爾德的“總統(tǒng)證法”

時任美國俄亥俄州共和黨議員的加菲爾德，通過構(gòu)造直角梯形證明了勾股定理，其證法構(gòu)思獨特、圖形直觀、步驟簡潔，轟動了當(dāng)時的數(shù)學(xué)界。5年后，加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)，此證法因此被稱為“總統(tǒng)證法”。

如圖3，直角梯形的面積可以表示為兩個直角三角形的面積之和再加上等腰直角三角形的面積，即?（a+b）（a+b）=?ab×2+?c2，化簡可得a2+b2=c2。

我們不難發(fā)現(xiàn)，以上證明方法都運用了圖形的割補(bǔ)，進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化和計算。其實，我們還可以繼續(xù)，例如給你圖4、圖5，你能自行驗證勾股定理嗎？

其實，除了上述用直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形來驗證之外，傳統(tǒng)的七巧板也可以用來演示兩條直角邊長度相等情況下的勾股定理（如圖6、圖7）。

設(shè)圖6中的小正方形面積為1，則一副七巧板的總面積為8。圖7中等腰直角三角形ABC的面積為4，等腰直角三角形CDE和等腰直角三角形BEF的面積均為2，那么這三個等腰直角三角形的面積存在如下的數(shù)量關(guān)系：等腰直角三角形ABC的面積=等腰直角三角形CDE的面積+等腰直角三角形BEF的面積，即?BC2=?CE2+?BE2，所以BC2=CE2+BE2，這個等式說明在等腰直角三角形BCE中，直角邊CE和BE的平方和等于斜邊BC的平方。

有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，淋漓盡致地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的趣味和美感，這是其他定理無法比擬的。

（作者單位：江蘇省昆山市石牌中學(xué)）