突出本質(zhì) 深度自主 發(fā)展素養(yǎng)

單元教學(xué)課的開展目的不僅是為學(xué)生解決本節(jié)課的“眼前問題”，更重要的是通過數(shù)學(xué)知識的整體建構(gòu)和經(jīng)驗方法的總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握知識的實質(zhì)內(nèi)涵和生成路徑，滲透數(shù)學(xué)基本思想方法和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)教育價值。近期再次觀看全國教書育人楷模李庾南老師展示的“怎樣研究幾何圖形——以平行四邊形為例”的示范課，感受頗多。李老師以學(xué)習(xí)幾何圖形為主題，以平行四邊形為例，基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解，與學(xué)生深度對話，在探索平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定等知識關(guān)聯(lián)中發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)。筆者認(rèn)為這不僅體現(xiàn)了教育名家對“掌握基本方法，熟悉基本套路”教學(xué)的追求，更體現(xiàn)了教育名家對教學(xué)知識系統(tǒng)的深刻理解。筆者現(xiàn)整理三個教學(xué)片段，分享個人反思，以期對一線教師，尤其是對青年教師有所啟發(fā)。

一、教學(xué)片段

片段1：回顧定義，獲得研究對象

師：同學(xué)們，今天我們一起來研究怎樣學(xué)習(xí)幾何圖形。對于一個新的幾何圖形，我們首先要把它的基本特征用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，這種表達(dá)就稱為圖形的定義，然后要分析定義的條件有幾個要素?，F(xiàn)在以平行四邊形為例進(jìn)行研究。

師：如圖1，請同學(xué)們觀察黑板上的幾何圖形，它的組成要素有什么特征？

生：它是四邊形，而且有兩組對邊分別平行。

師：那么用數(shù)學(xué)語言如何來表達(dá)它的這種特征呢？

生：有兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。

師：這個命題的條件是什么？

生：條件是一個四邊形的兩組對邊分別平行。

師：是的。條件有兩個，第一是四邊形，第二是兩組對邊分別平行。這個定義還可以用符號語言來表達(dá)，如圖1，在四邊形ABCD中，因為AB∥CD，AD∥BC，結(jié)論：這個四邊形是平行四邊形。

片段2：關(guān)聯(lián)聯(lián)想，探究研究對象

師：如果告訴你這個幾何圖形是平行四邊形，你能說出對邊的位置關(guān)系嗎？

生：兩組對邊分別平行。

師：所以在研究幾何圖形的時候要知道定義的雙重作用：定義中的條件不僅是這個圖形判定的原始方法，也是這個圖形所具有的基本性質(zhì)。那就先從基本性質(zhì)出發(fā)，由兩組對邊分別平行能推導(dǎo)出什么關(guān)系？

生：數(shù)量關(guān)系。

師：數(shù)量關(guān)系通常研究的是線段和角。我們運用平行的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，能得到什么結(jié)論？

生：因為AB∥CD，所以∠B+∠C=180°，因為AD∥BC，所以∠C+∠D=180°，所以∠B=∠D，理由：同角的補角相等。同理，∠A=∠C。

師：由此我們得出平行四邊形的兩組對角分別相等。

師：另外，兩直線平行，內(nèi)錯角相等。要形成內(nèi)錯角，就要有截線，如何構(gòu)造這條截線？

生：如圖2，連接對角線AC。

師：由AD∥BC，推出∠1=∠2。由AB∥CD，推出∠BAC=∠ACD，對角線將平行四邊形分成了兩個全等三角形，此時可以推導(dǎo)出組成平行四邊形有關(guān)要素的數(shù)量關(guān)系嗎？

生：兩組對邊分別相等。

師：同學(xué)們，平行四邊形的兩組對邊分別平行對兩條對角線的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系有沒有影響呢？從數(shù)量關(guān)系來看，平行四邊形的兩條對角線相等嗎？

生：不相等。

師：為什么不相等？

生：連接BD，想要證明BD=AC，如圖3，就要證明△ABC和△DCB全等，條件已經(jīng)有AB=CD和BC=CB，還要有一個夾角相等，即∠ABC=∠BCD=90°，但條件中并沒有告訴我們這兩個角是90°，因此不能推導(dǎo)出對角線相等。

師：接著我們來思考平行四邊形的兩條對角線的位置關(guān)系，請同學(xué)們以小組為單位討論交流。

生：我們發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD相互平分。

師：你們怎么知道的？

生：由平行四邊形兩組對邊分別平行且相等，得到AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，進(jìn)而得到∠1=∠2，∠ABO=∠CDO，可以證得△ABO≌△CDO，即AO=CO，BO=DO。

師：是的，平行四邊形兩條對角線的相交是特殊相交——互相平分。這樣我們就得到平行四邊形的三個性質(zhì)命題。這三個性質(zhì)命題的條件只有一個：四邊形是平行四邊形。結(jié)論是：兩組對邊分別平行且相等、兩組對角分別相等、兩條對角線互相平分。

片段3：逆向思考，升華研究對象

師：剛才所得到的性質(zhì)定理都是由兩組對邊分別平行作為基礎(chǔ)，所以平行四邊形的定義是一棵大樹，三條性質(zhì)是長出來的枝。研究平行四邊形的判定也要類比這樣的方法。根據(jù)定義，我們就要研究一個四邊形需要具備什么樣的條件才能夠得到兩組對邊平行。聯(lián)想平行線的判定：“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，此時這個四邊形要具備什么條件？

生：兩組對角相等，再加上四邊形內(nèi)角和為360°，就可以利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”來證明兩組對邊平行。

生：根據(jù)研究性質(zhì)的經(jīng)驗，構(gòu)造截線，連接對角線AC，如圖2，要證明∠1=∠2和∠BAC=∠ACD，只需要證明△ABC≌△CDA即可，此時還少條件：第一，如果有AD=BC，再加上AD∥BC就可以了；第二，如果用“SSS”來證明這兩個三角形全等，那么這個四邊形要滿足兩組對邊分別相等。另外，如果對角線互相平分，由全等三角形依然可以得到角相等，進(jìn)而得到兩組對邊分別平行。

師：將上述的幾種思路經(jīng)過嚴(yán)格證明后就能得到平行四邊形的判定定理。顯然，判定定理的條件、結(jié)論與性質(zhì)定理是相反的，所以它們是互逆命題。

二、感悟反思

1.突出學(xué)科本質(zhì)，深度自主建構(gòu)

何為本質(zhì)呢？就是一類事物區(qū)別于其他事物的標(biāo)志。平行四邊形區(qū)別于其他圖形的標(biāo)志就是“有兩組對邊平行的四邊形”，這是其他幾何圖形所不具有的。反之，具備這樣的條件，這個幾何圖形就是平行四邊形。所以性質(zhì)和判定就應(yīng)該從定義中生長出來，就像植物一樣，定義是根，其余枝干上的研究都是從這個點上長出來的，從這個角度上來講，性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)順序其實無本質(zhì)的區(qū)別，它們應(yīng)該是融為一體的，我中有你，你中有我。定義、性質(zhì)、判定的教學(xué)，其本質(zhì)應(yīng)反映數(shù)學(xué)幾何圖形的內(nèi)涵，即邊、角、線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。性質(zhì)和判定的學(xué)習(xí)要一致，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)該有的邏輯體系。本節(jié)課從邊的相等以及邊的平行角度來研究平行四邊形，通過探究從特殊到一般的關(guān)系，追求邏輯連貫和前后一致的幾何教學(xué)，在經(jīng)歷一類圖形的整體研究過程中，關(guān)注思想方法在知識建構(gòu)中的自然滲透。本節(jié)課的上位邏輯是平行線的性質(zhì)及判定，李老師相機引導(dǎo)，深度對話，凸顯知識之間的關(guān)聯(lián)。

章建躍教授曾說過，理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提。李老師正是站在已經(jīng)理解數(shù)學(xué)的高度，抓住數(shù)學(xué)抽象的特點，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展對學(xué)生終身發(fā)展的影響來設(shè)計教學(xué)。我們看到，教育名家從學(xué)科內(nèi)部的聯(lián)系來重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，用教材教，而不是教教材，一氣呵成，把這些知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系在整體視角下理清楚，自主建構(gòu)出新的知識框架，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)幾何圖形明確路徑，進(jìn)而促使學(xué)生獲得良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

2.突出教學(xué)本質(zhì)，深度自主發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，潛移默化地讓學(xué)生感受知識之間的聯(lián)系。歐式幾何就是以最基本的定義為地基形成的一座大廈，片段教學(xué)中，李老師從觀察圖形邊的關(guān)系出發(fā)，從中找到教學(xué)的邏輯起點——定義，分析定義的雙重作用，從定義出發(fā)合理猜想，再進(jìn)行推理論證。

同時，教是為了不教。教學(xué)本質(zhì)上是師生雙方互動的過程，在這個過程中，教師需要給學(xué)生提供指導(dǎo)性的意見，而不是把原生態(tài)的問題拋出來消耗學(xué)生寶貴的課堂時間。今天雖然以平行四邊形為例，但是它的研究方法是研究幾何圖形的一般方法。如果平行四邊形的邊和角有了特殊的關(guān)系，平行四邊形的圖形、性質(zhì)和判定又會有什么樣的變化？所以教學(xué)片段傳達(dá)給我們的是對教學(xué)本質(zhì)的理解，即教學(xué)過程中的元認(rèn)知策略，利用類比學(xué)習(xí)的方法來積累研究平面幾何的套路和思維，從特殊入手，發(fā)現(xiàn)共性，抽象概括，從而形成一般結(jié)論。經(jīng)歷了研究平行四邊形的過程之后，學(xué)生不僅獲得了新知識，還獲得了研究策略和方法，激發(fā)了深入探究的熱情和自信。

通過對李老師這節(jié)課的課例設(shè)計、教學(xué)藝術(shù)等分析，筆者獲得的是對自身專業(yè)成長的再教育，即從默會知識，到“悠然神會，妙處與君說”的顯性傳遞。學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)與探索，在于積累解題經(jīng)驗，提升解題能力，感悟知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。李老師對數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行高深理解與研究后，再對學(xué)生的學(xué)情做出正確的評估，建構(gòu)出學(xué)習(xí)幾何圖形的通性通法，創(chuàng)設(shè)具有概括性、系統(tǒng)性、有梯度的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，落實學(xué)生的主體地位，凸顯教師的主導(dǎo)作用。學(xué)生不僅體會到數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯關(guān)系和巧妙的研究方法，而且提升了思維境界，為自主發(fā)展搭建了更廣闊的平臺。

總之，從學(xué)科邏輯到學(xué)習(xí)邏輯是教師必須學(xué)會思考的問題。我們看到教育名家充分關(guān)注內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，突出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，使得學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。正如李老師的這一節(jié)生動的數(shù)學(xué)課，通過單元教學(xué)的思想引領(lǐng)，學(xué)生掌握了研究一類圖形及其關(guān)系的基本方法，這是對數(shù)學(xué)知識本身及其發(fā)生、發(fā)展過程中反映的數(shù)學(xué)思想和方法的再概括和再組織，也正是李老師找準(zhǔn)核心素養(yǎng)落地發(fā)展的一種有效的教學(xué)設(shè)計與實踐，集中體現(xiàn)了教育名家的智慧和創(chuàng)新精神。

（作者單位：江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究室）