摘 要:以電磁感應(yīng)知識為背景的“雙桿問題”通常涉及導(dǎo)體桿做較為復(fù)雜的變加速運動,需運用微元法來處理問題。然而,試題中時間的賦值需要命題者嚴(yán)格求解和驗證,才能避免導(dǎo)體桿運動速度或位移不自洽的矛盾。以一道高三質(zhì)檢壓軸題為例,深入探討引起矛盾的原因,還原雙導(dǎo)體桿在磁場中運動的本來面目。
關(guān)鍵詞:電磁感應(yīng);雙桿問題;變加速;數(shù)據(jù)自洽
中圖分類號:G633.7 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-6148(2024)10-0073-4
收稿日期:2024-06-01
基金項目:福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項課題“指向物理觀念形成的高中物理大概念教學(xué)實踐研究”(Fjxczx23-371);福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于科學(xué)思維的高中物理模型建構(gòu)能力培養(yǎng)的課堂實踐”(FJJKZX23-100)。
作者簡介:顏輝(1986-),男,中學(xué)高級教師,主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作和命題解題研究。
雙導(dǎo)體桿在勻強磁場中做切割磁感線運動,因兩根桿的相對速度不斷改變,而使得導(dǎo)體桿中的感應(yīng)電流和安培力不斷變化,故“雙桿問題”是典型的變加速模型問題。對變加速模型問題,設(shè)置數(shù)據(jù)時,由于所用知識超出高中物理范疇,或命制試題時隨意杜撰數(shù)據(jù)導(dǎo)致數(shù)據(jù)不自洽,影響了試題的科學(xué)性[1]。近期某市高三質(zhì)檢壓軸題考查勻強磁場中雙導(dǎo)體桿的運動問題,試題中兩個“時間”引起很多師生的質(zhì)疑和討論,以下深入探討引起矛盾的原因,還原雙導(dǎo)體桿的真實運動規(guī)律。
1 引起質(zhì)疑和討論的兩個“時間”
如圖1(甲)所示,兩平行長直金屬導(dǎo)軌水平放置,間距L=0.8 m。PQ右側(cè)區(qū)域有勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小B=0.5 T,方向豎直向上。t=0時,磁場外的細(xì)金屬桿M以v0=12 m/s的速度向右運動。t=1 s時,細(xì)金屬桿M恰好到達PQ處。同時,對磁場內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)的細(xì)金屬桿N施加一與軌道平行的水平恒力,其大小F=0.8 N。N桿運動2 s后兩桿速度相等,兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直,細(xì)金屬桿M速度隨時間變化的v-t圖像如圖1(乙)所示。兩桿質(zhì)量均為m=0.2 kg,與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)相同,在導(dǎo)軌間的電阻均為R=0.2 Ω,感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場忽略不計,取重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)金屬桿與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ;
(2)為保證兩桿不發(fā)生碰撞,初始時金屬桿N到邊界PQ的最小距離Δx;
(3)金屬桿N最終運動的速度大小vt,并作出金屬桿N的速度隨時間變化的v-t圖像(無需過程說明);
(4)若從金屬桿N開始運動達到穩(wěn)定運動狀態(tài)經(jīng)歷Δt時間(Δt已知),求整個過程兩根金屬桿產(chǎn)生的總焦耳熱Q。
時間1 “N桿運動2 s后兩桿速度相等”。M桿進入磁場后,N桿也隨之開始運動,兩根桿的受力情況如圖2所示,對M、N桿組成的系統(tǒng)進行受力分析有F=2μmg,因此,滿足動量守恒mv1=2mv,得v=5 m/s。對N桿運用動量定理
Ft+BILt-μmgt=mv-0
其中,BILt==
代入過程經(jīng)歷的時間2 s,易得兩根桿共速前1~3 s內(nèi)的相對位移Δx=xM-xN=0.5 m。再運用圖像法進一步分析,因為M、N桿的質(zhì)量相等,且分析發(fā)現(xiàn)它們所受合力總是大小相等、方向相反,所以N桿的運動和M桿的運動是對稱的關(guān)系,兩根桿均做加速度減小的變速直線運動。在第(3)問中畫出N桿的v-t圖像如圖3所示,其中陰影部分的面積即為兩根桿的相對位移,而該面積明顯大于0.5 m。兩種方法得出的結(jié)論出現(xiàn)了矛盾,究竟是哪里出了問題?
時間2 “從金屬桿N開始運動達到穩(wěn)定運動狀態(tài)經(jīng)歷Δt時間”。M、N桿共速后,N桿的速度反超M桿,回路中的電流反向,各自受到的安培力也隨之反向,最終兩根桿會以不同的速度做勻速直線運動。然而,試題中并未給出一個具體的時間,而用Δt表示,難道雙導(dǎo)體桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的時間真的無法確定嗎?
2 探討矛盾之“因”
電磁感應(yīng)中的“雙桿問題”涉及兩導(dǎo)體桿做變加速運動,變加速階段的位移、速度和時間受特定條件制約,三個數(shù)據(jù)總是一一對應(yīng),它們的變化遵循一定的運動規(guī)律[2]。然而,時間賦值錯誤引起不自洽矛盾的根本原因是,在高中物理知識范疇里解決“雙桿問題”時,將安培力的沖量表示為I=Ft=(vM-vN)t=,對導(dǎo)體桿運用動量定理I=Δp,合外力的沖量使得導(dǎo)體桿的動量發(fā)生變化。雖然初末狀態(tài)是正確的,但是如果題干中的時間賦值出錯,就會導(dǎo)致其他力(摩擦力、拉力等)的沖量出錯,最終通過運算會得到一個錯誤的安培力沖量,從而引起不自洽的矛盾。要解決這一問題需要將兩根桿的速度隨時間的變化關(guān)系細(xì)致地刻畫出來。
3 還原運動之“本”
3.1 兩導(dǎo)體桿的真實運動規(guī)律
研究M桿進入磁場后兩根桿的運動規(guī)律,兩桿共速前vM>vN,俯視導(dǎo)軌中的回路有逆時針方向的電流,I=,F(xiàn)=(vM-vN)=
0.4(vM-vN)。兩桿的受力情況如圖2所示,取向右為正,根據(jù)牛頓第二定律,對M桿分析有
F+f=-mM(1)
代入題給數(shù)據(jù)得
0.4(vM-vN)+0.4=-0.2(2)
兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)所受合外力為0,由動量守恒mM v1=mM vM+mN vN得
10=v+v(3)
由(2)(3)式整理得
4v-18=-(4)
分離變量得
-4dt=(5)
不定積分得
v=(4.5+Ce-4t) m/s(6)
將M桿剛進入磁場的速度v
=10 m/s代入(5)式得C=5.5。(7)
結(jié)合(3)(6)(7)式可得兩桿的速度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系為
vM=(4.5+5.5e-4t) m/s(8)
vN=(5.5-5.5e-4t) m/s(9)
共速時,由動量守恒mv1=(m+m)v得v=
5 m/s,代入(8)式解得t= s≈0.599 s。因此,M桿進入磁場后經(jīng)歷約0.6 s,兩桿就共速了,而不是題給的2 s。將正確的時間0.6 s代入計算M桿進入磁場后到兩根桿共速的過程,兩桿的相對位移為Δx=vdt-vdt≈1.90 m≠0.5 m。
由(8)(9)式可知,當(dāng)t→∞時,5.5e-4t無限接近0,M桿的速度無限趨近v=4.5 m/s,N桿的速度無限趨近v=5.5 m/s。運用數(shù)學(xué)函數(shù)繪圖工具“幾何畫板”可繪制M桿進入磁場后兩根桿的速度v和v隨時間變化的圖像(圖4)。將題干中t=2 s代入得v≈4.502 m/s,v≈5.498 m/s,顯然兩根桿在2 s時并非是共速,而已經(jīng)是接近穩(wěn)定的狀態(tài)了。
接下來,筆者用微積分的方法進一步用兩根桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱進行驗證。從N桿開始運動,到最終兩桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中,回路中的電流大小為
整個回路中的熱功率為
P=2I2R=(121e-8t-22e-4t+1)×0.4(11)
整個回路的電熱為
Q=Pdt=[6.05×(1-e-8t)-2.2×(1-e-4t)+0.4t] J(12)
兩桿達到穩(wěn)定的時間趨于無窮,得Q=(0.4Δt+3.85) J,求解結(jié)果與第(4)問的參考答案用系統(tǒng)動能定理所得結(jié)論是吻合的。從上面的理論分析我們發(fā)現(xiàn),兩根桿到達穩(wěn)定狀態(tài)的時間是趨于無窮的,而非一個確定的時間。
3.2 拓展兩類典型的“雙桿問題”
高中物理還有兩類較典型的“雙桿問題”,兩導(dǎo)體桿構(gòu)成的系統(tǒng)除了受到安培力外,一類是無外力作用,還有一類是有恒定外力作用,表1為這兩類“雙桿問題”的對比和分析。
4 小結(jié)與啟示
通過以上三類高中物理常見的“雙桿問題”的對比和分析后發(fā)現(xiàn),導(dǎo)體桿的速度隨時間的變化均是含有以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)關(guān)系。理論上,當(dāng)時間t→∞時,兩桿的運動狀態(tài)才趨于穩(wěn)定,而如果各個物理量給定了具體的數(shù)值,則可認(rèn)為某時刻起雙桿的運動狀態(tài)近似達到穩(wěn)定。因此,教師在命制電磁感應(yīng)雙桿切割的相關(guān)試題時,給出的具體數(shù)據(jù)應(yīng)遵循科學(xué)性原則,邏輯自洽、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑囶}可以培養(yǎng)學(xué)生正確的物理觀念、科學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度[3]。
物理教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑和創(chuàng)新的思維品質(zhì)。無論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)備考,教師要有意識地創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑環(huán)境,主動提出引發(fā)疑問的思維問題[4],而試題中的賦值錯誤則是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和創(chuàng)新的很好的教學(xué)資源。教師要善于捕捉學(xué)生質(zhì)疑的火花,引導(dǎo)學(xué)生在遇到現(xiàn)階段暫時無法解決的問題時,勇于突破學(xué)科和知識的邊界,大膽進行跨學(xué)科實踐和探索,在解決質(zhì)疑問題的過程中提升自己的高階思維和創(chuàng)新能力。
參考文獻:
[1]王懷賓.“變加速模型”試題命制探討[J].物理教師, 2022,43(1):64-66.
[2]李萬杰.深度學(xué)習(xí)視域下一道電磁感應(yīng)試題的探討[J].物理教學(xué),2022,44(12):53-56.
[3]華星亮,曾長興.從“相對誤差”談收尾速度的合理性設(shè)問——以導(dǎo)體棒平動切割磁感線為例[J].物理教學(xué)探討,2023,41(7):56-58,62.
[4]武長青.基于質(zhì)疑創(chuàng)新的五個水平談科學(xué)思維的培養(yǎng)策略[J].物理教學(xué),2020,42(4):7-11.
(欄目編輯 蔣小平)