拉船模型中推理矛盾與條件分析

摘 要：根據(jù)拉船模型的動力學特征，深入探討了小船加速度的分析方法，抓住學生理解中的困惑點，對比合成與分解法的準確使用，通過對運動條件與運動形式的分析，體會微元法、極值法的應用，幫助學生提升物理學習中的辨析能力，培養(yǎng)科學思維的良好品質(zhì)。

關鍵詞：拉船模型；動力學分析；力的合成與分解；運動的合成與分解

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0069-4

收稿日期：2024-05-22

基金項目：河北省教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度教師發(fā)展研究專項課題“高中物理教學中滲透科學方法教育的有效途徑研究”（2308019）。

作者簡介：宋禹洲（1974-），男，中學高級教師，主要從事中學物理教學和教育工作。

在高中物理教學中，拉船模型是一個經(jīng)典的力學問題，它涉及到力的合成與分解以及運動的合成與分解等核心概念。拉船模型的研究不僅對理解力學原理具有重要意義，而且在工程實踐和日常生活中也有廣泛的應用。通過深入剖析這一模型，我們可以更好地理解力的作用方式，理解物體的運動與力的關系。

1 拉船模型中問題的提出與描述

在拉船模型問題中，涉及到運動的合成與分解問題和力的合成與分解問題，筆者根據(jù)實際教學，將教學中遇到的問題和爭議分類分析，力圖解決學生學習中的疑惑。

物理情境原型 如圖1所示，用一根不可伸長的細繩繞過光滑的小滑輪拉水中的小船，如果人拉繩的速度恒為v，當繩子與水面的夾角為θ 時，船速是多少？

通常的做法是，根據(jù)船運動為合運動，從圖1中可以看出小船的速度方向是水平的，根據(jù)運動情境可以將小船的速度分解為沿繩運動的速度和垂直于繩運動的速度，如圖2所示。

2 對人勻速運動情況下小船運動的分析與討論

問題1 根據(jù)上述船速公式分析，小船在靠岸過程中，船速怎么變化，小船做何種運動？

分析 根據(jù)船速表達式分析可知，隨著船向岸邊靠近，圖中θ逐漸增大，余弦函數(shù)在90°以內(nèi)為減函數(shù)，故小船應做加速運動。根據(jù)上述結論可知，小船在速度逐漸增大的過程中，當θ→90°時，cosθ→0，小船運動到接近小滑輪的正下方，此時船速應趨于無窮大。

如果上述分析合理，那么小船的加速度應該怎樣變化？現(xiàn)對小船加速度大小的變化分三種可能進行分析。

（1）假設小船加速度不變，即小船做勻加速直線運動。對船的運動采用極限法分析可知，當船與河岸有一定距離時，勻加速的結果不可能是無限大的速度，因此加速度會改變。此外，根據(jù)小船速度與角度的關系也容易分析出速度不可能均勻變化。

（2）若小船做加速度逐漸減小的加速運動，采用極限法分析可知，小船最終會獲得穩(wěn)定速度（收尾速度），而不會是無限大速度。

（3）若小船做加速度逐漸增大的加速運動，運動速度就有可能趨于無窮大，與之對應的加速度也應該是無限大值。

根據(jù)速度變化規(guī)律可知，上述三種方式中第三種運動方式合理，即小船做加速度逐漸增大且到小滑輪下方時為無窮大的加速運動。

對小船靠岸過程進行受力分析，如圖3所示，在水平方向上應有Tcosθ-Ff = ma，現(xiàn)分析理想情況，不考慮水的阻力，則小船前進的動力應為細繩拉力的水平分力，即Tcosθ=ma。當小船到達河岸時，繩子與水平方向垂直，繩子拉力在水平方向的分量為0，考慮理想情況，小船的加速度必然為0。從力的合成與分解角度看，小船做加速度逐漸減小的加速運動，這與運動的合成與分解分析結論相反。

這兩種分析方法應該都有一定道理，但是得到的結論卻完全相反，問題出在哪里呢？這是很多學生在采用極限法分析后無法理解的地方。為解釋清楚這個問題，根據(jù)高中物理中運動的合成與分解原理，結合微元法思想，從不同角度求出小船在人勻速拉動繩子時的小船加速度值。

方法一 如圖4所示，在小船運動到細繩與水平方向成θ角時，取運動的極短時間Δt，小船從圖中A處運動到B處，細繩與船行方向夾角由θ增加為θ+Δθ，在Δt內(nèi)小船的速度變化量為Δv，小船與滑輪所在處高度差為h，滑輪到小船的距離為l。

由船速和繩速的關系，小船在A處和B處的速度依次為vA=和vB=vA+Δv=，對vB進行數(shù)學處理得

vB==

當Δt→0時，Δθ→0，cosΔθ=1，sinΔθ=Δθ，則

vB=

Δv=vB-vA，即

Δv= - =

根據(jù)加速度定義式

a==

在極短時間Δt內(nèi)，Δθ·Δt屬于高階無窮小量，上式中Δθ·Δt·sinθ·cosθ可以忽略，則

a===

·=·ω

其中，ω為在A處時，速度在垂直細繩方向上的分運動——圓周運動的角速度大小，ω====

代入上式得

a=·==

分析可知，若保持v不變，h為定值，隨著θ增大，小船做加速度逐漸增大的加速運動是合理的，且在θ→90°時，a趨近于無窮大。

方法二 如圖5所示，在人以v勻速拉繩時，小船在A處時速度為vA，根據(jù)速度的合成與分解原理，兩個分速度分別為沿著繩子收縮方向的速度v和垂直v方向的圓周運動的分運動速度v。同時，在繩子方向上有因為圓周運動的分運動v對應的向心加速度an=。在A處，v=vtanθ，h=lsinθ，故an===，因為繩子收縮速度大小保持不變，因此沿繩方向上的加速度只有小船垂直繩子的分運動——圓周運動的向心加速度，即a=an，a=acosθ，因此a==，代入后整理可得a=?？梢姡〈龅氖羌铀俣仍龃蟮募铀龠\動。

上述兩種方法都可以得到同樣的結論，即小船做加速度增大的加速運動，據(jù)此分析靠岸時刻的加速度確實是無限大的。

現(xiàn)結合小船運動的加速度求細繩拉力大小。由于小船加速的動力來源于繩子拉力的水平分力，在理想情況下繩子拉力理論上應為F==。分析可知，當θ→90°時，拉力應為無窮大值，這顯然是不可能的。這樣大的拉力，小船實際上也無法保持還在水面運動，而是會被巨大拉力拉離水面。顯然，小船做加速度增大的加速運動實際上是不可能的。

分析小船的運動過程我們就會發(fā)現(xiàn)，實際上造成這個結果的直接原因就是運動的合成與分解法的分析前提是假設人拉繩子時保持不變的速度。實際上，當人在勻速拉船時，在不考慮功率損失的情況下，人的拉力功率實際上也就是細繩拉船時的拉力功率

P=Tv=mav=v=

分析可知，隨著θ增大，所需拉力逐漸增大，拉力的功率增大，當θ→90°時則趨于無窮大。任何機械的功率都存在最大值，因此該功率實際上不會滿足。其次，從運動的分解與合成看，小船到達滑輪正下方時，繩子從滑輪到小船距離最短，假如小船還可以前進，則繩子從滑輪到小船部分將會變長，可見此處應是繩子最短的位置，那么人拉繩的速度必然是0，故人的拉力功率也只能是0。由此說明，此時的繩子速度只能為0，顯然人無法實現(xiàn)始終勻速拉船。因而，小船的加速運動是建立在可實現(xiàn)人勻速拉船的前提下的。

在人仍能做到勻速拉繩的階段且拉力功率增大過程中，設人拉船的最大功率為Pm，細繩拉力的功率為P，則有P=≤Pm。由此可知，在小船質(zhì)量m、人拉船的速度v、滑輪距離水面的高度h一定的條件下，繩速一定時，存在一個最大角度值θm，此角度滿足表達式為Pm=，即角度滿足=，此角度對應值為人能勻速拉繩的最大角度θm，此后人就無法實現(xiàn)此前的勻速拉繩，若功率保持不變，則繩子速度必然減小。

3 形成條件與結論

通過分析可以得出，當人勻速運動時，小船運動的情況并不適用于小船運動到河岸的整個過程，而是在滿足功率不超過最大功率的一段過程，當小船距離河岸較近時并不適用。這樣就解釋了當小船到達河岸正下方時按照運動的合成與分解法和力的合成與分解法兩種不同分解方法而得到矛盾的結論。通過分析可得出，小船在繩子與水平方向夾角較小階段可以維持細繩勻速拉動小船做加速運動，隨著小船速度增大，細繩拉力增大，需要的動力功率增大，當達到額定功率（機械運動條件下的最大功率）時，拉繩速度只能減小，在小船無阻力運動的理想條件下，當小船運動到河岸時，細繩速度減為0，細繩應無拉力，需要注意的是這個時刻小船速度可以不是0。

4 結 語

高中物理中處理拉船模型的重點要求是掌握繩子速度和小船速度的牽連關系，關于小船加速度的理解基本上都是回避的。但是，在實際教學中發(fā)現(xiàn)，雖然運動的合成與分解以及力的合成與分解都遵循矢量運算法則，因本問題的分析中學生經(jīng)常將運動的合成與分解與力的合成與分解混淆，從而導致“在船速的分解中經(jīng)常想當然地認為繩子速度應該分解到水平方向（對應于船速）和豎直方向”的情況發(fā)生。對于小船加速度的深入討論可以幫助學生深刻理解兩者的不同，特別是兩種分析得到矛盾結論時，不回避矛盾，深度分析后反而給學生提供了實證，培養(yǎng)了學生在物理學習中的嚴謹作風和求實態(tài)度。此外，本問題的分析中對微元法、極限法的合理使用，對于學生掌握微元法思想很有意義，對于培養(yǎng)學生的高階思維能力大有幫助。

在物理教學中，教師善于抓住教學契機，從已有問題入手，拓展問題，利用問題推進教學，對于學生科學思維能力的培養(yǎng)大有裨益。愛因斯坦指出：“提出問題比解決問題更重要”?？梢?，用問題導向思維，層層深入分析，提升學生綜合分析能力，也是落實物理核心素養(yǎng)目標的具體表現(xiàn)。

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（欄目編輯 蔣小平）