拉船模型中推理矛盾與條件分析

摘 要：根據(jù)拉船模型的動(dòng)力學(xué)特征，深入探討了小船加速度的分析方法，抓住學(xué)生理解中的困惑點(diǎn)，對(duì)比合成與分解法的準(zhǔn)確使用，通過對(duì)運(yùn)動(dòng)條件與運(yùn)動(dòng)形式的分析，體會(huì)微元法、極值法的應(yīng)用，幫助學(xué)生提升物理學(xué)習(xí)中的辨析能力，培養(yǎng)科學(xué)思維的良好品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：拉船模型；動(dòng)力學(xué)分析；力的合成與分解；運(yùn)動(dòng)的合成與分解

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）10-0069-4

收稿日期：2024-05-22

基金項(xiàng)目：河北省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度教師發(fā)展研究專項(xiàng)課題“高中物理教學(xué)中滲透科學(xué)方法教育的有效途徑研究”（2308019）。

作者簡(jiǎn)介：宋禹洲（1974-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)和教育工作。

在高中物理教學(xué)中，拉船模型是一個(gè)經(jīng)典的力學(xué)問題，它涉及到力的合成與分解以及運(yùn)動(dòng)的合成與分解等核心概念。拉船模型的研究不僅對(duì)理解力學(xué)原理具有重要意義，而且在工程實(shí)踐和日常生活中也有廣泛的應(yīng)用。通過深入剖析這一模型，我們可以更好地理解力的作用方式，理解物體的運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系。

1 拉船模型中問題的提出與描述

在拉船模型問題中，涉及到運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題和力的合成與分解問題，筆者根據(jù)實(shí)際教學(xué)，將教學(xué)中遇到的問題和爭(zhēng)議分類分析，力圖解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑惑。

物理情境原型 如圖1所示，用一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩繞過光滑的小滑輪拉水中的小船，如果人拉繩的速度恒為v，當(dāng)繩子與水面的夾角為θ 時(shí)，船速是多少？

通常的做法是，根據(jù)船運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，從圖1中可以看出小船的速度方向是水平的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情境可以將小船的速度分解為沿繩運(yùn)動(dòng)的速度和垂直于繩運(yùn)動(dòng)的速度，如圖2所示。

2 對(duì)人勻速運(yùn)動(dòng)情況下小船運(yùn)動(dòng)的分析與討論

問題1 根據(jù)上述船速公式分析，小船在靠岸過程中，船速怎么變化，小船做何種運(yùn)動(dòng)？

分析 根據(jù)船速表達(dá)式分析可知，隨著船向岸邊靠近，圖中θ逐漸增大，余弦函數(shù)在90°以內(nèi)為減函數(shù)，故小船應(yīng)做加速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)上述結(jié)論可知，小船在速度逐漸增大的過程中，當(dāng)θ→90°時(shí)，cosθ→0，小船運(yùn)動(dòng)到接近小滑輪的正下方，此時(shí)船速應(yīng)趨于無窮大。

如果上述分析合理，那么小船的加速度應(yīng)該怎樣變化？現(xiàn)對(duì)小船加速度大小的變化分三種可能進(jìn)行分析。

（1）假設(shè)小船加速度不變，即小船做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)船的運(yùn)動(dòng)采用極限法分析可知，當(dāng)船與河岸有一定距離時(shí)，勻加速的結(jié)果不可能是無限大的速度，因此加速度會(huì)改變。此外，根據(jù)小船速度與角度的關(guān)系也容易分析出速度不可能均勻變化。

（2）若小船做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，采用極限法分析可知，小船最終會(huì)獲得穩(wěn)定速度（收尾速度），而不會(huì)是無限大速度。

（3）若小船做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度就有可能趨于無窮大，與之對(duì)應(yīng)的加速度也應(yīng)該是無限大值。

根據(jù)速度變化規(guī)律可知，上述三種方式中第三種運(yùn)動(dòng)方式合理，即小船做加速度逐漸增大且到小滑輪下方時(shí)為無窮大的加速運(yùn)動(dòng)。

對(duì)小船靠岸過程進(jìn)行受力分析，如圖3所示，在水平方向上應(yīng)有Tcosθ-Ff = ma，現(xiàn)分析理想情況，不考慮水的阻力，則小船前進(jìn)的動(dòng)力應(yīng)為細(xì)繩拉力的水平分力，即Tcosθ=ma。當(dāng)小船到達(dá)河岸時(shí)，繩子與水平方向垂直，繩子拉力在水平方向的分量為0，考慮理想情況，小船的加速度必然為0。從力的合成與分解角度看，小船做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，這與運(yùn)動(dòng)的合成與分解分析結(jié)論相反。

這兩種分析方法應(yīng)該都有一定道理，但是得到的結(jié)論卻完全相反，問題出在哪里呢？這是很多學(xué)生在采用極限法分析后無法理解的地方。為解釋清楚這個(gè)問題，根據(jù)高中物理中運(yùn)動(dòng)的合成與分解原理，結(jié)合微元法思想，從不同角度求出小船在人勻速拉動(dòng)繩子時(shí)的小船加速度值。

方法一 如圖4所示，在小船運(yùn)動(dòng)到細(xì)繩與水平方向成θ角時(shí)，取運(yùn)動(dòng)的極短時(shí)間Δt，小船從圖中A處運(yùn)動(dòng)到B處，細(xì)繩與船行方向夾角由θ增加為θ+Δθ，在Δt內(nèi)小船的速度變化量為Δv，小船與滑輪所在處高度差為h，滑輪到小船的距離為l。

由船速和繩速的關(guān)系，小船在A處和B處的速度依次為vA=和vB=vA+Δv=，對(duì)vB進(jìn)行數(shù)學(xué)處理得

vB==

當(dāng)Δt→0時(shí)，Δθ→0，cosΔθ=1，sinΔθ=Δθ，則

vB=

Δv=vB-vA，即

Δv= - =

根據(jù)加速度定義式

a==

在極短時(shí)間Δt內(nèi)，Δθ·Δt屬于高階無窮小量，上式中Δθ·Δt·sinθ·cosθ可以忽略，則

a===

·=·ω

其中，ω為在A處時(shí)，速度在垂直細(xì)繩方向上的分運(yùn)動(dòng)——圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小，ω====

代入上式得

a=·==

分析可知，若保持v不變，h為定值，隨著θ增大，小船做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng)是合理的，且在θ→90°時(shí)，a趨近于無窮大。

方法二 如圖5所示，在人以v勻速拉繩時(shí)，小船在A處時(shí)速度為vA，根據(jù)速度的合成與分解原理，兩個(gè)分速度分別為沿著繩子收縮方向的速度v和垂直v方向的圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)速度v。同時(shí)，在繩子方向上有因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)v對(duì)應(yīng)的向心加速度an=。在A處，v=vtanθ，h=lsinθ，故an===，因?yàn)槔K子收縮速度大小保持不變，因此沿繩方向上的加速度只有小船垂直繩子的分運(yùn)動(dòng)——圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，即a=an，a=acosθ，因此a==，代入后整理可得a=?？梢姡〈龅氖羌铀俣仍龃蟮募铀龠\(yùn)動(dòng)。

上述兩種方法都可以得到同樣的結(jié)論，即小船做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此分析靠岸時(shí)刻的加速度確實(shí)是無限大的。

現(xiàn)結(jié)合小船運(yùn)動(dòng)的加速度求細(xì)繩拉力大小。由于小船加速的動(dòng)力來源于繩子拉力的水平分力，在理想情況下繩子拉力理論上應(yīng)為F==。分析可知，當(dāng)θ→90°時(shí)，拉力應(yīng)為無窮大值，這顯然是不可能的。這樣大的拉力，小船實(shí)際上也無法保持還在水面運(yùn)動(dòng)，而是會(huì)被巨大拉力拉離水面。顯然，小船做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是不可能的。

分析小船的運(yùn)動(dòng)過程我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上造成這個(gè)結(jié)果的直接原因就是運(yùn)動(dòng)的合成與分解法的分析前提是假設(shè)人拉繩子時(shí)保持不變的速度。實(shí)際上，當(dāng)人在勻速拉船時(shí)，在不考慮功率損失的情況下，人的拉力功率實(shí)際上也就是細(xì)繩拉船時(shí)的拉力功率

P=Tv=mav=v=

分析可知，隨著θ增大，所需拉力逐漸增大，拉力的功率增大，當(dāng)θ→90°時(shí)則趨于無窮大。任何機(jī)械的功率都存在最大值，因此該功率實(shí)際上不會(huì)滿足。其次，從運(yùn)動(dòng)的分解與合成看，小船到達(dá)滑輪正下方時(shí)，繩子從滑輪到小船距離最短，假如小船還可以前進(jìn)，則繩子從滑輪到小船部分將會(huì)變長(zhǎng)，可見此處應(yīng)是繩子最短的位置，那么人拉繩的速度必然是0，故人的拉力功率也只能是0。由此說明，此時(shí)的繩子速度只能為0，顯然人無法實(shí)現(xiàn)始終勻速拉船。因而，小船的加速運(yùn)動(dòng)是建立在可實(shí)現(xiàn)人勻速拉船的前提下的。

在人仍能做到勻速拉繩的階段且拉力功率增大過程中，設(shè)人拉船的最大功率為Pm，細(xì)繩拉力的功率為P，則有P=≤Pm。由此可知，在小船質(zhì)量m、人拉船的速度v、滑輪距離水面的高度h一定的條件下，繩速一定時(shí)，存在一個(gè)最大角度值θm，此角度滿足表達(dá)式為Pm=，即角度滿足=，此角度對(duì)應(yīng)值為人能勻速拉繩的最大角度θm，此后人就無法實(shí)現(xiàn)此前的勻速拉繩，若功率保持不變，則繩子速度必然減小。

3 形成條件與結(jié)論

通過分析可以得出，當(dāng)人勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的情況并不適用于小船運(yùn)動(dòng)到河岸的整個(gè)過程，而是在滿足功率不超過最大功率的一段過程，當(dāng)小船距離河岸較近時(shí)并不適用。這樣就解釋了當(dāng)小船到達(dá)河岸正下方時(shí)按照運(yùn)動(dòng)的合成與分解法和力的合成與分解法兩種不同分解方法而得到矛盾的結(jié)論。通過分析可得出，小船在繩子與水平方向夾角較小階段可以維持細(xì)繩勻速拉動(dòng)小船做加速運(yùn)動(dòng)，隨著小船速度增大，細(xì)繩拉力增大，需要的動(dòng)力功率增大，當(dāng)達(dá)到額定功率（機(jī)械運(yùn)動(dòng)條件下的最大功率）時(shí)，拉繩速度只能減小，在小船無阻力運(yùn)動(dòng)的理想條件下，當(dāng)小船運(yùn)動(dòng)到河岸時(shí)，細(xì)繩速度減為0，細(xì)繩應(yīng)無拉力，需要注意的是這個(gè)時(shí)刻小船速度可以不是0。

4 結(jié) 語

高中物理中處理拉船模型的重點(diǎn)要求是掌握繩子速度和小船速度的牽連關(guān)系，關(guān)于小船加速度的理解基本上都是回避的。但是，在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，雖然運(yùn)動(dòng)的合成與分解以及力的合成與分解都遵循矢量運(yùn)算法則，因本問題的分析中學(xué)生經(jīng)常將運(yùn)動(dòng)的合成與分解與力的合成與分解混淆，從而導(dǎo)致“在船速的分解中經(jīng)常想當(dāng)然地認(rèn)為繩子速度應(yīng)該分解到水平方向（對(duì)應(yīng)于船速）和豎直方向”的情況發(fā)生。對(duì)于小船加速度的深入討論可以幫助學(xué)生深刻理解兩者的不同，特別是兩種分析得到矛盾結(jié)論時(shí)，不回避矛盾，深度分析后反而給學(xué)生提供了實(shí)證，培養(yǎng)了學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)和求實(shí)態(tài)度。此外，本問題的分析中對(duì)微元法、極限法的合理使用，對(duì)于學(xué)生掌握微元法思想很有意義，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力大有幫助。

在物理教學(xué)中，教師善于抓住教學(xué)契機(jī)，從已有問題入手，拓展問題，利用問題推進(jìn)教學(xué)，對(duì)于學(xué)生科學(xué)思維能力的培養(yǎng)大有裨益。愛因斯坦指出：“提出問題比解決問題更重要”?？梢?，用問題導(dǎo)向思維，層層深入分析，提升學(xué)生綜合分析能力，也是落實(shí)物理核心素養(yǎng)目標(biāo)的具體表現(xiàn)。

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（欄目編輯 蔣小平）