已知函數(shù)的值域求參數(shù)問題的“疑、探、悟”

摘要：給出函數(shù)的解析式和定義域求其值域，或給出函數(shù)的值域，求函數(shù)式中參數(shù)的取值范圍，學(xué)生常常無從下手.文章針對(duì)高中階段的幾類函數(shù)中已知值域求參數(shù)的問題，通過尋疑、探疑、悟疑三方面進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)探討.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；求參數(shù)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0055-03

在復(fù)習(xí)函數(shù)這一模塊時(shí)，函數(shù)性質(zhì)的理解、應(yīng)用是重中之重.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)的逆向應(yīng)用思維不夠，碰到已知函數(shù)的某些性質(zhì)，求函數(shù)的參數(shù)問題一籌莫展.“疑、探、悟”啟發(fā)式教學(xué)著眼于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，使他們具有獲得知識(shí)技能的強(qiáng)烈要求和獨(dú)立發(fā)表自己見解的迫切愿望，從而能融會(huì)貫通地掌握知識(shí)，提高能力，發(fā)展智力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).下面對(duì)函數(shù)實(shí)例中已知某些函數(shù)的值域求參數(shù)的問題進(jìn)行研究.

1一元二次函數(shù)已知值域求參數(shù)

例1已知函數(shù)f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

尋疑要使f（x）∈［0，+∞），大部分學(xué)生認(rèn)為f（x）的圖象開口向上，滿足△≤0，得到a∈［0，3）.

探疑其實(shí)這里學(xué)生犯的錯(cuò)誤是沒理解清楚值域?yàn)椋?，+∞）的真正含義，它是要求值域從0開始全都要取到，不能多也不能少.當(dāng)△<0時(shí)，f（x）>0不滿足題意，所以只有△=0時(shí)滿足f（x）≥0.

解法1因?yàn)閒（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域?yàn)椋?，+∞），

所以a>0，△=0時(shí)滿足f（x）≥0.

解得a=3.

解法2因?yàn)閒（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）

的值域?yàn)椋?，+∞），開口向上，也可理解為f（x）min=f（2）=0，

解得a=3.

變式已知函數(shù)f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

解析f（91kydepJDRW0/7upV0zaog==x）開口向上，要使f（x）∈（0，+∞），則a>0，△<0，得到a∈（0，3）.

例2已知函數(shù)f（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域?yàn)椋?∞，2），求a的取值范圍.

解析因?yàn)閒（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域?yàn)椋?∞，2），所以x2+ax-2x2-x+1<2.

又因?yàn)閤2-x+1=（x-12）2+34>0，

所以x∈R.

由上式可得x2+ax-2<2（x2-x+1） .

所以x2-（a+2）x+4>0在x∈R上恒成立.

所以△=［-（a+2）］2-4×4<0.

解得-6<a<2.

悟疑解決此問題的關(guān)鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，最后通過比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參數(shù)的值.

2含偶次根號(hào)的函數(shù)已知值域求參數(shù)

例3已知函數(shù)f（x）=ax2+4ax+a+3的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

尋疑對(duì)這一題，學(xué)生經(jīng)常是這樣解答的：

因?yàn)閒（x）=ax2+4ax+a+3的值域?yàn)椋?，+∞）.

所以ax2+4ax+a+3≥0.

即a（x+2）2+3-3a≥0.

整理可得3-3a≤（x+2）2在定義域內(nèi)恒成立.

所以3-3a≤［（x+2）2］min=0.

解得0≤a≤1.

這是錯(cuò)解.對(duì)偶次根式的定義域，要求是根號(hào)里的函數(shù)式的值要大于或等于0，在未知函數(shù)定義域的情況下，判定3-3a≤［（x+2）2］min=0是錯(cuò)的.

探疑這可以看作是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，若設(shè)u（x）=ax2+4ax+a+3，在不知道x取值的情況下，u（x）的值域的范圍是R的一個(gè)子集，要滿足f（x）=u（x）≥0，u（x）要取遍非負(fù)實(shí)數(shù)，所以△≥0且開口要向上.

正解a=0時(shí)，f（x）=3>0，不合題意.

a<0時(shí)，開口向下，達(dá)不到值域?yàn)椋?，+∞）.

a>0時(shí)，設(shè)u（x）=ax2+4ax+a+3，則f（x）=u（x）≥0，且設(shè)u（x）的值域?yàn)镈，所以［0，+∞）D.

所以u(píng)（x）要取遍非負(fù)實(shí)數(shù)，即△≥0，解得a≥1.

變式已知函數(shù)f（x）=ax2+4ax+a+3在x∈R時(shí)的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

解析已知定義域x∈R，要使u（x）=ax2+4ax+a+3≥0，且同時(shí)滿足f（x）要取遍［0，+∞）且不能多也不能少，則△=0.

解得a=1或a=0，而a=0時(shí)不合題意舍去.

悟疑二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類討論，若此問題要轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要清楚地知道函數(shù)的定義域，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的答案.

3指數(shù)型函數(shù)中已知值域求參數(shù)

例4已知函數(shù)f（x）=2x2+2ax-a-1的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

尋疑學(xué)生認(rèn)為f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到f（x）=x2+2ax-a≥0.

所以△≥0，得到-1≤a≤0.

探疑在解此類型的指數(shù)型函數(shù)時(shí)，其內(nèi)函數(shù)u（x）=x2+2ax-a的定義域跟函數(shù)f（x）的定義域相同，所以x∈R；當(dāng)△>0時(shí)，對(duì)x∈R，u（x）=x2+2ax-a的值有一部分小于0，使得f（x）的值域范圍比［0，+∞）多了；

同理，當(dāng)△<0時(shí)，對(duì)x∈R，

u（x）=x2+2ax-a有一部分大于和等于0的值取不到，此時(shí)f（x）的值域范圍比［0，+∞）小了.

正解函數(shù)的定義域?yàn)镽，由f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到x2+2ax-a≥0.

所以當(dāng)△=0時(shí)，對(duì)x∈R，u（x）=x2+2ax-a≥0，使得f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），

解得a=0或a=-1.

這是學(xué)生容易與已知定義域?yàn)镽求函數(shù)值域混淆的題型，所以講解時(shí)可與下面的變式題對(duì)比講解.

變式已知函數(shù)f（x）=2x2+2ax-a-1的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍.

解析設(shè)u（x）=2x2+2ax-a-1，當(dāng)x∈R時(shí)，v（x）=x2+2ax-a≥0，

所以△≤0時(shí)，解得-1≤a≤0.

悟疑分析指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，首先要弄清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，然后轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決，注意不可忽視定義域、指數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)對(duì)它們的圖象及性質(zhì)起的作用[1].

4對(duì)數(shù)型函數(shù)中已知值域求參數(shù)

例5已知函數(shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍.

尋疑學(xué)生容易誤解函數(shù)f（x）=lg

（x2+ax+1）的值域?yàn)镽，即x2+ax+1>0的值域?yàn)镽對(duì)x∈R恒成立，而u（x）=x2+ax+1的開口向上，從而△=a2-4<0，解得-2<a<2.

以上解答與下列問題混為一談：

若函數(shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

探疑在對(duì)數(shù)型函數(shù)中，當(dāng)值域?yàn)镽時(shí)，它表示函數(shù)u（x）的值可取遍全體正實(shí)數(shù).所以函數(shù)u（x）=x2+ax+1的最小值要不大于0，即函數(shù)滿足△≥0；而當(dāng)函數(shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的定義域?yàn)镽時(shí)，它表示對(duì)一切x∈R，函數(shù)u（x）=x2+ax+1的值恒正，所以它們是兩類不同的問題[2].

解法1因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的值域?yàn)镽，設(shè)u（x）=x2+ax+1對(duì)x∈R時(shí)可取遍全體正實(shí)數(shù)，所以u(píng)（x）的值域包含了（0，+∞）.

從而△=a2-4≥0，

解得a≤-2或a≥2.

解法2因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的值域?yàn)镽，設(shè)u（x）=x2+ax+1，

所以u(píng)（x）=x2+ax+1對(duì)x∈R時(shí)可取遍全體正實(shí)數(shù).

所以u(píng)（x）的最小值不大于0.

因?yàn)閡（x）=x2+ax+1=（x+a2）2+1-a24，

所以u(píng)（x）min=u（-a2）=1-a24，

解得a≤-2或a≥2.

變式已知函數(shù)f（x）=lg（x2+ax+1）的值域?yàn)椋?，+∞），求a的取值范圍.

解析f（x）=lg（x2+ax+1）的值域?yàn)?/p>

［0，+∞），設(shè)u（x）=x2+ax+1，等價(jià)于u（x）的值域要取遍［1，+∞）且不能多取，故u（x）min=u（-a2）=

1-a24=1，解得a=0.

悟疑破解問題時(shí)應(yīng)注意問題的細(xì)微區(qū)別，防止犯似曾相識(shí)的錯(cuò)誤.“函數(shù)的值域?yàn)锳”“f（x）∈A恒成立”與上題有類似的地方.這兩例的辨析啟示我們，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)認(rèn)真比較各種問題間的區(qū)別，防止就題論題且不加區(qū)別.

5結(jié)束語

以上實(shí)例說明，已知函數(shù)的值域求參數(shù)是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，要根據(jù)不同的函數(shù)形式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?由于許多函數(shù)的概念都有很深刻的內(nèi)涵，所以在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)及解決函數(shù)問題時(shí)，首先要非常準(zhǔn)確地理解函數(shù)中的每個(gè)概念，仔細(xì)揣摩各種概念之間的聯(lián)系與不同，才能作出準(zhǔn)確的解答[3].教師應(yīng)在教育理論研究與實(shí)踐中，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，掌握“疑、探、悟”啟發(fā)式教學(xué)的方法，以便在教學(xué)中更好地落實(shí)核心素養(yǎng)，取得更好的教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］

宋月英.與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值（值域）問題[J].高中數(shù)理化，2022（15）：58-59.

［2］ 方佳佳.關(guān)注函數(shù)的最值（值域）?？碱愋蚚J].中學(xué)教學(xué)參考，2019（35）：2-3.

［3］ 李偉.函數(shù)定義域、值域的逆向問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2007（06）：4-5.

［責(zé)任編輯：李璟］