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    數(shù)理結(jié)合思想下對(duì)一道物理競(jìng)賽題的解法拓展

    2024-11-06 00:00:00鄭俊漢葉晴瑩
    數(shù)理化解題研究·高中版 2024年10期

    摘要:對(duì)第39屆物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題進(jìn)行分析,從拓展學(xué)生思維的角度出發(fā),采用數(shù)理結(jié)合的思想,給出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案的另兩種解題方法.在解題過(guò)程中,采用微分方程對(duì)物理問(wèn)題求解,幫助學(xué)生巧妙避免復(fù)雜的思維過(guò)程,實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題求解的簡(jiǎn)化,讓學(xué)生在比較不同科學(xué)方法的過(guò)程中體會(huì)“一題多解”的魅力,旨在提高學(xué)生的科學(xué)思維水平,發(fā)展學(xué)生的綜合能力.同時(shí)對(duì)解決這一類型的問(wèn)題提供了一定的幫助與思考.

    關(guān)鍵詞:一題多解;物理競(jìng)賽;數(shù)理結(jié)合;思維能力

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2024)28-0111-03

    物理學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生具有批判性思維的意識(shí),能基于證據(jù)大膽質(zhì)疑,從不同角度思考問(wèn)題[1].

    物理競(jìng)賽重點(diǎn)考查參賽學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力和創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題的能力[2],這要求學(xué)生從多個(gè)視角剖析問(wèn)題,帶著創(chuàng)新思想解決競(jìng)賽中遇到的問(wèn)題[3].本文對(duì)第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題進(jìn)行多角度研究,給出了新的解題思路.

    1原題呈現(xiàn)

    (第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題)兩根相同的理想輕彈簧,勁度系數(shù)均為k、自然長(zhǎng)度均為0.兩彈簧之間以一質(zhì)量為m的小球相連.將彈簧1空著的一端懸掛于天花板上,整個(gè)系統(tǒng)自然下垂,初始時(shí)靜止.已知兩彈簧中任意一個(gè)一旦被拉伸至臨界長(zhǎng)度(該臨界長(zhǎng)度大于mgk,這里g表示重力加速度的大小)便會(huì)被拉斷.

    實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),如果緩慢地拉動(dòng)下面的彈簧2的下端,上面的彈簧1將被拉斷.如果快速地拉動(dòng),則很有可能拉斷下面的彈簧2.

    (1)設(shè)加載于彈簧2下端的作用力隨時(shí)間變化的關(guān)系為F(t),寫出彈簧1的長(zhǎng)度x1(t)及小球加速度x··1(t)所滿足的運(yùn)動(dòng)方程.

    (2)在一個(gè)簡(jiǎn)單模型中,假設(shè)F(t)與時(shí)間t的關(guān)系為

    F(t)=0αt t<0t≥0

    其中α為大于零的常量,它的大小對(duì)應(yīng)力加載的快慢.求在該力的作用下彈簧1、2在t(t>0)時(shí)刻的長(zhǎng)度x1(t)、x2(t).

    (3)略.

    (4)略.

    2解答分析

    本文重點(diǎn)分析第二問(wèn),第二問(wèn)求運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式x1(t)、x2(t).x2(t)較易求得,根據(jù)胡克定律F(t)=kx2(t)可得.而x1(t)的解法,除了官方給出的兩種標(biāo)準(zhǔn)答案之外,為了拓寬學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生科學(xué)思維能力,本文運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的思想來(lái)審視問(wèn)題,給出了兩種更為簡(jiǎn)單方便的新解法.

    2.1解法一、二(評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解析)思路點(diǎn)評(píng)——模型簡(jiǎn)化

    解法一和解法二為評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解析,這兩種方法的標(biāo)準(zhǔn)答案?jìng)?cè)重于將本題模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,具體簡(jiǎn)化過(guò)程如下:

    由第一問(wèn)知彈簧1的長(zhǎng)度x1(t)及小球加速度x··1(t)滿足運(yùn)動(dòng)方程為

    mx··=-kx1+mg+F(t)①

    由第二問(wèn)的條件得在t≥0時(shí)有

    mx··1=-kx1+mg+at②

    要求x1(t)的表達(dá)式,可先對(duì)原有模型進(jìn)行簡(jiǎn)化:根據(jù)方程①可將模型中彈簧2作用在小球上的拉力直接當(dāng)成變力F(t),此時(shí)模型可視為受到變力F(t)及重力的一維彈簧振子.

    受到變力F(t)及重力的一維彈簧振子,在每一瞬間都可看成簡(jiǎn)諧振動(dòng),設(shè)彈簧振子在某時(shí)刻t相對(duì)平衡位置的位移為y1,則y1=x1-mgk-amt,代入②得

    y··1+kmy1=0.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可算出y1通解,進(jìn)而計(jì)算出x1通解,此為解法一的思路.

    已知只受重力的一維彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),所以此時(shí)可將彈簧振子的運(yùn)動(dòng)看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)和變速運(yùn)動(dòng)的疊加.設(shè)只受重力的彈簧振子相對(duì)平衡位置的位移為y2,則y2=x1-mgk

    ,代入②,得

    y··2=kmy2=αmt

    .根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可算出y2通解,進(jìn)而計(jì)算出x1通解,此為解法二的思路.

    2.2解法三

    依題知

    mx··1=-kx1+mg+αt ②

    對(duì)②式的兩側(cè)分別求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)有

    mx···1=-kx·1+α③

    令y=x·1,則

    y··+kmy=αm④

    該方程所對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解可為

    y通=Acos(ωt+φ)

    式中A和φ為待定常量.此非齊次項(xiàng)顯然有下列形式的特解:

    y特=B

    式中B是待定常量.代入方程④可定出

    B=αmω2=αk⑤

    于是

    x·1=y=Acos(ωt+φ)+αk⑥

    故x··1=-Aωsin(ωt+φ),x1=Aωsin(ωt+φ)+αkt+C⑦

    式中C是待定常量.將⑦兩式代入②可定出

    C=mgk

    于是

    x1=Aωsin(ωt+φ)+αkt+mgk.⑧

    2.3解法四

    依題知

    mx··1=-kx1+mg+αt⑨

    對(duì)⑨式的兩側(cè)分別求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有

    mx····1=-kx··1⑩

    可得

    x··1=Acos(ωt+φ)

    式中A和φ為待定常量.將代入⑨得

    x1=-mAkcos(ωt+φ)+mgk+αkt

    以上為求x1(t)通解的多種方法.以第三種解法為例,根據(jù)已知的初始條件求出其定解:

    初始條件為

    x1(0)=mgk,x·1(0)=0

    由⑧得

    x1(0)=Aωsinφ+mgk=mgk

    φ=0,π

    由⑥有

    x·1(0)=Acosφ+αk=0

    A=-αkcosφ=±αk15

    A為振幅,取為非負(fù)值,且α、k均為正,因此

    cosφ=-αAk=-1

    可以定出

    A=αk,φ=π16

    因此有

    x1(t)=-αωksinωt+αkt+mgk17

    最后由胡克定律求出x2(t),具體如下

    F(t)=kx2(t)

    x2(t)=αkt.18

    3數(shù)理結(jié)合思維過(guò)程

    解法三、解法四均利用數(shù)理結(jié)合的思想,采用微分方程對(duì)物理問(wèn)題求解.在解決問(wèn)題的過(guò)程中合理利用數(shù)學(xué)工具,可避免復(fù)雜的思維過(guò)程,也可簡(jiǎn)化解題程序.

    運(yùn)用數(shù)理結(jié)合思維方法解決問(wèn)題時(shí),通常可采用以下過(guò)程:

    3.1邏輯思維為基礎(chǔ)

    競(jìng)賽的問(wèn)題解決過(guò)程中,清晰的邏輯思維非常重要.與常規(guī)物理問(wèn)題相比,競(jìng)賽題目通常更加復(fù)雜化、抽象化.因此,構(gòu)建清晰的邏輯思維框架是解決問(wèn)題所必備的條件.這要求參賽學(xué)生不僅要能夠準(zhǔn)確理解題目要求,還要能夠運(yùn)用物理定律和原理去構(gòu)建解決問(wèn)題的路徑.

    3.2物理模型精構(gòu)建

    對(duì)于物理競(jìng)賽,構(gòu)建合適、精巧的物理模型是解決問(wèn)題的必備步驟.這要求參賽學(xué)生具備豐富的物理知識(shí)和敏銳的洞察力,能夠從復(fù)雜的題目條件中抽象出物理問(wèn)題的本質(zhì),進(jìn)而構(gòu)建出有效的物理模型.

    3.3方程建立詳求解

    構(gòu)建了物理模型之后,參賽學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的思想建立方程,并求解.在這個(gè)過(guò)程中,不僅要考慮方程的準(zhǔn)確性,還要考慮解題的效率.對(duì)于復(fù)雜的方程,需要學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi),熟練運(yùn)用物理知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、解題技巧進(jìn)行求解.這對(duì)學(xué)生靈活應(yīng)用物理及數(shù)學(xué)知識(shí)提出了更高的要求.

    3.4數(shù)學(xué)工具巧應(yīng)用

    物理競(jìng)賽在解決問(wèn)題的過(guò)程中往往涉及高等數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用,如微分方程、積分方程、線性代數(shù)等(解法三和解法四就是建立在微分方程的巧妙運(yùn)用上).熟練掌握這些數(shù)學(xué)工具,不僅能夠幫助參賽學(xué)生建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,還能夠使解題過(guò)程更加高效、準(zhǔn)確.

    3.5變量關(guān)系細(xì)分析

    對(duì)變量關(guān)系的深入分析是物理競(jìng)賽中重要的一環(huán).參賽學(xué)生需要綜合不同物理量之間的關(guān)系,了解它們?nèi)绾蜗嗷ビ绊?;同時(shí),在運(yùn)用邏輯思維的基礎(chǔ)上,將物理量按照符合邏輯的方式整理;通過(guò)對(duì)變量關(guān)系的仔細(xì)分析,找出物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而揭示復(fù)雜問(wèn)題的本質(zhì).這需要參賽學(xué)生對(duì)物理定律有深刻的理解.不僅要求變量關(guān)系本身符合物理原理,還要求對(duì)結(jié)果有深入的分析和合理的解釋.因此,扎實(shí)的物理基礎(chǔ)、清晰的邏輯思維再次展現(xiàn)了重要性.

    4結(jié)束語(yǔ)

    參與物理競(jìng)賽不僅是對(duì)參賽學(xué)生知識(shí)和技能的挑戰(zhàn),也是對(duì)他們邏輯思維、創(chuàng)新能力、問(wèn)題解決能力的全面鍛煉.在訓(xùn)練和參與競(jìng)賽的過(guò)程中,參賽學(xué)生可以接觸到更廣闊的物理領(lǐng)域,拓寬視野,增強(qiáng)對(duì)物理學(xué)的熱愛(ài)和興趣.同時(shí),奧賽也為參賽學(xué)生提供了一個(gè)展示自己物理邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)用水平的平臺(tái),為未來(lái)的學(xué)術(shù)和職業(yè)發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).競(jìng)賽是對(duì)參賽學(xué)生物理知識(shí)和綜合技能的高水平檢驗(yàn),要求參賽學(xué)生具備清晰的邏輯思維和熟練的數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具、構(gòu)建有效的物理模型、深入分析變量關(guān)系等過(guò)程,參賽學(xué)生可以更好地應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn),展現(xiàn)自己的才華和潛力.

    參考文獻(xiàn):[1]

    陳顯盈,尤愛(ài)惠.建構(gòu)不同物理模型提升學(xué)科核心素養(yǎng):以“2020年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第11題”為例[J].物理教師,2021,42(05):94-96.

    [2]全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽委員會(huì).全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽專輯2019[M].北京:北京大學(xué)出版社,2019.

    [3]黃國(guó)超.拓展思維空間 培養(yǎng)發(fā)散思維:以一物理競(jìng)賽試題為例[J].數(shù)理化解題研究,2021,19:89-90.

    [責(zé)任編輯:李璟]

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