多視角探討圓錐曲線中的面積最值問題

摘要：以圓錐曲線為背景的最值問題是近幾年高考及?？嫉臒狳c(diǎn)，其內(nèi)容豐富，涵蓋了代數(shù)、幾何及三角、向量等章節(jié)中的眾多知識(shí)，還涉及到許多解題技巧.容量大、綜合性強(qiáng)、相互滲透是最值問題的基本特征，往往考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；面積；最值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0002-04

圓錐曲線中含參的三角形面積最值的求解是高考及?？嫉某？碱}型.它有效考查圓錐曲線的性質(zhì)，解析幾何中設(shè)而不求、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，符合課程標(biāo)準(zhǔn)中“對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求[1].下文以橢圓為載體例析圓錐曲線中三角形面積的最值求法.

1試題呈現(xiàn)

題目已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=22，過點(diǎn)F2作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF1的周長(zhǎng)為42.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，求△F1BC的面積的最大值.

2總體分析

本題是2023年11月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷測(cè)試第21題，是圓錐曲線壓軸題.此題入口寬，可以設(shè)直線BC方程為切入點(diǎn)，結(jié)合A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，找到m，k之間的關(guān)系，得出直線BC過定點(diǎn)；可以選擇設(shè)直線AB方程為切入點(diǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推導(dǎo)直線BC的解析式，得出過定點(diǎn)；可以設(shè)直線的斜截式、點(diǎn)斜式、橫截式，再得出面積的解析式，最終求出面積的最大值.當(dāng)然，不同的處理方式，思維量不同，運(yùn)算量不同.

3試題解答

3.1第（1）問解析

解析橢圓E的方程為x22+y2=1.

3.2第（2）問解析

解法1以直線BC的斜截式方程為切入點(diǎn).

設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，B（x1，y1），

C（x2，y2），A（x2，-y2），

聯(lián)立y=kx+m，x2+2y2-2=0， 整理，得

（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0 ，且△>0.

即2k2-2m2+1>0.①

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-22k2+1.②

因?yàn)锳，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，所以AF2∥BF2.

而AF2=（1-x2，y2），BF2=（1-x1，-y1），

所以（1-x2）（-y1）-（1-x1）y2=0，

且y1=kx1+m，y2=kx2+m.

代入整理，得

2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0.

結(jié)合②，得

2k·2m2-22k2+1+（m-k）（-4k22k2+1）-2m=0，

解得m=-2k.

代入①易得k2<12.

此時(shí)直線BC方程為y=k（x-2）.

即直線BC過定點(diǎn)（2，0）.

弦長(zhǎng)|BC|=1+k2|x1-x2|，

點(diǎn)F1到BC距離為d=3|k|k2+1.

所以△F1BC的面積為

S=12|BC|·d

=32|k|（x1+x2）2-4x1x2

=3k2（2-4k2）（2k2+1）2.

設(shè)2k2+1=t>1，

則S=3（t-1）（2-t）t2

=3-2（1t-34）2+18

≤324，

當(dāng)1t=34，即k2=16（滿足k2<12）時(shí)，面積取最大值324.

評(píng)注此解法從直線BC方程的斜截式入手，結(jié)合A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的聯(lián)系，再借助于根與系數(shù)的關(guān)系，找到m，k之間的關(guān)系式，得出直線BC過定點(diǎn)，最后建立三角形面積的目標(biāo)函數(shù)，合理轉(zhuǎn)化及換元，得出面積的最大值.

解法2以直線AB的點(diǎn)斜式方程為切入點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x1，y1），

B（x2，y2），C（x1，-y1），

聯(lián)立y=k（x-1），x2+2y2-2=0， 整理，得

（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0 ，且△>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

通過觀察及計(jì)算易得

2x1x2=3（x1+x2）-4.③

BC的方程為y=y2+y1x2-x1（x-x1）-y1.

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

化簡(jiǎn)可得

y=kx2-x1［（x1+x2-2）x+x1+x2-2x1x2］.④

同時(shí)結(jié)合③繼續(xù)化簡(jiǎn)整理，得

y=k（x1+x2-2）x2-x1（x-2）.

所以直線BC過定點(diǎn)（2，0）.

下同解法1，面積的最大值為324.

評(píng)注此種設(shè)直線的方法是學(xué)生最容易想到的，但此解法計(jì)算量很大，尤其是借助于相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線BC的方程，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得出解析式④后，再結(jié)合③式得出直線BC過定點(diǎn)（2，0）是非常困難的.

解法3以直線AB的橫截式方程為切入點(diǎn).

設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），

聯(lián)立x=ty+1，x2+2y2-2=0， 整理，得

（t2+2）y2+2ty-1=0 ，且△>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

y1+y2=-2tt2+2，y1y2=-1t2+2.

通過觀察及計(jì)算易得

y1+y2=2ty1y2.⑤

BC的方程為y=y2+y1x2-x1（x-x1）-y1，

又x1=ty1+1，x2=ty2+1，

同時(shí)結(jié)合⑤化簡(jiǎn)整理，得

y=y1+y2t（y2-y1）（x-2）.

所以直線BC過定點(diǎn)（2，0）.

不妨設(shè)BC的方程為x=my+2，

聯(lián)立x=my+2，x2+2y2-2=0，整理，得

（m2+2）y2+4my+2=0.

所以yB+yC=-4mm2+2，yByC=2m2+2.

點(diǎn)F1到BC距離為d=3m2+1，

所以△F1BC的面積為

S=12|BC|·d

=121+m2|yB-yC|·d

=32（yB+yC）2-4yByC

=32m2-2（m2+2）2.

設(shè)m2+2=λ>2，

則S=32λ-4λ2

=32-4（1λ-18）2+116

≤324，

當(dāng)1t=18，即m2=6時(shí)，面積取最大值324.

評(píng)注受到解法2的啟發(fā)，設(shè)直線AB的橫截式方程，發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系中的y1y2與y1+y2更直觀簡(jiǎn)潔，直線BC的處理方法與解法2異曲同工，簡(jiǎn)化解析式后代入相應(yīng)的根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不再贅述.

解法4以直線BC的橫截式方程為切入點(diǎn).

設(shè)直線BC的方程為x=ty+n，B（x1，y1），

C（x2，y2），A（x2，-y2），

聯(lián)立x=ty+n，x2+2y2-2=0， 整理，得

（t2+2）y2+2tny+n2-2=0 ，且△>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

y1+y2=-2tnt2+2，y1y2=n2-2t2+2.⑥

因?yàn)锳，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，所以AF2∥BF2.

而AF2=（1-x2，y2），BF2=（1-x1，-y1），

所以（1-x2）（-y1）-（1-x1）y2=0，

且x1=ty1+n，x2=ty2+n.

代入整理，得2ty1y2+（n-1）（y1+y2）=0.

結(jié)合⑥，得

2t·n2-2t2+2+（n-1）（-2tnt2+2）=0，

解得n=2.

所以直線BC過定點(diǎn)（2，0）.

下同解法1或解法2，面積的最大值為324.

評(píng)注此法從設(shè)直線BC的橫截式

方程入手，結(jié)合A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，與解法1處理方式相似，但計(jì)算量明顯減少很多.

解法5以直線AB的點(diǎn)斜式方程和平面向量為突破口.

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），

結(jié)合解法2得x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

所以BF1=（-1-x2，-y2），CF1=（-1-x1，y1），

△BCF1的面積

S=12|（-1-x2）y1-（-1-x1）（-y2）|

=12|（1+x2）y1+（1+x1）y2|

=12|（1+x2）·k（x1-1）+（1+x1）·k（x2-1）|

=|k（x1x2-2）|

=|3k2k2+1|

=32|k|+1/|k|

≤322=324.

故面積的最大值為324.

評(píng)注此法需要用到向量坐標(biāo)表示時(shí)的面積公式，簡(jiǎn)述如下：△ABC中，已知AB=（x1，y1），AC=（x2，y2），則△ABC的面積為S=12|x1y2-x2y1|.具體證明思路為：利用向量的數(shù)量積求出cos∠BAC，轉(zhuǎn)化為正弦后代入面積公式，進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理可得.感興趣的同仁們不妨一試！此公式在2022年新高考Ⅰ卷解析幾何大題中也可以使用.

4試題鏈接

（哈師大附中2021年高三期末試題20）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，若橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)也為F，離心率為12.

（1）求拋物線方程和橢圓方程；

（2）若不經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且OA·OB=-3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，求△CDF面積的最大值.

簡(jiǎn)析（1） 拋物線方程為y2=4x，橢圓方程為x24+y23=1.

（2）設(shè)直線l的方程為my=x+n，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合OA·OB=-3可求出n，再聯(lián)立直線與橢圓，即可求出弦長(zhǎng)表示出△CDF的面積，合理換元，最終求出最值233.

5結(jié)束語

圓錐曲線中的最值問題類型較多，方法靈活多變.基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系，關(guān)鍵是選一個(gè)合適的變量，原則是該變量可以表達(dá)要解決的問題，可以是直線的斜率、截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，同時(shí)需要借助二次函數(shù)求最值、判別式、基本不等式或?qū)?shù)法來解決，要根據(jù)不同的實(shí)際情況靈活處理.解析幾何變換多，思維量大，需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，還要多一些細(xì)心、耐心，才能學(xué)好解析幾何[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］

陳崇榮.圓錐曲線中三角形面積的最值求法探析[J].高中數(shù)理化，2014（21）：23-24.

[2]王國松.橢圓中面積最值問題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（14）：41-43.

［責(zé)任編輯：李璟］