帶電粒子在疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題分類(lèi)例析

摘要：通過(guò)對(duì)電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及重力場(chǎng)等疊加情況的分析，結(jié)合具體實(shí)例，運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法，闡述了帶電粒子在不同疊加場(chǎng)中的不同運(yùn)動(dòng)形式和特點(diǎn)，為解決此類(lèi)問(wèn)題提供了系統(tǒng)的方法和思路.

關(guān)鍵詞：帶電粒子；疊加場(chǎng)；分類(lèi)例析

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0108-03

帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是物理學(xué)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，它涉及電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)等多種場(chǎng)的相互作用.深入研究帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于理解物理現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題以及推動(dòng)相關(guān)技術(shù)的發(fā)展都具有重要的意義.

1帶電粒子在疊加場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)

例1如圖1，足夠長(zhǎng)柱形絕緣直桿與水平面間夾角θ=30°，直桿處于垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，桿上套有一個(gè)帶電量為-q、質(zhì)量為m的小球，小球孔徑略大于桿的直徑，球與直桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=34.現(xiàn)將小球由靜止釋放，當(dāng)小球下滑距離x1時(shí)其加速度最大，當(dāng)球再下滑距離x2時(shí)其速度剛好達(dá)到最大，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.小球的最大加速度為g8

B.小球的最大速度為3mg6qB

C.小球下滑距離x1過(guò)程中克服摩擦力做的功Wf1=mgx1-3m2g28q2B2

D.小球下滑距離x2過(guò)程中克服摩擦力做的功為Wf2=mgx22-5m3g23q2B2

解析根據(jù)題意可知，當(dāng)其加速度最大時(shí)，沿桿方向合力最大，摩擦力為零，此時(shí)mgsinθ=ma，解得最大加速度a=12g，故A錯(cuò)誤；當(dāng)速度最大時(shí)，合力為零，即mgsinθ=μ（qvB-mgcosθ），解得最大速度v=73mg6qB，故B錯(cuò)誤；小球下滑距離x1時(shí)qv1B=mgcosθ ，mgx1sinθ-Wf1=12mv21，解得Wf1=12mgx1-3m3g28q2B2，故C錯(cuò)誤；小球下滑距離x2過(guò)程中mgx2sinθ-Wf2=12mv2-12mv21，解得Wf2=mgx22-5m3g23q2B2，故D正確.

點(diǎn)評(píng)本題是帶約束條件的疊加場(chǎng)問(wèn)題，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除了受到重力和洛倫茲力外，還受到桿對(duì)小球的支撐力和摩擦力，在疊加場(chǎng)中小球做加速直線運(yùn)動(dòng)，速度增大，洛倫茲力增大，支持力減小，摩擦力減小，合力增大，加速度增大.這類(lèi)變速直線運(yùn)動(dòng)需要緊扣題目的已知條件，根據(jù)平衡方程或功能關(guān)系求解[1].

2帶電粒子在疊加場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

例2如圖2所示，頂角為2θ的光滑絕緣圓錐，置于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)有質(zhì)量為m，帶電量為-q的小球，沿圓錐面在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（）.

A.從上往下看，小球做順時(shí)針運(yùn)動(dòng)

B.洛侖茲力提供小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力

C.小球有最小運(yùn)動(dòng)半徑R=4mgB2q2tanθ

D.小球以最小半徑運(yùn)動(dòng)時(shí)其速度v=2mgBqtanθ

解析小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受重力、支持力和指向圓心的洛倫茲力，才能夠做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知從上往下看，小球做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng);重力、洛倫茲力與支持力的合力提供向心力，如圖3，根據(jù)牛頓第二定律，水平方向qvB-FNcosθ=mv2R，豎直方向FNsinθ-mg=0，聯(lián)立可得mv2R-qvB+mgcotθ=0，因?yàn)樗俣葹閷?shí)數(shù)，所以Δ≥0，可得（qB）2-4mRmgcotθ≥0，解得R≥4m2gcotθq2B2，所以最小半徑為Rmin=4m2gcotθq2B2，可得小球以最小半徑運(yùn)動(dòng)時(shí)其速度v=2mgBqtanθ.故選D選項(xiàng).

點(diǎn)評(píng)小球在重力場(chǎng)和磁場(chǎng)的疊加環(huán)境中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要對(duì)小球進(jìn)行受力分析，然后尋找向心力的來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律即可求解.

3帶電粒子在疊加場(chǎng)中的變速圓周運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)

例3豎直平面內(nèi)建立如圖4所示的xOy直角坐標(biāo)系，在-L≤y<0的區(qū)域Ⅰ內(nèi)，存在著水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中均未畫(huà)出），在y<-L的區(qū)域Ⅱ內(nèi)，存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一個(gè)帶正電的小球從y軸上的P點(diǎn)以初速度v0水平向右拋出，僅在重力的作用下經(jīng)過(guò)x軸上的Q點(diǎn)，隨后沿直線運(yùn)動(dòng)穿過(guò)區(qū)域Ⅰ，通過(guò)M點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ做曲線運(yùn)動(dòng).已知OP的長(zhǎng)度與OQ的長(zhǎng)度之比為3∶2，小球的質(zhì)量為m，電荷量為+q，區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2與區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1滿足B2=14B1（B1、B2為未知量），重力加速度為g.

（1）求小球到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；

（2）求區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小和方向；

（3）若L=3v202g，從小球經(jīng)過(guò)M點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)經(jīng)過(guò)Δt=10πv03g時(shí)同時(shí)，求小球的位置坐標(biāo)（用v0、g表達(dá)）.

解析（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有x=v0t，y=12gt2，vy=gt，結(jié)合題目條件yx=32，解得vy=3v0，故Q點(diǎn)的速度大小v=v20+v2y，即v=2v0，其與水平方向的夾角為θ，則tanθ=vyv0，解得θ=60°，速度與水平方向成60°斜向右下方.

（2）粒子在區(qū)域Ⅰ受到重力、水平電場(chǎng)力、洛倫茲力的作用做直線運(yùn)動(dòng)，其受力分析如圖5所示.

根據(jù)平衡條件有qvB1cosθ=mg，解得B1=mgqv0.根據(jù)左手定則，B1的方向垂直于紙面向里.

（3）當(dāng)小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ時(shí)，受到重力和洛倫茲力的作用.將速度v分解為v1、v2，令v1產(chǎn)生的洛倫茲力與重力平衡，即qv1B2=mg，解得v1=4v0.則根據(jù)平行四邊形定則，可知v2=23v0，速度矢量分解圖如圖6所示 .

v2產(chǎn)生的洛倫茲力斜向右下方，受力分析如圖7所示 .

小球的曲線運(yùn)動(dòng)可看作4v0的水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和23v0的從M點(diǎn)開(kāi)始的逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，則qv2B2=mv22r，得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=83v20g .由周期T=2πrv2，得T=8πv0g .根據(jù)題目條件Δt=10πv03g=512T.故圓周運(yùn)動(dòng)在水平方向上引起的向右的位移Δx1=12r，豎直方向引起的向下的位移Δy=（32+1）r；勻速直線運(yùn)動(dòng)引起的向右的水平位移Δx2=v1Δt .根據(jù)幾何關(guān)系，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（33v202g，-3v202g），故水平位置坐標(biāo)x=xM+Δx1+Δx2，豎直位置坐標(biāo)y=yM-Δy.解得小球的位置坐標(biāo)為（1132+40π3）v20g，-（272+83）v20g.

點(diǎn)評(píng)本例屬于帶電小球在疊加場(chǎng)和組合場(chǎng)中的變速圓周運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.解決組合場(chǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，是根據(jù)題設(shè)條件求解從一個(gè)區(qū)域進(jìn)入另一個(gè)區(qū)域交接點(diǎn)處速度的大小和方向.帶電小球在疊加場(chǎng)中做較復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要對(duì)小球進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，根據(jù)題中給定的關(guān)鍵信息（如本題第三問(wèn)中的L和Δt），結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)和類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解[2].

4結(jié)束語(yǔ)

帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的物理問(wèn)題，需要學(xué)生熟練掌握電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)的性質(zhì)，以及帶電粒子在這些場(chǎng)中的受力和運(yùn)動(dòng)規(guī)律.通過(guò)準(zhǔn)確的受力分析、合理的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判斷和恰當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律運(yùn)用，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算，才能夠有效地解決這類(lèi)問(wèn)題[3].同時(shí)，隨著科技的不斷發(fā)展，對(duì)于帶電粒子在疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的研究也將不斷深入，為相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和應(yīng)用提供更有力的理論支持.

參考文獻(xiàn)：［1］

彭煥靈.帶電粒子在“疊加場(chǎng)”的運(yùn)動(dòng)分析[J].高中數(shù)理化，2011（16）：33-34.

[2]胡連冬.帶電粒子在正交疊加場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的研究[J].數(shù)理化解題研究，2020（04）：57-59.

[3]張錦科.帶電粒子（體）在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類(lèi)析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2011（Z1）：55-59.

［責(zé)任編輯：李璟］