用賦值法解決含雙參數(shù)不等式恒成立條件下的最值問題

摘要：含雙參數(shù)的不等式恒成立問題是一類綜合性很強的問題，在高考或者各類模擬考試中經(jīng)常出現(xiàn).利用逆向思維，用賦值法可以比較快捷地解決含雙參數(shù)不等式恒成立條件下的三類最值問題，能夠優(yōu)化解題思維.

關(guān)鍵詞：雙參數(shù)；不等式；恒成立；逆向思維；賦值法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0099-03

含雙參數(shù)不等式恒成立問題是一類常見的典型問題，參考文獻[1]提出了利用統(tǒng)一變量構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，非常實用.筆者研究發(fā)現(xiàn)，在合適的條件下，利用逆向思維，采取賦值加證明的方法也能解決含雙參數(shù)不等式恒成立條件下的最值問題，而且解題過程比較簡潔.

為了敘述方便，以下幾個常用的函數(shù)不等式不難證明，作為結(jié)論直接應(yīng)用.

（1）x∈R時，ex≥x+1；

（2）x∈R時，ex≥ex；

（3）x>0時，lnx≤x-1.

1含雙參數(shù)和差型表達式的最值問題

例1已知a，b為實數(shù)，不等式2ex≥2ax+b對于x∈R恒成立，求a+b的最大值.

分析一般情況下是先求當x變化時b的最大值（與a有關(guān)），再將a+b放大為含單變量a的表達式f（a），然后求f（a）的最大值即可.在該問題中，不妨逆向思考，首先在原不等式中對x取特殊值，得到目標式a+b的不等式（這是必要條件e8e2a49c56591e129a475eb152010d82），在此結(jié)果的引導(dǎo)下，尋求a+b的最大值.

解析令x=12，得到a+b≤2e（再尋求可以使得a+b=2e的條件，對不等式兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，令x=12時兩邊的導(dǎo)數(shù)值相等，取a=b=e）.

令a=b=e，則容易證明2ex≥2ex+e等價于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.

由（1）知此不等式對x∈R恒成立.

所以a+b的最大值為2e.

探究1條件不變，如何求2a+b的最大值？上述方法還有效嗎？

令x=1，得到2a+b≤2e，取a=e，b=0，由不等式（2）知2ex≥2ex對x∈R恒成立，所以2a+b的最大值為2e.

探究2條件不變，λ為正常數(shù)，如何求λa+b的最大值？

令x=λ2，得到λa+b≤2eλ2，取a=eλ2，b=（2-λ）eλ2，則2ex≥2ax+b化成2ex≥2eλ2x+（2-λ）eλ2，等價于ex-λ2≥x-λ2+1，由（1）知此不等式成立.

所以λa+b的最大值為2eλ2.

探究3條件不變，如何求a-b的最小值？

由探究2的過程，看成λ=-1，令x=-12，可以得到-a+b≤2e-12.

所以a-b的最小值為-2e-12.

探究4條件不變，μ為正常數(shù)，如何求μa-b的最小值？

令x=-μ2，得到-μa+b≤2e-μ2，取a=e-μ2，b=（2+μ）e-μ2，則2ex≥2ax+b化成2ex≥2e-μ2x+（2+μ）e-μ2，等價于ex+μ2≥x+μ2+1，由（1）知此不等式成立.所以μa-b的最小值為-2e-μ2.

2含雙參數(shù)乘積型表達式的最值問題

例2（2012年全國新課標理改編）已知a，b為實數(shù)，不等式ex≥（a+1）x+b對于x∈R恒成立，求（a+1）b的最大值.

分析此問題中a+1的符號比較關(guān)鍵，從x→-∞時函數(shù)的變化趨勢來看，a+1<0時原不等式不恒成立，a+1=0時，（a+1）b=0不會達到最大值，a+1>0時，常規(guī)方法還是首先確定當x變化時b的最大值（與a有關(guān)），再將（a+1）b放大為含單變量a的表達式f（a），然后求f（a）的最大值即可.不妨逆向思考，首先在原不等式的基礎(chǔ)上，通過不等式變形，造出（a+1）b，然后再尋求最大值.

解析當a+1<0時，取x=-1+|b|+1a+1，e-1+|b|+1a+1<1，但是

（a+1）x+b=|b|+1+b-（a+1）≥1-（a+1）>1，原不等式不恒成立，矛盾；當

a+1=0時，（a+1）b=0；當

a+1>0時，主要考慮b>0的情形，x>0時，

ex≥（a+1）x+b≥2（a+1）xb，得到2（a+1）b≤e2x2x對x>0恒成立.

不難求出x>0時，e2x2x的最小值為e.

所以有（a+1）b≤e2，當x=12時取得等號.

特別地，當a+1=e，b=e2時，ex≥（a+1）x+b等價于ex≥ex+e2，即ex-12≥x+12.由不等式（1）知此不等式成立.所以（a+1）b的最大值為e2.

探究5已知a>0，b>0，ex≥ax+b對x>0恒成立，k∈N*，k為常數(shù)，求akb的最大值.

解析x>0時由均值不等式，得

ex≥ax+b=axk+axk+axk+…+axk+b

≥（k+1）k+1（axk）kb，

兩邊同時k+1次方，得

e（k+1）x≥（k+1）k+1akbxkkk.

所以（k+1）k+1·akbkk≤e（k+1）xxk對x>0恒成立.

設(shè)f（x）=e（k+1）xxk，x>0，

f ′（x）=e（k+1）x·（k+1）x-kxk+1，

當x=kk+1時，f（x）取得最小值

（k+1）kekkk.

所以（k+1）kekkk≥（k+1）k+1akbkk.

得到akb≤ekk+1［1］.

特別地，取a=ekk+1，b=ek/（k+1）k+1，ex≥ax+b等價于ex≥ekk+1x+ek/（k+1）k+1，也即ex-kk+1≥x+1k+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以akb的最大值為ekk+1.

探究6已知a>0，b>0，ex≥ax+b對x>0恒成立，m，n∈N*，m，n為常數(shù)，求ambn的最大值.

解析x>0時由均值不等式，得

ex≥ax+b=axmm+bnn≥（m+n）m+nambnmmnnxm.

也即e（m+n）x≥（m+n）m+n·ambnmmnnxm.

即（m+n）m+n·ambnmmnn≤e（m+n）xxm對x>0恒成立.

設(shè)f（x）=e（m+n）xxm，則

f ′（x）=e（m+n）xxm+1［（m+n）x-m］，

當x=mm+n時，f（x）取得最小值em（m+n）mmm.

所以（m+n）m+n·ambnmmnn≤em（m+n）mmm

所以ambn≤nnem（m+n）n.

特別地，取a=emm+n，b=nm+nemm+n，得

ambn=nnem（m+n）n.

ex≥ax+b等價于ex≥emm+nx+nm+nemm+n，

等價于ex-mm+n≥x+nm+n.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ambn的最大值為nnem（m+n）n.

3含雙參數(shù)商型表達式的最值問題

例3已知a>0，b>0，aex≥x+b對x∈R恒成立，求ab的最小值.

解析在aex≥x+b中，令x=0，得到a≥b，即ab≥1.

特別地，令a=b=1，則ab=1，aex≥x+b等價于ex≥x+1.

由不等式（1）知此不等式成立.

所以ab的最小值為1.

例4已知a>0，b>0，lnx-ex-2ax+b≤0對x>0恒成立，求ba的最大值.

解析在lnx-ex-2ax+b≤0中令x=e，得到

b≤2ae，ba≤2e.

特別地，取a=1e，b=2，

lnx-ex-2ax+b≤0化成lnx-ex-2ex+2≤0.

設(shè)f（x）=lnx-ex-2ex+2，則

f ′（x）=-（2x+e）（x-e）ex2，

當x=e時，f（x）取得最大值f（e）=0.

所以lnx-ex-2ex+2≤0成立.

也即ba的最大值為2e.

4結(jié)束語

上述在解決含雙參數(shù)不等式恒成立條件下的最值問題中，所用的賦值法的本質(zhì)是首先用特殊狀態(tài)探求目標式范圍的必要性，然后再取特殊的雙參數(shù)證明目標式取得最值的充分性，邏輯順序是先探后證.對于文中所提到的幾類最值問題，賦值法簡潔高效.

參考文獻：

［1］

紀明亮.統(tǒng)一變量構(gòu)造函數(shù)解決雙參數(shù)恒成立問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（05）：12-14.

［責任編輯：李璟］