一道2023年高考題的深入探討

摘要：文章對(duì)2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷的第9題進(jìn)行探究，給出兩種解法，并對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行深入探討，得到一個(gè)相關(guān)推廣命題的兩種嚴(yán)格證明.

關(guān)鍵詞：新高考；樣本的數(shù)字特征；平移不變性；情境

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0095-04

2023年新高考Ⅰ卷第9題是多項(xiàng)選擇題，試題考查樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征：樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、極差概念的理解.不僅注重試題的基礎(chǔ)性，而且使基礎(chǔ)知識(shí)的考查和能力的考查有機(jī)結(jié)合，較好地體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)中數(shù)字特征的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查，對(duì)于考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，尋找合理的解題策略有較高的要求.筆者對(duì)此題進(jìn)行解答，對(duì)并選項(xiàng)C進(jìn)行深入探討，與大家分享.

1試題的呈現(xiàn)與解答

題目有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）.

A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)

B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)

C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

解法1對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為m，x1，x2，…，x6的平均數(shù)為n，則

n-m=x1+x2+…+x66

-x2+x3+x4+x54

=2（x1+x6）-（x2+x3+x4+x5）12.

因?yàn)椴荒艽_定2（x1+x6）與x2+x3+x4+x5的大小關(guān)系，所以無法判斷m，n的大小，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)，均為x3+x42，故B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度和波動(dòng)程度，直觀上看，去掉數(shù)據(jù)的最小值x1，最大值 x6，標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)變大.特別地，當(dāng)x1<x6，且x2=

x3=x4=x5時(shí)，x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差大于零，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于零，此時(shí)x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x6-x1≥x5-x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2，x5=x6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

故選BD.

解法2本題作為多項(xiàng)選擇題也可以用排除法作答：取x1，x2，…，x6為1，1，1，1，1，7，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為1，x1，x2，…，x6的平均數(shù)為2，故A錯(cuò)誤；

x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差為0，x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差顯然大于0，故C錯(cuò)誤.

故選BD.

2選項(xiàng)C的深入探究

選項(xiàng)C表明：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6去掉最大值和最小值后，標(biāo)準(zhǔn)差不大于原來的標(biāo)準(zhǔn)差.這個(gè)事實(shí)看起來自然，但應(yīng)如何嚴(yán)格證明呢？

《高考試題分析》第150頁(yè)至151頁(yè)提供了一種證法，為了比較不同證法之間的差異，將其證明過程摘錄如下（作為證法1）［1］.

證法1（1）若x1，x2，…，x6全相等，則x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差，都為0.

（2）若x1，x2，…，x6不全相等，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，且x-=16（x1+x2+…+x6）=0（否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-）.此時(shí)必有x1<0，x6>0.記x1，x2，…，x6標(biāo)準(zhǔn)差為s1，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差為s2.

（?。┤魓1<0≤x2≤x3≤…≤x6，則

x6=-（x1+x2+…+x5）≤-x1=|x1|，

且當(dāng)2≤i≤5時(shí)，有0≤xi≤x6.

故x2≤15（x2+…+x6）=-15x1<-x1=|x1|.

故∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅱ）若x1≤x2≤0≤x3≤…≤x6，則

當(dāng)3≤i≤5時(shí)，有0≤xi≤x6，且

x3≤14（x3+…+x6）=-14（x1+x2）

≤-12x1<-x1=|x1|.

故∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅲ）若x1≤…≤x5≤0≤x6，與（?。╊愃瓶傻谩?i=2x2i<2（x26+x21）.

（ⅳ）若x1≤…≤x4≤0≤x5≤x6，與（ⅱ）類似可得∑5i=2x2i<2（x26+x21）.

綜上，在（?。?（ⅳ）的情況下，有∑5i=2x2i<2（x26+x21）成立，從而

s22=14∑5i=2x2i-（-x1+x64）2=16∑5i=1x2i+112［∑5i=2x2i-2（x21+x26）］-（x1+x64）2<16∑5i=1x2i=s21.

因此在（ⅰ）-（ⅳ）的情況下，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

（ⅴ）若x1≤x2≤x3≤0≤x4≤x5≤x6，則

x23≤x22≤x21，x24≤x25≤x26.

從而s22≤14∑5i=2x2i≤16∑5i=1x2i=s21，

二者相等當(dāng)且僅當(dāng)s22=14∑5i=2x2i=16∑5i=1x2i，也即x1=x2=x3=-x4=-x5=-x6.

因此在（ⅴ）情況下，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=-x4

=-x5=-x6時(shí)，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

綜合上述討論，x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于或等于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

評(píng)注證法1有幾個(gè)難點(diǎn)：①為什么可取x-=16（x1+x2+…+x6）=0？②“否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-”是什么意思？③等式s22=14∑5i=2x2i-（-x1+x64）2省略較多的步驟，較難看懂.④證明過程要分多種情況進(jìn)行討論，思維難度大.

有沒有更易理解的證法呢？下面考慮

x1≤x2≤…≤xn（n≥3）個(gè)數(shù)據(jù)的情形：

命題設(shè)x1≤x2≤…≤xn（n≥3），記x=x1+x2+…+xnn，x-=x2+x3+…+xn-1n-2，s21=

1n∑nk=1（xk-x）2，s22=1n-2∑n-1k=2（xk-x-）2，則s22≤s21.

為了更好地證明上述命題，先給出三個(gè)引理：

引理1設(shè)x1，x2，…，xn的方差為s2x，y1，y2，…，yn的方差為s2y，其中yi=xi+b（i=1，2，…，n），b為非零常數(shù)，則s2x=s2y.

引理1的證明設(shè)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x-，則x-=1n∑ni=1xi，s2x=1n∑ni=1（xi-x-）2.

因?yàn)閥i=xi+b（i=1，2，…，n），

所以y1，y2，…，yn的平均數(shù)為

y-=1n∑ni=1（xi+b）=1n∑ni=1xi+b=x-+b.

從而s2y=1n∑ni=1［（xi+b）-（x-+b）］2

=1n∑ni=1（xi-x-）2=s2x.

評(píng)注引理1實(shí)際上是教材（人教A版2019年版）必修第二冊(cè)213頁(yè)練習(xí)題的第2題，此性質(zhì)稱為方差的平移不變性.

引理2設(shè)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x-，方差為s2，x21，x22，…，x2n的平均數(shù)為m，則s2=m-x-2.

引理2的證明因?yàn)閙=1n（∑nk=1x2k），所以

s2=1n∑nk=1（xk-x-）2=1n［（∑nk=1x2k）-nx-2］=1n（∑nk=1x2k）-x-2=m-x-2.

引理3對(duì)于x1≤x2≤…≤xn（n≥3），且x1+x2+…+xn=0，則∑nk=1x2k≤n2（x21+x2n）.

引理3的證明因?yàn)閤1≤x2≤…≤xn，且x1+x2+…+xn=0，當(dāng)x1=xn時(shí)，則x1=x2=…=xn=0，引理顯然成立.

當(dāng)x1≠xn時(shí)，則必有x1<0<xn.

設(shè)A（x1，x21），B（xn，x2n），則直線AB的斜率為

k=x2n-x21xn-x1=xn+x1，

直線AB方程為y=（xn+x1）x-x1xn.

由于函數(shù)y=x2是下凸函數(shù)，可知點(diǎn)（xk，x2k）

（k=1，2，…，n）在割線AB的下方或在割線上，于是

x2k≤（xn+x1）xk-x1xn.

所以∑nk=1x2k≤（xn+x1）∑nk=1xk-nx1xn=-nx1xn≤n×x21+x2n2=n2（x21+x2n），等號(hào)當(dāng)xk∈{x1，xn}，且x1+xn=0時(shí)取得.

下面證明命題.

證法2由x1≤x2≤…≤xn（n≥3），根據(jù)方差的平移不變性（引理1），不妨設(shè)最大值xn=A，最小值x1=-A（A≥0）.

記x-=x2+x3+…+xn-1n-2，

y-=x22+x23+…+x2n-1n-2，

s22=1n-2∑n-1k=2（xk-x-）2，

由引理2，得s22=y--x-2.

因?yàn)閤1，x2，…，xn的平均數(shù)為

（n-2）x-+A+（-A）n=（n-2）x-n，

x21，x22，…，x2n的平均數(shù)為（n-2）y-+2A2n.

由引理2，可得x1，x2，…，xn的方差

s21=（n-2）y-+2A2n-［（n-2）x-n］2.

因?yàn)锳是最大值，所以A2≥y-，且n≥3.

于是s21-s22=（n-2）y-+2A2n-［（n-2）x-n］2-（y--x-2）=2（A2-y-）n+4（n-1）x-2n2≥0.

所以s22≤s21，命題得證.

證法3由x1≤x2≤…≤xn（n≥3），則

x=x1+x2+…+xnn=1n∑nk=1xk.

設(shè)yi=xi-x=xi-1n∑nk=1xk（i=1，2，…，n），

則有y1≤y2≤…≤yn（n≥3），且

y1+y2+…+yn=∑nk=1yk=∑nk=1xk-nx=∑nk=1xk-n×1n∑nk=1xk=0.

記y=y1+y2+…+ynn=1n∑nk=1yk=0，

y-=y2+y3+…+yn-1n-2，

s2y1=1n∑nk=1（yk-y）2，

s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2.

由引理3，可得y21+y2n≥2n∑nk=1y2k.

由引理2，得

s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2.

所以s2y2=1n-2∑n-1k=2（yk-y-）2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2

≤1n-2∑n-1k=2y2k

=1n-2

［（∑nk=1y2k）-（y21+y2n）］

≤1n-2·［（∑nk=1y2k）-2n∑nk=1y2k］

=1n-2×n-2n∑nk=1y2k

=1n∑nk=1y2k=1n∑nk=1（yk-y）2=s2y1.

又根據(jù)方差的平移不變性（引理1），可得

s21=s2y1，s22=s2y2.

所以s22≤s21.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取等條件為所有數(shù)均相等；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取等條件為一半數(shù)為最大數(shù)且另一半數(shù)為最小數(shù).

綜上所述，命題得證.

評(píng)注①當(dāng)x1≤x2≤…≤x6時(shí)，由命題可知，x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，…，x6的方差，即x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差（取等條件是一半數(shù)為最大數(shù)且另一半數(shù)為最小數(shù)），所以原試題的選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的.②對(duì)比三種證法，證法2與證法3不需要分類討論，證明更具一般性，證法2的證明過程直觀、簡(jiǎn)潔；證法3所用的引理3，結(jié)合下凸函數(shù)、直線方程與均值不等式等相關(guān)知識(shí)，證法新穎獨(dú)到，別具一格.此外，證法3還說明了證法1中“且x-=16（x1+x2+…+x6）=0（否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-）”的原因.

3結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中多次出現(xiàn)“情境”一詞，《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》也規(guī)定了高考的考查載體——情境，并以此承載考查內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)考查要求.數(shù)學(xué)情境是高考評(píng)價(jià)體系中最重要的創(chuàng)新之一，是實(shí)現(xiàn)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的考查目標(biāo)的載體.數(shù)學(xué)試題情境一般取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問題，貼近學(xué)生實(shí)際，具有現(xiàn)實(shí)意義，具備研究?jī)r(jià)值.本題的情境是學(xué)生所熟悉的，源于比賽或評(píng)比中常用的“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”的計(jì)分方式，引導(dǎo)考生從數(shù)學(xué)上思考這種計(jì)分方式的合理性.對(duì)于選項(xiàng)C，去掉最高分和最低分后，新樣本的標(biāo)準(zhǔn)差總是不大于原標(biāo)本的標(biāo)準(zhǔn)差，且在很多情形下，小于原樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，這符合考生的直觀判斷，也說明了在比賽去掉最高分和最低分后，總的來說可能降低數(shù)據(jù)的分散程度和波動(dòng)性，從而提高評(píng)分的合理性.

參考文獻(xiàn)：

［1］

教育部教育考試院.高考試題分析：數(shù)學(xué)（2024年版）[M].北京：語(yǔ)文出版社，2023.

［責(zé)任編輯：李璟］