淺析高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)卷中的構(gòu)造函數(shù)問題

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它要求學(xué)生具備較強的綜合能力，考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).文章針對高中數(shù)學(xué)解題中如何有效應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法作探討， 并羅列部分實例， 便于學(xué)生靈活應(yīng)對新高考中的函數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造函數(shù)；解題應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0079-03

2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷首次采用19題的新題型試卷， 新結(jié)構(gòu)卷進一步加大解答題比重， 增加思維量， 第19題涉及數(shù)論、競賽等高等數(shù)學(xué)背景， 從而增加區(qū)分度， 更好地服務(wù)于選才.原先的導(dǎo)數(shù)壓軸題前置， 這也意味著以導(dǎo)數(shù)為基點的函數(shù)問題更需要引起一線教師和學(xué)生的注意， 它將不再是高不可攀的難題， 而是能檢測學(xué)生知識掌握情況的中檔題甚至是基礎(chǔ)題.

1以切線為背景的構(gòu)造函數(shù)問題

例1已知函數(shù)f（x）=ex-1，g（x）=ax2， 若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f（x）， y=g（x）圖象均相切， 則實數(shù)a的取值范圍是.

解析由題意可知：a≠0.設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1圖象上的切點坐標(biāo)為（x1，ex1-1）， 函數(shù)g（x）=ax2圖象上的切點坐標(biāo)為（x2，ax22）， 且f ′（x）=ex-1， g′（x）=2ax， 則公切線的斜率ex1-1=2ax2， 可得x2=ex1-12a.

則公切線方程為y-ex1-1=ex1-1（x-x1）.

代入（x2，ax22），得ax22-ex1-1=ex1-1（x2-x1）.

代入x2=ex1-12a可得

a（ex1-12a）2-ex1-1=ex1-1（ex1-12a-x1）.

skddsyjf8bJIiMDOA8qg1w==整理，得14a=x1-1ex1-1.令t=x1-1， 則14a=tet.

若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f（x）， y=g（x）圖象均相切， 則方程14a=tet有兩個不同的實根， 設(shè)h（x）=xex， 則h′（x）=1-xex.

令h′（x）>0， 解得x<1；令h′（x）<0， 解得x>1.則h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增， 在（1，+∞）單調(diào)遞減， 可得h（x）≤h（1）=1e， 且當(dāng)x趨近于-∞時， h（x）趨近于-∞；當(dāng)x趨近于+∞時， h（x）趨近于0， 可得0<14a<1e， 解得a>e4.

故實數(shù)a的取值范圍為（e4，+∞）.

反思涉及公切線問題一般先設(shè)切點坐標(biāo)， 根據(jù)切線相同得到方程組， 將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程， 再參變分離， 構(gòu)造新函數(shù)， 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題， 即可求出參數(shù)的取值范圍.

2構(gòu)造函數(shù)處理不等關(guān)系

例2設(shè)a=ln1.01，b=1101，c=tan0.01，則（）.

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析令f（x）=tanx-x（0<x<π2）， 則f ′（x）=1cos2x-1=1-cos2xcos2x=tan2x>0在區(qū)間（0，π2）上恒成立.即f（x）=tanx-x在區(qū)間（0，π2）上單調(diào)遞增.故f（x）>f（0）=0.即tanx>x.

故c=tan0.01>0.01=1100>1101=b.

令g（x）=x-ln（1+x）（x>0）， 則g′（x）=1-11+x=x1+x>0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，即g（x）=x-ln（1+x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.故g（x）>g（0）=0.即x>ln（x+1）（x>0）.故0.01>ln（0.01+1）=ln1.01=a.故c>a.

令h（x）=lnx+1x-1（x>1）， 則h′（x）=1x-1x2=x-1x2>0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.即h（x）=lnx+1x-1在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.故h（x）>h（1）=0.即lnx>1-1x.故a=ln1.01>1-11.01=1101=b.故c>a>b.故選D.

反思通過構(gòu)造函數(shù)比較大小， 利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系， 分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 利用單調(diào)性即可比較出函數(shù)值的大小， 從而求出結(jié)果.注意常見切線放縮不等式和泰勒展開公式的運用可以加快判斷[1].

3構(gòu)造函數(shù)解決最值問題

例3已知正四棱錐P-ABCD的頂點均在球O的表面上.若正四棱錐的體積為1， 則球O體積的最小值為.

解析設(shè)球O的半徑為R， 正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為h， r.如圖1， 球心在正四棱錐內(nèi)時， 由OO21+O1B2=OB2， 可得（h-R）2+r2=R2.

即h2-2Rh+r2=0.①

球心在正四棱錐外時， 亦能得到①式.

又正四棱錐的體積為13（2r2）h=1， 則r2=32h.

代入①式可得R=h2+34h2.

通過對關(guān)于h的函數(shù)R（h）求導(dǎo)，即R′（h）=12-32h3，易得函數(shù)R（h）在（0，33）單調(diào)遞減， 在（33，+∞）單調(diào)遞增， 則R（h）min=R（33）=3334.

從而， 球O的體積的最小值為43πR3=2716π.

反思處理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是分析實際問題中各個量之間的關(guān)系， 正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x， 把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）；從問題的實際意義去考慮， 舍去沒有實際意義的自變量的取值范圍；從而使用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值；根據(jù)問題的實際意義給出正確的答案.

4構(gòu)造函數(shù)處理恒成立與能成立問題

例4當(dāng)x>0時， ae2x≥lnxaex恒成立， 則a的取值范圍為.

解析由題意， 當(dāng)x>0時， ae2x≥lnxaex恒成立.

故ae2x≥lnx-lna-x在（0，+∞）上恒成立， 即elna+2x+lna+2x≥elnx+lnx在（0，+∞）上恒成立.

令f（x）=ex+x， 可得f ′（x）=ex+1>0.

故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

故lna+2x≥lnx在（0，+∞）上恒成立.

即lna≥lnx-2x在（0，+∞）上恒成立.

令g（x）=lnx-2x， 可得g′（x）=1x-2=1-2xx.

當(dāng)x∈（0，12）時， g′（x）>0， g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（12，+∞）時， g′（x）<0， g（x）單調(diào)遞減， 故g（x）≤g（12）=ln12-1=ln12e，故lna≥ln12e，解得a≥12e.

對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 求出最值， 從而求出參數(shù)的取值范圍; ②利用可分離變量， 構(gòu)造新函數(shù)， 直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時， 一般涉及分離參數(shù)法， 但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況， 若參變分離不易求解問題， 就要考慮利用分類討論法和放縮法， 注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.5構(gòu)造函數(shù)解決零點問題

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點， 主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)， 此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”， 即通過函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)， 或者兩個相關(guān)函數(shù)圖象的交點個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件， 進而求得參數(shù)的取值范圍， 解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.

例5若函數(shù)f（x）=ex-ax2-x有兩個不同的極值點， 則實數(shù)a的取值范圍為.

解析由題意得f ′（x）=ex-2ax-1有兩個變號零O8nszsPVzmEvaJv8PKRurN9e+VO6VnRKJDYVCDUbHI8=點， 令h（x）=ex-2ax-1， 定義域為R， 則h′（x）=ex-2a.

當(dāng)a≤0時， h′（x）>0恒成立， h（x）在R上單調(diào)遞增， 不會有兩個零點， 舍去.

當(dāng)a>0時， 令h′（x）>0，得x>ln2a， 令h′（x）<0，得x<ln2a， 故h（x）在（-∞，ln2a）上單調(diào)遞減， 在（ln2a，+∞）上單調(diào)遞增， 故h（x）在x=ln2a處取得極小值， 也是最小值.

則h（ln2a）<0， 即2a-2aln2a-1<0.

令g（a）=2a-2aln2a-1， a>0， 則

g′（a）=2-2ln2a-2=-2ln2a.

令g′（a）>0得0<a<12， 令g′（a）<0得a>12，則g（a）在（0，12）上單調(diào)遞增， 在（12，+∞）上單調(diào)遞減， 故g（a）=2a-2aln2a-1在a=12處取得極大值， 也是最大值.

又g（12）=0， 故2a-2aln2a-1<0的解集為（0，12）∪（12，+∞）.

此時當(dāng)x趨向于負無窮時， h（x）趨向于正無窮， 當(dāng)x趨向于正無窮時， h（x）趨向于正無窮，滿足h（x）=ex-2ax-1有2個變號零點.

6結(jié)束語

由此可見， 雖然新結(jié)構(gòu)試卷對試題進行較大的調(diào)整， 但構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與最值和單調(diào)性的相關(guān)問題依然是高考中的重點和難點.只有在平時訓(xùn)練中不斷積累總結(jié)， 才能更快地適應(yīng)新高考模式.

參考文獻：

［1］

王勇.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)的有效應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2023（31）：50-52.

［責(zé)任編輯：李璟］