新高考中的新定義題

摘要：新定義題是新高考中?？嫉念}型，往往以高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容作為背景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、學(xué)習(xí)新知識的能力與邏輯思維能力.文章主要介紹以高等數(shù)學(xué)中的行列式、矩陣、初等數(shù)論、集合論等內(nèi)容為背景的新定義題，并給出試題的破解策略.

關(guān)鍵詞：新高考；壓軸題；新定義題；解題策略

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0067-03

2024年1月，九省聯(lián)考的壓軸題釋放了一個信號：新高考改革卷的壓軸題很有可能考查以高等數(shù)學(xué)知識作為背景的新定義題.下面筆者以高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常以新定義形式考查的內(nèi)容（行列式、矩陣、初等數(shù)論、等）為例作介紹，旨在為廣大讀者提供對應(yīng)新定義題型的思路與策略.

1以行列式為背景

例1定義二階行列式abcd=ad-bc.已知α，λ是實常數(shù)，f（x）=λcosxsin（x-α）sin（x+α）cosx.

（1）當(dāng)α=π3，λ=1時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）是否存在λ，使得f（x）是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù)，求出所有滿足條件的λ，若不存在，說明理由.

解析（1）由題意知

f（x）=λcosxsin（x-α）sin（x+α）cosx

=λcos2x-sin（x-α）sin（x+α）

=λcos2x-（cos2αsin2x-sin2αcos2x）

=（λ+sin2α）cos2x-cos2αsin2x

=λ+12cos2x+λ-cos2α2，

所以當(dāng)α=π3，λ=1時，f（x）=cos2x+34.

令2x∈［-π+2kπ，2kπ］（k∈Z），則x∈［-π2+kπ，kπ］，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為［-π2+kπ，kπ］

（k∈Z）.

（2）由上可知f（x）=λ+12cos2x+λ-cos2α2，顯然當(dāng)λ+12=0時，f（x）的值與x的取值無關(guān)，所以存在λ=-1，使得f（x）是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù).

點評根據(jù)二階行列式的定義，利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.行列式雖然是線性代數(shù)里面的內(nèi)容，但在高中數(shù)學(xué)的選修課本里面卻有詳細介紹.建議高中師生多閱讀高中數(shù)學(xué)的選修課本，對大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容有個初步的認識.

2以矩陣為背景

例2（多選題）設(shè)a，b，c，d∈R，稱M=abcd為二階方陣，全體二階方陣構(gòu)成的集合記為S，定義S中的兩種運算：

①M=abcd，Nxyzw，

M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw；

②設(shè)M=abcd，det（M）=ad-bc，

則下列說法正確的有（）.

A.M，N∈S，有M*N=N*M

B.M∈S，N∈S，使得（M*N）*N=M

C.M，N∈S，有det（M*N）=det（M）*det（N）

D.M，N∈S，若M*N=0000，則M=0000或N=0000

解析對于選項A，M，N∈S，取

M=abcd，N=xyzw，

則M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw，

N*M=ax+cybx+dyaz+cwbz+dw.

所以M*N≠N*M.選項A錯誤.

對于選項B，M∈S，取M=abcd，取N=1001，

則M*N=abcd=M.

則（M*N）*N=M*N=M.選項B正確.

對于選項C，M，N∈S，M=abcd，N=xyzw，則

M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw，

則det（M*N）=（ax+bz）（cy+dw）-（ay+bw）（cx+dz）

=adxw+bcyz-adyz-bcxw

=ad（xw-yz）-bc（xw-yz）=（ad-bc）（xw-yz）

=det（M）*det（N）.

選項C正確.

對于選項D，M，N∈S，取M=1000，N=0011，則M*N=0000.選項D錯誤.

綜上，答案是BC.

點評利用二階方陣的運算可判斷選項A錯誤.取N=1001，結(jié)合二階方陣的運算可判斷選項B正確.利用②中的運算可判斷選項C正確.取M=1000，N=0011，結(jié)合二階方陣的運算可判斷選項D錯誤.本題以線性代數(shù)中的二階矩陣為背景，以新定義題的形式，考查二階矩陣和二階行列式的基本運算.

3以初等數(shù)論為背景

例3（2024年九省聯(lián)考第19題）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素數(shù)，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v∈X，m∈N，記uv為uv除以p的余數(shù)，um，為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，，…，ap-2，兩兩不同，若an，=b（n∈{0，1，…，p-2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n=log（p）ab.

（1）若p=11，a=2，求ap-1，；

（2）對m1，m2∈0，1，…，p-2，記m1m2為m1+m2除以p-1的余數(shù)（當(dāng)m1+m2能被p-1整除時，m1m2=0）.

證明：log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac，其中b，c∈X；

（3）已知n=log（p）ab.對x∈X，k∈1，2，…，p-2，令y1=ak，，y2=xbk，.證明：x=y2yn（p-2），1.

解析（1）若p=11，a=2，注意到210=1 024=93×11+1，

所以ap-1，=210，=1.

（2） 記an1=an1，+m1p，an2=an2，+m2p，an1，×an2，=an1，an2，+kp，其中m1，m2，k是整數(shù)，則

an1·n2=an1.an2，+（m1an2.+m2an1.+m1m2p+k）p.

可知an1，an2，=an1·n2，.

因為1，a，a2，，…，ap-2，兩兩不同，所以存在i∈{0，1，…，p-2}，使得ap-1，=ai，.

即ap-1-ai=ai（ap-1-i-1）可以被p整除.

于是ap-1-i-1可以被p整除.

即ap-1-i，=1.

若i≠0，則p-1-i∈{1，2，…，p-2}，ap-1-i，≠1，因此i=0，ap-1，=1.

記n=log（p）ab，m=log（p）ac，n+m=nm+l（p-1），其中l(wèi)是整數(shù)，

則bc=an，am，=an·m，=anm+l（p-1），=anm，al（p-1），=anm，.

即log（p）a（bc）=log（p）ablog（p）ac.

（3）由題設(shè)和（2）的證明知

y2=xbk，

=x（bb…bk）

=xan，an，…an，k

=xaa…ank，

yn（p-2），1=y1y1…y1n（p-2）

=ak，ak，…ak，n（p-2）

=ap-2，ap-2，…ap-2，nk，

故y2yn（p-2），1=xaa…ankap-2，ap-2，…ap-2，nk

=xap-1，ap-1，…ap-1，nk.

由（2）的證明知ap-1，=1.

所以y2yn（p-2）.1=x.

點評本題以離散數(shù)學(xué)中的離散對數(shù)為背景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.本題的關(guān)鍵是充分理解新定義，然后結(jié)合帶余除法以及費馬小定理等初等數(shù)論知識即可順利得解.

4結(jié)束語

新高考中的新定義題，其背景不止上文的三種，也有可能涉及數(shù)學(xué)分析中的曲率、泰勒公式、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、拉格朗日中值定理，或者高等幾何中的極點與極線、調(diào)和點列，或者線性代數(shù)中的多項式、向量空間，甚至是抽象代數(shù)中的群、環(huán)、域等[1-2].對于新高考中的新定義題，試題的解題策略是：①仔細閱讀，認真審題，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，將對應(yīng)的知識進行再遷移[3]；③如果學(xué)有余力，可適當(dāng)閱讀高中數(shù)學(xué)的選修課本，了解大學(xué)數(shù)學(xué)的先修課程.

參考文獻：

［1］ 李鴻昌.“斜橢圓”面積的八種求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2023（09）：43-46.

［2］ 李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對數(shù)平均的一個不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報，2023，62（08）：50-52.

［3］ 郝變軍.“新定義”巧創(chuàng)設(shè)，新高考妙創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（19）：60-61.

［責(zé)任編輯：李璟］