解析與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題

摘要：高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)列的考查主要是圍繞數(shù)列遞推關(guān)系進(jìn)行命題，其中與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題主要是求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和.文章結(jié)合具體例題，解析與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式；數(shù)列求和；奇偶項(xiàng)；分類討論

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0058-03

在高考試題或者模擬試題中，經(jīng)常出現(xiàn)與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的問(wèn)題.此類問(wèn)題主要考查分類討論思想、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.下面先給出與“隔項(xiàng)成等差”數(shù)列有關(guān)的三個(gè)模型，然后結(jié)合具體例子談?wù)勁c數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題的解題策略.

1“隔項(xiàng)成等差”的三種模型

當(dāng)題干所給條件中，若出現(xiàn)符號(hào)數(shù)列{（-1）n}或出現(xiàn)關(guān)于n的三角函數(shù)時(shí)，?？紤]分奇偶項(xiàng)討論.在數(shù)列{an}中，若任意n∈N*，存在t∈N*且t≥2，都有an+t-an=d（d 為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}是“隔項(xiàng)成等差”數(shù)列.

類型1an+an+1+…+an+t=An+B.

由an+an+1+…+an+t=An+B，an-1+an+…+an+t-1=An-A+B，

兩式相減，得an+t-an-1=A（n≥2）.

這就得到“隔項(xiàng)成等差”數(shù)列{an}.特別地，當(dāng)A=0時(shí)，數(shù)列{an}為周期數(shù)列.

類型2Sn+Sn+1+…+Sn+t=An2+Bn+C.

由Sn+Sn+1+…+Sn+t=An2+Bn+C，Sn-1+Sn+…+Sn+t-1=A（n-1）2+B（n-1）+C，

兩式相減，得

an+an+1+…+an+t=2An-A+B（n≥2）.

這樣，類型2就轉(zhuǎn)化為類型1了，所不同的是其不包含首項(xiàng)a1.

類型3an+1+（-1）nan=An+B.

對(duì)n賦值，有a2n+1+a2n=2An+B，a2n-a2n-EUqWnWEdHc8UVANs5k0VWz5DPetJaizIBZEEoBaQ8Tw=1=2An-A+B，a2n+2-a2n+1=2An+A+B，

通過(guò)加減，得a2n+1+a2n-1=A，a2n+a2n+2=4An+A+2B.

從而a2n-2+a2n=4An-3A+2B.

所以a2n+2-a2n-2=4A.

這就得到“隔項(xiàng)成等差”數(shù)列.

2與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的求通項(xiàng)問(wèn)題

例1[1] 數(shù)列{an}滿足an+2+（-1）nan=3n-1，前16項(xiàng)和為540，則a1=.

解析因?yàn)閍n+2+（-1）nan=3n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2=an+3n-1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=3n-1.

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16

=a1+a3+a5+…+a15+（a2+a4）+…（a14+a16）

=a1+（a1+2）+（a1+10）+（a1+24）+（a1+44）+（a1+70）+（a1+102）+（a1+140）+（5+17+29+41）=8a1+392+92=8a1+484=540.

所以a1=7.

點(diǎn)評(píng)因?yàn)轭}干所給的遞推關(guān)系中含有

（-1）n，故考慮分奇偶項(xiàng)來(lái)求解.

例2數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+4sin2nπ2，n=1，2，3，….求a3，a4，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)閍1=0，a2=2，所以

a3=（1+cos2π2）a1+4sin2π2=a1+4=4，

a4=（1+cos2π）a2+4sin2π=2a2=4.

一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，

a2k+1=［1+cos2（2k-1）π2］a2k-1+4sin22k-12π=a2k-1+4，

即a2k+1-a2k-1=4.

所以數(shù)列a2k-1是首項(xiàng)為0、公差為4的等差數(shù)列.因此a2k-1=4（k-1）.

當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，

a2k+2=（1+cos22kπ2）a2k+4sin22k2π=2a2k，

所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列.因此a2k=2k.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an=2（n-1），n=2k-1（k∈N*），2n2，n=2k（k∈N*）.

點(diǎn)評(píng)由a1，a2以及遞推公式可求出a3和a4；當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a2k-1=4（k-1），當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a2k=2k.

例3在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），則an=.

解析當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=0；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2-an=2，

所以{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為

an=1，n=2k-1（k∈N*），n，n=2k（k∈N*）.

點(diǎn)評(píng)因?yàn)檫f推關(guān)系中含有（-1）n，故需要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3與數(shù)列奇偶項(xiàng)相關(guān)的求和問(wèn)題

數(shù)列的奇偶項(xiàng)問(wèn)題的處理類似分段函數(shù)的處理，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行處理.如，對(duì)于通項(xiàng)公式分奇偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1.

例4若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=（-1）n·2n+1n2+n，則它的前n項(xiàng)和Sn=.

解析由題意an=（-1）n2n+1n2+n=（-1）n·n+（n+1）n（n+1）=（-1）n（1n+1+1n），

故Sn=-（1+12）+（12+13）-（13+14）+…+

（-1）n（1n+1n+1）.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=-1+1n+1，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=-1-1n+1.

綜上所述，Sn=-1+（-1）nn+1.

點(diǎn)評(píng)將通項(xiàng)公式an=（-1）n2n+1n2+n化為an=（-1）n（1n+1+1n），利用裂項(xiàng)求和的方法，討論n的奇偶性進(jìn)行求和.

例5已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=1，且a2，a5，a14成等比數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn=（-1）nSn，則an=，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=.

解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則由a2，a5，a14成等比數(shù)列得a25=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d＝2.

則an=a1+（n-1）d=2n-1，

Sn=na1+n（n-1）2d=n2.

所以bn=（-1）nn2.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Tn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn

=-12+22-32+42-…-（n-1）2+n2

=3+7+…+（2n-1）

=n（n+1）2，

當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，

Tn=-S1+S2-S3+S4-…+Sn-1-Sn

=-12+22-32+42-…-（n-2）2+（n-1）2-n2

=3+7+…+（2n-3）-n2

=-n（n+1）2，

當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式.

綜上所述，Tn=（-1）n·n（n+1）2.

點(diǎn)評(píng)先通過(guò)條件列關(guān)于公差為d的方程，則可求出an，求出Sn，代入bn=（-1）nSn，分奇偶討論求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.

例6數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=ncosnπ2，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2021等于（）.

A.-1 010B.2 018C.505D.1 010

解析因?yàn)閍n=ncosnπ2，

所以a2k-1=（2k-1）cos（2k-1）π2=0，k∈N*，

a2k=2kcoskπ=2k（-1）k.

則S2 021=a2+a4+…+a2 020

=2［（2-1）+（4-3）+…+（1 010-1 009）］

=1 010.

故選D.

點(diǎn)評(píng)本題考查了三角函數(shù)的周期性、數(shù)列求和，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力.

4結(jié)束語(yǔ)

與奇偶項(xiàng)有關(guān)的數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題與求和問(wèn)題，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提出了較高的要求.這類試題往往也會(huì)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合來(lái)考查，比如三角函數(shù)、函數(shù)等，要求一線教師在復(fù)習(xí)數(shù)列過(guò)程中要關(guān)注數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，并以此為切入點(diǎn)搭建數(shù)列與高中數(shù)學(xué)其他知識(shí)的橋梁.在高考備考復(fù)習(xí)中，通過(guò)適度拓展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而幫助其形成分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］

李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

［責(zé)任編輯：李璟］