數(shù)形結(jié)合解向量題

摘要：向量試題往往蘊含著幾何背景，如果能挖掘向量試題的幾何背景，然后構(gòu)造圖形，利用數(shù)形結(jié)合來解題，可簡化運算，提高解題效率.文章主要挖掘向量試題的三角形背景和圓背景，然后利用三角形的性質(zhì)或圓的性質(zhì)來解題.

關(guān)鍵詞：平面向量；三角形；圓；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0049-03

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，所以向量的運算具有代數(shù)表示，也有幾何意義[1].有些向量問題，如果利用代數(shù)進(jìn)行計算，運算量會比較大.但如果能充分利用題目所蘊含的圖形的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合來解題，就會簡化運算，提高解題效率.

1利用三角形的性質(zhì)

例1如圖1所示，在平面圖形ABCD中，BC=2AD，|BD|=6.若AC·AD=27，BC·BD=24，則

|AC|=.

解析由題意易知△ADE∽△BCE.

則AE=13AC，ED=13BD.

如圖2所示，過點E作EF⊥AD于點F，則

AC·AD=3AE·AD=27.

所以AE·AD=9=|AF|·|AD|.

由BC·BD=2AD·3ED=24，

所以AD·ED=4=|DF|·|DA|.

所以|AF||DF|=94.

不妨設(shè)|DF|=4x，則

|AF|=9x，|AD|=13x.

所以9x·13x=9，解得x2=113.

所以|AE|=（9x）2+［22-（4x）2］=3.

故|AC|=9.

點評利用平面向量數(shù)量積的幾何意義及三角形相似計算即可.

例2已知△ABC的外接圓的圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，則向量BA在向量BC上的投影向量為.

解析由2AO=AB+AC得O為BC中點.

因為△ABC的外接圓圓心為O，則

OA=OB=OC.

又|OA|=|AB|，所以AB=OA=OB=OC.

所以△ABO為正三角形.

由投影向量的定義，得向量BA在向量BC上的投影向量為14BC.

點評由題設(shè)得△ABO為正三角形，利用數(shù)形結(jié)合及投影向量定義即可得答案.

例3已知△ABC中，AB=AC=22，|AB+λBC|min=2（λ∈R），AM=12MB，AP=sin2α·AB+cos2α·AC，α∈［π6，π3］，則|MP|的取值范圍為.

解析由|AB+λBC|min=2（λ∈R），結(jié)合向量加法法則知，點A到BC的距離為2.

又AB=AC=22，則BC=4.

所以AB2+AC2=BC2.

故△ABC為等腰直角三角形.

由AP=sin2α·AB+cos2α·AC，且

sin2α+cos2α=1，

所以P，B，C三點共線.

又α∈［π6，π3］，則sin2α，cos2α∈［14，34］.

若D，E為BC的兩個四等分點，N為BC中點，如圖3所示，所以點P在線段DE上運動，且AN=2，BD=1，BE=3.

由圖3可知，若MP⊥BC，則MP∥AN.

又AM=12MB，此時BP=23BN=43∈［1，3］.

所以|MP|min=23AN=43.

故ME=MP2+（BE-BP）2=169+259=413.

由圖4知，P與E重合時，|MP|max=ME=413.

綜上，|MP|的取值范圍為［43，413］.

點評由已知可得點A到BC的距離為2，△ABC為等腰直角三角形.若D，E為BC的兩個四

等分點，則N為BC中點，點P在線段DE上運動，且AN=2，利用數(shù)形結(jié)合可求出|MP|的取值范圍.

2利用圓的性質(zhì)

例4已知平面向量a，b滿足|a|=12|b|=a·b=1，2|c|2=b·c，則|c-a|2+|c-b|2的最小值是.

解析令OA=a，OB=b，OC=c，OB中點為D，OD中點為F，E為AB中點.

由|a|=12|b|=a·b=1，得

a·b=|a|·|b|cos<a，b>

=1×2cos<a，b>=1.

即cos<a，b>=12.

即∠AOB=60°.

所以AB=22+12-2=3.

即有AO2+AB2=OB2.

所以∠OAB=90°，∠ABO=30°.

故EF=BF2+BE2-2BF·BEcos∠ABO=32.

由2|c|2=b·c，得

2OC·OC-OB·OC=2OC·（OC-12OB）

=2OC·（OC-OD）=2OC·DC=0.

則OC⊥CD.

故點C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓，如圖4.

由CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC，

CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos（180°-∠BEC），

故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2.

則|c-a|2+|c-b|2=CA2+CB2=AE2+BE2+

2CE2=32+2CE2.

所以當(dāng)F，C，E三點共線，且點C在點F，E之間時，CE最小，

此時CE=EF-12OD=32-12.

故|c-a|2+|c-b|2=32+2CE2≥32+2（32-12）2=72-3.

故答案為72-3.

點評根據(jù)余弦定理求解長度，進(jìn)而可判斷點C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓，然后利用平面向量的幾何意義得到各向量所表示的有向線段的關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為點到圓上的點的距離的最小值問題，根據(jù)三點共線可求解問題的最值[2].

例5圓O的直徑AB=2，弦EF=1，點P在弦EF上，則PA·PB的最小值是.

解析由題意可得PA·PB=（PO+OA）·（PO+

OB）=（PO+OA）·（PO-OA）=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1.

如圖5，要使PA·PB取得最小值，則|PO|要最小.根據(jù)圓的性質(zhì)，只需OP⊥EF，此時P為EF中點.

又EF=1，則EP=12.

所以|PO|min=12-（12）2=32.

則PA·PB的最小值為（32）2-1=-14.

點評根據(jù)平面向量的線性運算法則，得到PA·PB=|PO|2-1，再由圓的性質(zhì)，得到|PO|的最小值，進(jìn)而得到所求問題的最小值[3].

3結(jié)束語

向量的加法運算、減法運算和向量的數(shù)量積都具有幾何意義，充分利用向量運算的幾何意義，再結(jié)合題目所蘊含的幾何圖形的幾何性質(zhì)，最后利用數(shù)形結(jié)合來解題.這樣不僅可看清問題的幾何背景與本質(zhì)，而且可以簡化運算，提高解題效率[4].

參考文獻(xiàn)：

［1］ 顧予恒.例談數(shù)形雙視角解決向量的夾角問題[J].數(shù)理化解題研究，2021（25）：52-54.

［2］李鴻昌，徐章韜.關(guān)于對數(shù)平均的一個不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報，2023，62（08）：50-52.

［3］ 曹瑩，李鴻昌.一道數(shù)列最值問題的解法探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（19）：15-16.

[4]吳叢新.數(shù)形結(jié)合巧妙求解：多角度破解一道向量數(shù)量積試題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2024（01）：53-54.

［責(zé)任編輯：李璟］