聚焦單元整體教學關鍵課逆向設計，發(fā)展學生運算能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，單元整體教學設計要整體分析數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)和學生認知規(guī)律，結(jié)合整合教學內(nèi)容，分析主題—單元—課時的數(shù)學知識和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環(huán)節(jié)，整體設計，分步實施，促進學生對數(shù)學教學內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。那么，在實際教學中，教師應怎樣組織單元整體教學呢？本期《特別關注》刊發(fā)一組文章，對“單元整體教學”展開研究，以期為一線教師提供參考和借鑒。

【摘 要】計算教學是義務教育階段數(shù)學教學的重要內(nèi)容，知識內(nèi)容多，覆蓋面廣，貫穿整個基礎教育階段學生數(shù)學學習過程。需要學生花費大量的時間和精力，學習和掌握各種計算的公式、性質(zhì)、定律及計算技能等。在日常教學中，教師的教學有時也是在知識、技能等方面投入了大量的精力和時間，但效果往往不盡如人意，學生計算總是會出錯。教師、家長，甚至學生自己都認為僅僅是粗心、不仔細的原因，實則應該是理解上出了問題，正所謂“概念不清，道理不明，一算就錯”才是本質(zhì)因素。

【關鍵詞】單元整體教學 關鍵課 逆向設計 運算能力

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展。運算能力有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度。作為一線數(shù)學教師，經(jīng)常思考如何站在學生的角度進行數(shù)與運算內(nèi)容領域的單元整體教學設計，尤其關注關鍵課的教學逆向設計，是落實新課標要求、高效發(fā)展學生運算能力的重要一環(huán)。

一、聚焦計算方法之間的關聯(lián)，讓學生形成結(jié)構(gòu)化認識

知識結(jié)構(gòu)化，是指將逐漸積累起來的知識加以歸納和整理，使之條理化、綱領化，做到綱舉目張。知識是逐漸積累的，但在頭腦中不應bEKN370g1lqRtRNOfhQCAw==該是堆積的、零散的。結(jié)構(gòu)化對知識學習具有重要作用，因為當知識以一種層次網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的方式進行儲存時，可以大大提高知識應用時的檢索效率。凸顯學生對計算知識的結(jié)構(gòu)化認識，可以促進學生對算理、算法的本質(zhì)意義理解，可以讓學生在理解本質(zhì)意義的基礎上實現(xiàn)自主遷移，從而實現(xiàn)運算能力的真正有效發(fā)展。正如史寧中教授所講，一定要關注數(shù)學課程的整體性和一致性，關注核心概念的意義的理解。

因此，運算教學中關鍵課教學內(nèi)容應是知識體系的核心，這些知識猶如鋼架結(jié)構(gòu)中的“結(jié)點”，是知識結(jié)構(gòu)化的關鍵支點，要突出本質(zhì)理解，有了這些關鍵支點的本質(zhì)理解，才能把零散的知識連成線，最后織成網(wǎng)。數(shù)與代數(shù)主題要從認數(shù)的一致性、運算的一致性及運算的整體性（四則運算的關系）去整體關注學生的本質(zhì)理解，幫助學生建立知識結(jié)構(gòu)（圖1），凸顯關鍵課教學核心概念的本質(zhì)理解。

凸顯計算知識的結(jié)構(gòu)化認識，前提是要整體認識和把握教學內(nèi)容，加強對整個計算教學內(nèi)容間的聯(lián)系，深化對蘊含在具體顯性知識背后的本質(zhì)意義的理解。如數(shù)的認識，教學時要突出數(shù)字符號加計數(shù)單位（核心概念）的本質(zhì)理解，數(shù)運算教學要突出相同的計數(shù)單位才能直接“累加”的本質(zhì)理解。新課標對數(shù)的認識、運算教學內(nèi)容，在每個學段的目標和內(nèi)容標準中，都提出了具體的要求，并配備了一定數(shù)量的案例。

凸顯知識的結(jié)構(gòu)化認識就要重視算理的連續(xù)性和縱向聯(lián)系，教師對這部分內(nèi)容的具體學段要求就必須做到心中有數(shù)。并且能夠結(jié)合教材有意識地在具體實施知識、技能教學時，加強知識間的縱向聯(lián)系，幫助學生從本質(zhì)上加強對算理的一致性理解，從而達到發(fā)展學生運算能力的目標。

以整數(shù)乘法這條知識主線為例，從第一學段的20以內(nèi)口算加法、表內(nèi)乘法、百以內(nèi)的口算加法、一位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)的加法、一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)到第二學段的能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，這是一條縱向知識主線。教學過程中，要突出乘法的本質(zhì)就是加法，在計算過程中，無論是口算還是筆算，用到的算理本質(zhì)上就是“十進制”和“位值制”。加法豎式教學要突出相同數(shù)位對齊，因為只有相同的計數(shù)單位才能直接相加，相加后如何表示就要突出位值制，即幾個幾如何表示的問題，滿幾就向高一位進幾要突出的就是十進制。而乘法則不用突出相同計數(shù)單位對齊，因為乘法明晰計數(shù)單位后，直接考慮的是“幾個幾和幾個幾相乘得幾個幾”的問題。

例如39×24=，豎式計算過程中2×3表示的其實就是2個十乘3個十，即（2×3）×（10×10）得到6個百，再加上進位的1個百，所以是7個百，故7就寫在百位上表示7個百。這種理解必須具有連續(xù)性，達成這種理解不是一蹴而就的，它的發(fā)展必須從簡單到復雜、從低級到高級、從感性到理性的過程，最終目標是走向抽象、發(fā)展推理，有層次地逐步發(fā)展起來，并且這種發(fā)展可以在學生達到一定程度的理解后，實現(xiàn)自主遷移。

有了這種理解后，教師就可以根據(jù)學生運算能力發(fā)展進階要求，梳理出這條主線上的關鍵課。例如，20以內(nèi)口算加法中的“9+幾”就是一節(jié)關鍵課，因為這節(jié)課中用到的湊十法的本質(zhì)就是十進制和進位的處理，湊十法的本質(zhì)理解也是后續(xù)學習復雜計算的基礎；表內(nèi)乘法的起始課、兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算及筆算也是關鍵課，前一節(jié)課要打通乘法與加法的本質(zhì)聯(lián)系，后兩節(jié)課需要厘清口算與表內(nèi)乘法的本質(zhì)聯(lián)系及口算與豎式計算之間的本質(zhì)聯(lián)系。這些本質(zhì)理解都是后續(xù)學習多位數(shù)乘一位數(shù)及多位數(shù)乘多位數(shù)的基礎，因為幾乘幾解決了數(shù)量問題，單位乘單位決定了數(shù)量的單位，怎么記錄、怎么書寫比較方便就是方法的問題，可以根據(jù)需要靈活選擇。

突出知識的結(jié)構(gòu)化認識，還要加強知識間的橫向聯(lián)系。小學階段，相同數(shù)域之間的運算要突出對本質(zhì)算理的理解，加強知識間的縱向聯(lián)系，有意識地引導學生通過本質(zhì)理解逐步走向遷移類推來學習新知、解決新問題，發(fā)展學生的推理意識，從而發(fā)展運算能力。其實，不同數(shù)域之間的運算也需要通過加強比較異同來突出本質(zhì)算理理解，這是發(fā)展學生更高層次遷移類推能力的重要體現(xiàn)。例如，整數(shù)領域的運算與小數(shù)領域的運算從本質(zhì)上來講，算理是完全一樣的，教師教學時必須有意識地從本質(zhì)算理的角度去建立這種聯(lián)系。

二、關注核心概念的本質(zhì)理解，讓學生自主遷移計算方法成為可能

運算能力的發(fā)展，很大程度上體現(xiàn)在學生能否實現(xiàn)在本質(zhì)意義理解下的自主遷移能力的發(fā)展，即推理意識的發(fā)展。計算即推理，具有很強的邏輯性，異中求同抓本質(zhì)，在計算教學領域的表現(xiàn)就是計算方法、形式可以多樣，但本質(zhì)算理只有唯一；同中求異現(xiàn)靈活，在計算教學領域的表現(xiàn)就是抓住本質(zhì)算理的理解，根據(jù)計算問題的復雜程度可尋求多樣、靈活、快速、準確的計算方法和形式。

數(shù)運算的本質(zhì)理解（一致性理解）就是相同計數(shù)單位的“累加”，怎么“累加”體現(xiàn)在規(guī)則的制定和方法的多樣性上。根據(jù)數(shù)域及運算類別，小學階段的算法遷移可以分為兩類：一類是相同數(shù)域內(nèi)相同運算的算法遷移，遵循從簡單到復雜的過程，最核心的理解就是相同的計數(shù)單位可以直接相加，計算后的結(jié)果根據(jù)十進位制規(guī)則進行記錄，如整數(shù)范圍內(nèi)的加法計算，關鍵課就是“9+幾”，后續(xù)所有的整數(shù)加法計算都是“9+幾”的拓展和延伸；另外一類就是不同數(shù)域內(nèi)相同運算的算法遷移，這類課的教學要關注知識間的橫向聯(lián)系，如小數(shù)的加法與整數(shù)的加法，其核心理解是一致的，相同的計算單位可以直接相加，不同的是參與計算的單位變成了小數(shù)單位，但是單位之間的進率和位值與整數(shù)是一致的。因此，小數(shù)加法起始課就是一節(jié)關鍵課，這節(jié)課要突出類比遷移，把整數(shù)加法自然遷移到小數(shù)加法。不管是哪一類的算法遷移，教學中一定要突出類比。在不同算法的比較中，意義的理解一定不能停留在形式上的簡單比較，要深入本質(zhì)，才能形成本質(zhì)的理解，這樣有助于發(fā)展學生的自主遷移能力。

例如，教學人教版數(shù)學五年級上冊“小數(shù)乘法”這一內(nèi)容時，教材通過“想一想”（圖2），讓學生思考小數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘整數(shù)有什么不同。以下是教學片段實錄：

想一想：小數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘整數(shù)有什么不同？

師：同學們，請認真觀察并想一想，今天我們學習的小數(shù)乘整數(shù)與前面所學的整數(shù)乘整數(shù)有什么不同呢？

生：小數(shù)乘整數(shù)有小數(shù)點，整數(shù)乘整數(shù)沒有小數(shù)點。

師：你真善于觀察，一下子就發(fā)現(xiàn)了它們的不同。

師：你們都是這樣認為的嗎？

生：（齊答）是。

師：你們都太厲害了！

對于五年級的學生來說，這種外在形式上的細微區(qū)別被發(fā)現(xiàn)，還不能稱之為數(shù)學能力的真正發(fā)展。要達到算法意義的理解還得從本質(zhì)入手，從尋找計算通法入手，計算從本質(zhì)上來講就是基于對數(shù)位和計數(shù)單位個數(shù)的理解。因此，要理解這兩種數(shù)域內(nèi)算法的不同，不能停留在形式上，還要引導學生往更深層次去思考、去發(fā)現(xiàn)、去理解，從而自然、自主地遷移至新問題情境中解決問題，以發(fā)展學生的遷移能力。

另外，學生的這種回答到底是針對結(jié)果找不同，還是針對參與計算的因數(shù)找不同？筆者通過課后調(diào)研發(fā)現(xiàn)，其實很多學生也沒有搞清楚，甚至有些教師也沒有搞清楚。如果是針對結(jié)果的話，計算結(jié)果根據(jù)最簡記錄要求，也不一定就有小數(shù)。因此，對于該問題的探討，還可以再深入一步。教師必須有這種抓本質(zhì)的意識，讓教學走向深入，讓學生走向真正的深度學習。教學中，教師如果引導學生從計數(shù)單位和數(shù)位的角度去發(fā)現(xiàn)異同（圖3），這樣是有利于學生從本質(zhì)算理去溝通整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間算法的聯(lián)系的，也有利于學生在今后的學習當中把整數(shù)乘法的計算方法、計算技能遷移到小數(shù)乘法，從而達到用舊知遷移類推新知的目的，真正發(fā)展學生自主遷移類推的能力。

三、注重單元整體教學逆向設計，不斷提升學生數(shù)學思維力的發(fā)展水平

查爾斯將數(shù)學大觀念定義為：對數(shù)學學習至關重要的觀念的陳述，是數(shù)學學習的核心，能夠把各種數(shù)學理解聯(lián)系成一個連貫的整體。注重單元整體教學關鍵課逆向設計，就是要站在學生發(fā)展的角度思考教師的課堂教學，以學生發(fā)展目標結(jié)果為始，真正做到以學定教。即不管教學哪種計算，方法、技能的掌握只是在算理理解后的一個必然結(jié)果，而理解掌握這些方法、技能的過程經(jīng)歷才是學生核心素養(yǎng)發(fā)展的必要體現(xiàn)。因此，運算教學的單元整體教學關鍵課逆向設計就要以學生經(jīng)歷計算方法、技能的形成過程，發(fā)展核心素養(yǎng)為目標設計導向。如乘法概念的教學，理解乘法與加法之間聯(lián)系的過程，就可以滲透數(shù)學優(yōu)化的思想，引導學生感受數(shù)學的簡潔美，也可以讓學生體會到新知其實不新，不過是舊知的另外一種形式，從而激發(fā)興趣，增強學好數(shù)學的信心。尤其是根據(jù)需要追求簡便的這種創(chuàng)造性建模過程，是學生創(chuàng)新意識發(fā)展不可缺失的重要體驗和經(jīng)驗積累。另外，乘法的計算方法，就可以根據(jù)這種聯(lián)系，通過遷移類推獲得，這個過程經(jīng)歷也是學生推理意識的培養(yǎng)發(fā)展過程。教師要把這些數(shù)學關鍵知識、核心概念從本質(zhì)上加以理解，并且要幫助、引導學生從本質(zhì)上加以理解，以促進學生關鍵能力的發(fā)展；要有系統(tǒng)化的教學思維，讓教學既見樹木，也見森林。

因此，運算能力的發(fā)展可把數(shù)學思維—— 推理意識發(fā)展作為單元整體教學設計的隱性目標，以解決實際問題、發(fā)展學生應用意識作為單元整體教學設計的顯性目標，貫穿計算教學的始終。加強算理、算法意義的理解，打通不同算法之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，以實現(xiàn)學生自主遷移類推能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生的推理意識；聯(lián)系生活實際解決問題，注重方法、策略的多樣性，以培養(yǎng)學生的應用意識。兩者兼顧，并行發(fā)展，最終達成發(fā)展學生運算能力的目標。

以人教版數(shù)學二年級下冊“除法的初步認識”為例，初步認識不應停留在形式上的簡單認識，也不應停留在僅僅只是記住幾個概念。理解除法的意義才是關鍵，因此，教學中就要思考這么幾個問題：除法的意義是什么？如何才算理解？如何幫助學生理解？除法跟其他運算之間有沒有聯(lián)系？如何幫助學生理解它們之間的聯(lián)系？筆者認為從四則運算的內(nèi)容網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖（圖4）就能看見問題的本質(zhì)，從而能很好地解決這些問題。這就是從整體視角來進行教學設計的好處。以下是一個教學案例片段：

【教學片段一】認識平均分

師：她想把這6塊糖分給爸爸媽媽一起吃，你覺得可以怎么分？

師：同學們以4人為小組，再交流一下。

師：老師已經(jīng)看了你們完成的前置導學單，選了3種代表性的方法，請他們上來擺一擺。

預設1：● ●● ●●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺1個，第二份擺2個，第三份擺3個。

預設2：● ● ●●●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺1個，第二份擺1個，第三份擺4個。

預設3：●● ●● ●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺2個，第二份擺2個，第三份還是擺2個。

師：每種分法都各有道理，但都是把6顆糖分成了3份。

師：三種方法有什么不一樣呢？（展開討論）

生：第1、2種每個人分到的糖果不一樣。

……

師：對，第3種分法比較特殊，每個人分到的糖果都一樣多。

師：像這種分法，每份都是同樣多，我們就把它稱為平均分。（齊讀）（板書定義）把“平均分”三個字再讀兩遍。

師：看來大家都知道什么是平均分了，我們來比一比誰的眼睛亮，下面哪種分法屬于平均分？為什么？

完成教材第8頁“做一做”第1題。

第一小題：為什么是平均分？

第二小題：這種分法其中有3份是同樣多，也是平均分嗎？

生：不是，因為最后一份只有1顆。

生：不管有幾份，每份都要同樣多。

師：（小結(jié)）我們在判斷是不是平均分的時候，要看每份是不是分得同樣多。

上述教學過程，教師帶領學生學習了一個新概念“平均分”。平均分雖然是新概念，但絕非新知識，可以認為是舊知識“減法意義”的另一種表征形式，如教學片段中的學生提出的3種代表性的方法，可以抽象表達為連減：

預設1：● ●● ●●● 即6-1-2-3=0。

預設2：● ● ●●●● 即6-1-1-4=0。

預設3：●● ●● ●● 即6-2-2-2=0。

學生所呈現(xiàn)的不同分法其實就是連減抽象算式的直觀表達，這在教學減法意義及連減的時候?qū)W生是有所理解的，預設3就是除法概念的直觀表示和抽象表示的另外一種形式，即除法就是平均分，也是連減中“減數(shù)都相同、得數(shù)為零”的減式的另一種表征方式，用除法表示就是6÷2=3。所以，教學平均分時，完全可以引導學生聯(lián)系減法及連減的意義和算式的表征形式，促進學生的理解和對知識的結(jié)構(gòu)化認知。

【教學片段二】認識除法

師：剛剛通過分糖果的活動，我們知道了什么是平均分，功夫熊貓非常感謝大家，給你們帶了它最愛的竹筍，它想把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤有幾個？（板書：齊讀）

師：什么是平均放在4個盤子里？（課件圈出“平均放在4個盤子里”）

生：就是每個盤子里的數(shù)量同樣多。

師：在等分的過程中，思考兩個問題。第一，可以怎樣分竹筍？第二，到底每盤應放幾個竹筍？現(xiàn)在就請同學們拿12個小圓片代表竹筍，試著分一分吧。（2分鐘）

師：好了，再以4人為小組說一說你們是怎么分的？

學生匯報，以拖動課件的形式匯報3種分法，小組合作時教師要下去觀察。

師：在剛剛匯報的過程中，有的同學會“一個一個”地分，還有的同學會先“兩個兩個”地分，然后再把剩下的平均分。當然還有的同學“3個3個”地分。這3種分法，你們更喜歡哪種分法？

師：不管怎么分，結(jié)果是什么？能完整地說一說嗎？把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤放（ ）個。（多幾個人說）

師：你能將把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤放3個這件事情用一個算式表示出來嗎？

生：12÷4=3。

師：12、4、3分別表示什么？

……

師：（總結(jié)）通過剛才的學習我們知道了把一些物體平均分成幾份，求每份是多少，可以用除法算式表示。這就是今天我們要研究的內(nèi)容。（板書課題）

知道份數(shù)，要求每份數(shù)。分的過程是多樣的，上述教學片段中呈現(xiàn)的3種分法是常見的分法，第1、2種方法是嘗試法（或者枚舉法），逐步尋找個數(shù)，第3種方法是經(jīng)過一定思考后再分，基本能感受到每份所含有個數(shù)（數(shù)感比較強的學生能完成）。但是，有一個問題需要提出：“為什么沒有學生“4個4個”地去分呢？”從推理上來講，因為要分成4份，保證每份1個，所以可以4個4個地去分，能分幾次，自然就知道了每份的個數(shù)。就算學生開始沒有想到，但是教師繼續(xù)引領學生分下去，分一次減一次，減到為0止，再進行溝通，這樣的過程也是完全可以把除法跟減法聯(lián)系起來的。用減法表示就是12-4-4-4=0，減三次，得數(shù)為零，即分了3次，用除法表示更為簡單：12÷4=3。除法即減法，更準確地說是連減，只是減數(shù)都相同而已。從現(xiàn)實情境中來講，除法即均分，大家都要分得一樣多，并且這種現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中很常見。均分有兩種類型：一種是知道每份分得的數(shù)量，求能分幾份；另外一種就是知道分成幾份，求每份所含的數(shù)量。但是這兩種類型實際上都是跟減法意義相關的。因此，除法不是新的計算，只是舊的計算形式的新表達。再類比乘法的概念（乘法即加法），學生對除法就一定不會覺得陌生，只會覺得親近，因為雖然是學新知，其實就是舊知的遷移和復習。概念的教學可以遷移類比，理解了算理，算法也可以進行自主遷移，這種理解多了，學生的推理意識就一定會得到有效發(fā)展，同時也會大大增強學生學好數(shù)學的信心。

所以，對于上述教學片段，在給出除法表達以后，教師如果能在總結(jié)之前再增加一個討論問題“探討平均分的過程與減法之間的關系，再深入一步探討除法與減法的關系，甚至與其他運算之間的關系”，學生對除法的認識就一定可以再上升一個臺階，達到本質(zhì)理解，對四則運算就能形成結(jié)構(gòu)化的認知。

小學生運算能力的發(fā)展基于四則運算算理的一致性理解、方法的掌握和熟練程度，缺一不可。基于真實情境抽象四則運算概念、定律的教學要關注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，關注學生對知識的結(jié)構(gòu)化掌握，以發(fā)展學生的抽象意識；基于四則運算的內(nèi)在聯(lián)系的算法教學，要注重算理的一致性理解，突出相同計數(shù)單位的“累加”，發(fā)展學生的自主遷移能力，以發(fā)展學生的推理意識；基于真實情境問題解決的教學，要關注知識的綜合、靈活應用和策略的合理選擇，以發(fā)展學生的應用意識。這些核心素養(yǎng)的發(fā)展需要教師從整體的視角來設計教學，實施過程中要注意學生運算能力發(fā)展的階段性，加強數(shù)學抽象意義和數(shù)學現(xiàn)實意義的雙重理解，以發(fā)展學生的運算能力。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.