水工隧洞滲流場解析求解方法比較研究

摘要：隧洞滲流量和襯砌外水壓力是水工隧洞防排水設(shè)計(jì)和襯砌設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，選取合理的滲流場計(jì)算方法對于計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。采用三種解析方法即豎井法、鏡像法和保角變換法在一致的簡化條件和坐標(biāo)系下求解考慮圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)的富水地層水工隧洞滲流場，結(jié)合松林隧洞討論了地下水作用水頭、灌漿圈滲透性及厚度、襯砌滲透性等因素對隧洞滲流量和襯砌外水壓力的影響，并通過與數(shù)值解比較分析了三種解析方法的差異。研究結(jié)果表明：豎井法與鏡像法、保角變換法的差異主要是源于對圍巖滲流場求解機(jī)理的不同，解析解對毛洞滲流量的預(yù)測結(jié)果大于數(shù)值解，主要原因之一是解析解沒有考慮地下水位下降的影響；對于圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)的隧洞滲流量和襯砌外水壓力，三種解析解與數(shù)值解的相對誤差均小于10%；增加灌漿圈厚度或減小灌漿圈滲透性可有效降低隧洞滲流量及襯砌外水壓力。研究成果可為富水地層水工隧洞滲流場預(yù)測分析提供參考。

關(guān) 鍵 詞：水工隧洞；外水壓力；滲流量；解析解；灌漿圈；豎井法；鏡像法；保角變換法

中圖法分類號：TV672

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2024.10.027

0 引 言

富水地層中水工隧洞處于地下水位之下，作用在襯砌上的外水壓力是隧洞襯砌設(shè)計(jì)需要考慮的重要荷載之一。當(dāng)外水壓力較大時需要設(shè)置排水措施以降低外水壓力的作用。隨著環(huán)境要求的日益嚴(yán)格，富水地區(qū)隧洞工程的地下水處置通常遵循堵水限排的理念^［1-2］，一方面避免過大的外水壓力，一方面控制地下水排放量。因此合理確定隧洞滲流量和襯砌外水壓力成為了工程建設(shè)者關(guān)注的重點(diǎn)。

目前對于隧洞滲流場的計(jì)算方法主要有解析法和數(shù)值法。解析法通過理論推導(dǎo)得到隧洞滲流量和襯砌外水壓力的數(shù)學(xué)表達(dá)式，解析解比較直觀，便于結(jié)果的對比分析，具有概念清晰、公式簡潔等特點(diǎn)。國內(nèi)外已有不少隧洞滲流場的解析解研究，采用的解析法也各有異同，目前主要有三種解析法得到廣泛應(yīng)用。第一種方法是豎井法，該方法將隧洞滲流場簡化為軸對稱問題求解。王秀英等^［3］根據(jù)無限含水層中井的理論，推導(dǎo)了山嶺隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析公式；李鵬飛等^［4］采用豎井法推導(dǎo)了海底隧洞滲流量和復(fù)合襯砌結(jié)構(gòu)外水壓力的計(jì)算公式。第二種方法是鏡像法，該方法將隧洞滲流場轉(zhuǎn)化為兩個虛擬滲流場的疊加。Lei^［5］采用鏡像法對隧洞開挖涌水量解析公式進(jìn)行了改進(jìn)，使其不受限于大埋深的假定；Joo等^［6］根據(jù)鏡像法推求了層流和紊流情況下隧洞滲流量和襯砌外水壓力之間的關(guān)系；應(yīng)宏偉等^［7］采用鏡像法推導(dǎo)了海底隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析解。第三種方法是保角變換法，該方法將計(jì)算模型中的半無限平面孔口問題映射到圓環(huán)域上進(jìn)行求解。Park等^［8］采用復(fù)變函數(shù)保角變換法對隧洞圓周分別為零孔壓和常水頭條件的圍巖滲流場進(jìn)行了求解，但沒有考慮隧洞襯砌；童磊等^［9］在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了半無限含水層中帶襯砌隧洞滲流問題的解析解；潘以恒等^［10］進(jìn)一步對含注漿圈的水下隧洞滲流場進(jìn)行了解析求解。

隧洞滲流場的解析解由于采用了不同的求解方法、計(jì)算條件簡化假設(shè)等，隧洞滲流量和襯砌外水壓力的計(jì)算結(jié)果各有異同。王健華等^［11］對富水巖層隧洞涌水量預(yù)測進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)不同解析公式的計(jì)算結(jié)果相差較大。劉世偉等^［12］認(rèn)為對于假設(shè)水位位于地表以上情況下推導(dǎo)的計(jì)算公式，當(dāng)水位位于地表以下時，這些公式中相關(guān)符號代表的物理含義與實(shí)際有本質(zhì)區(qū)別，直接采用計(jì)算的結(jié)果可靠性較差。為此，本文基于已有研究成果，采用豎井法、鏡像法和保角變換法三種解析方法在一致的簡化條件和坐標(biāo)系下，推導(dǎo)考慮圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)的富水地層水工隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析解，并以滇中引水工程松林隧洞為例對影響隧洞滲流量及襯砌外水壓力的主要因素進(jìn)行討論，通過與數(shù)值解比較分析解析方法的異同，為更加合理有效地進(jìn)行富水地層水工隧洞滲流量和襯砌外水壓力計(jì)算分析提供參考。

1 富水地層水工隧洞滲流解析計(jì)算方法

考慮富水地層中的無壓水工隧洞，滲流計(jì)算模型如圖1所示。隧洞斷面為圓形，高程基準(zhǔn)面位于隧洞中心水平面上。圖1中各符號含義如下：x、y分別為水平和垂直方向坐標(biāo)，m；k、k、k分別為圍巖、灌漿圈、襯砌的滲透系數(shù)，m/d；r、r、r分別為隧洞內(nèi)半徑、襯砌外半徑、灌漿圈外半徑，m；h為隧洞中心地下水作用水頭，m；同時記h為隧洞內(nèi)側(cè)水頭，m。

采用解析法求解隧洞滲流場需要引入必要的假設(shè)來簡化計(jì)算，本文作如下主要假定：① 圍巖、灌漿圈、襯砌為均質(zhì)和各向同性；② 滲流為穩(wěn)定流，服從達(dá)西定律；③ 地下水位、隧洞內(nèi)側(cè)水頭為常量。

1.1 豎井法

考慮隧洞所處的地下水水頭很高，洞徑相對于水頭很小，根據(jù)無限含水層中井的理論，可推導(dǎo)出隧洞滲流量和襯砌外水壓力的計(jì)算公式。豎井法計(jì)算模型如圖2所示，其中r為遠(yuǎn)場距離，文獻(xiàn)［3］和［4］將遠(yuǎn)場距離取值為隧洞地下水水頭，結(jié)合本文計(jì)算模型即r=h。

根據(jù)豎井法的計(jì)算原理，圍巖、灌漿圈和襯砌中的水流均為徑向流，結(jié)合達(dá)西定律為

h=Q2πklnr+C（1）

式中：Q為單位長度隧洞滲流量，m³/（d·m）；h為滲流場水頭，m；r為滲流場任意點(diǎn)到隧洞中心的距離，m；k為含水介質(zhì)的滲透系數(shù)，m/d；C為積分常數(shù)。

通過各個過水?dāng)嗝娴牧髁烤嗟?，同時結(jié)合水頭邊界條件可以得到：

Q=2πkh-hlnhr+kklnrr+kklnrr（2）

P=γhlnrr+hkklnhr+kklnrrkklnhr+kklnrr+lnrr（3）

式中：P為襯砌外水壓力，kPa；γ為水的重度，kN/m³。當(dāng)h=0時，式（2）和（3）可分別轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)［3］中滲流量和外水壓力的計(jì)算公式。

1.2 鏡像法

考慮地下水補(bǔ)給對滲流場的影響，構(gòu)造一個虛擬源，與隧洞形成源-匯系統(tǒng)，根據(jù)鏡像法可推導(dǎo)出隧洞滲流量和襯砌外水壓力的計(jì)算公式。鏡像法計(jì)算模型如圖3所示，其中r、r分別為滲流場任意點(diǎn)到匯和源的距離，m。

根據(jù)ba7d6089c30933fef7b89825d4052ad8c25d2467d411ce059283add3307440d9鏡像法的計(jì)算原理，圍巖中的水流符合源和匯的流場疊加，由式（1）可得：

h=Q2πklnrr+C（4）

當(dāng)r=r即y=h時，h=h，那么式（4）中C=h。當(dāng)r=r時，考慮到一般rh，則r≈2h，得到：

h=Q2πklnr2h+h（5）

灌漿圈和襯砌中的水流仍認(rèn)為是徑向流，再結(jié)合各計(jì)算區(qū)域的水頭邊界條件，由此可得：

Q=2πkh-hln2hr+kklnrr+kklnrr（6）

P=γhlnrr+hkkln2hr+kklnrrkkln2hr+kklnrr+lnrr-γy（7）

當(dāng)h=0時，式（6）和（7）可分別轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)［7］中無地表水深的滲流量和外水壓力計(jì)算公式。

1.3 保角變換法

采用保角變換法將圍巖滲流場解析問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)域的拉普拉斯方程求解問題。保角變換法計(jì)算模型如圖4所示，其中ρ、β分別為極徑和輻角；為滿足保角變換條件，將圖1中坐標(biāo)系上移h，即y′=y-h，公式推導(dǎo)之后再回代。

首先將隧洞圍巖區(qū)域通過保角變換映射為半徑分別為1和α的同心圓環(huán)。Verruijt^［13］提出了如下保角變換式：

z=-ih1-α²1+α²1+ζ1-ζ（8）

式中：z為原問題所在x-y′平面；ζ為映射的ξ-η平面；i為虛數(shù)單位；α參數(shù)采用式（9）計(jì)算：

α=（h-h²-r²）/r（9）

根據(jù)保角變換原理，映射圓環(huán)內(nèi)滲流場滿足拉普拉斯方程，Park等^［8］給出了ζ平面內(nèi)總水頭的一個通解，結(jié)合水頭邊界條件可得圍巖水頭分布為

h=h-hlnαlnρ+h（10）

根據(jù)達(dá)西定律，由式（10）可得通過圍巖的滲流量為

Q=k∫^2π?h?ρρdβ=2πk（h-h）lnα（11）

灌漿圈和襯砌本身就是圓環(huán)域，無需映射轉(zhuǎn)換，結(jié)合水頭邊界條件可直接求解，再與圍巖滲流解析結(jié)果聯(lián)立，可得到隧洞滲流量和襯砌外水壓力分別為

Q=2πk（h-h）lnh+h²-r²r+kklnrr+kklnrr（12）

P=γhlnrr+hkklnh+h²-r²r+kklnrrkklnh+h²-r²r+kklnrr+lnrr-γy（13）

注意到式（12）和（13）與文獻(xiàn)［10］中不考慮地表水深時的滲流量和外水壓力計(jì)算公式一致。

2 計(jì)算結(jié)果比較分析

以云南滇中引水工程昆明段松林隧洞^［14］為例進(jìn)行計(jì)算分析。松林隧洞所穿過的地層巖性以白云巖和板巖為主，有少量砂巖，白云巖和砂巖為主要含水層，富水性中等，一般弱透水，局部斷層破碎帶和巖溶強(qiáng)發(fā)育部位中等—強(qiáng)透水；絕大部分洞段位于地下水位線以下，地下水水頭一般50～150 m，最大170 m。松林隧洞設(shè)計(jì)斷面為馬蹄形，凈寬和凈高分別為7.62 m和8.22 m。

為簡化計(jì)算，首先通過等效周長法^［15］將馬蹄形隧洞斷面等效為圓形斷面，然后分別采用不同解析公式進(jìn)行計(jì)算。為了更好地分析不同解析解之間的差異，采用GMS地下水系統(tǒng)模擬軟件對圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)滲流場進(jìn)行數(shù)值求解。已有研究建議模型范圍取距離隧洞中心不小于30倍洞徑^［16］。本次模型范圍為左右兩側(cè)及底部取約100倍隧洞半徑，頂部取至地表，采用四邊形單元剖分。初始地下水位隨計(jì)算設(shè)定中不同h值而改變，左右兩側(cè)邊界取定水頭邊界，底邊界取隔水邊界，隧洞邊界在洞內(nèi)水頭以下為定水頭邊界，洞內(nèi)水頭以上為潛在出逸邊界，并將解析解與數(shù)值解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

基本計(jì)算參數(shù)如下：等效隧洞半徑r=4.2 m，地下水作用水頭h=150 m，內(nèi)水水頭h=3.81 m，圍巖滲透系數(shù)取大值k=0.432 m/d，灌漿圈滲透系數(shù)k=8.64×10^-3 m/d，灌漿圈厚度t=8 m，襯砌在考慮排水措施后認(rèn)為具有透水性，其等效滲透系數(shù)k=2.592×10^-3 m/d，襯砌厚度t=0.5 m。設(shè)n為圍巖與灌漿圈滲透系數(shù)之比，比值n為圍巖與襯砌滲透系數(shù)之比。在進(jìn)行參數(shù)敏感性分析時，僅變化進(jìn)行敏感性分析的參數(shù)取值，其他參數(shù)取值不變。

圖5為不同地下水水頭作用下的隧洞毛洞滲流量解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對比圖。施工期隧洞涌水量的預(yù)測計(jì)算對于防排水設(shè)計(jì)、環(huán)境影響評價等具有重要意義，采用解析解計(jì)算時只需令各公式中r=r=r。由圖5可見，毛洞滲流量隨地下水作用水頭增大近似呈線性增大趨勢，然而解析解計(jì)算結(jié)果均大于數(shù)值解計(jì)算結(jié)果，其中豎井法的計(jì)算結(jié)果最大，鏡像法和保角變換法的計(jì)算結(jié)果次之，且兩者較為接近。

圖6為不同灌漿圈參數(shù)下的隧洞滲流量解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對比圖。由圖6可知，隧洞滲流量隨灌漿圈滲透系數(shù)的減小和灌漿圈厚度的增大而減小，但減小的作用逐漸趨于平緩，可見灌漿圈是控制隧洞滲流量的有效手段，其參數(shù)存在相對經(jīng)濟(jì)合理的取值。由圖6還可見，對于圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)，隧洞滲流量的解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果能夠較好的吻合，且隨著隧洞滲流量的減小，兩者越來越一致。

圖7～8分別為不同的圍巖與灌漿圈滲透系數(shù)比值和不同的灌漿圈厚度下襯砌外水壓力解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對比圖。該圖統(tǒng)計(jì)了隧洞拱頂、拱腰和拱底的襯砌外水壓力，豎井法求解的外水壓力在襯砌各位置相同，因此僅給出一個值。由圖7、8可知：襯砌外水壓力隨灌漿圈滲透系數(shù)的減小和灌漿圈厚度的增大而減小，可見提高灌漿圈抗?jié)B性能可有效降低襯砌外水壓力；襯砌外水壓力的解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果能夠較好吻合，其中豎井法與其他解法在拱腰處的計(jì)算結(jié)果較為吻合。

圖9為不同圍巖與襯砌滲透系數(shù)比值下隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對比。其中襯砌外水壓力僅給出了拱腰位置的計(jì)算結(jié)果，其他位置的結(jié)果類似不再贅述。由圖9可知，隧洞滲流量隨襯砌滲透系數(shù)的減小呈減小趨勢，而襯砌外水壓力隨襯砌滲透系數(shù)的減小呈增大趨勢，這與已有研究成果是一致的^［17］，可見襯砌完全不透水時將承擔(dān)全水頭的外水壓力，只有考慮襯砌的排水性能即設(shè)置排水措施才能更好地發(fā)揮灌漿圈的堵水作用。從圖9可以看到，隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果能夠較好吻合。

3 討 論

由圖5可知，毛洞滲流量的解析解與數(shù)值解的差異較大，且解析解的結(jié)果大于數(shù)值解。造成該現(xiàn)象的主要原因之一是毛洞無滲控措施，其涌水量大，引起了圍巖地下水位較大下降，而推導(dǎo)解析解的過程中假設(shè)地下水位恒定不變，因此計(jì)算的滲流量偏大，而數(shù)值解考慮了隧洞排水引起的地下水位下降，因此計(jì)算的滲流量偏小。表1為毛洞滲流量的不同解析解與數(shù)值解之間相對誤差的計(jì)算結(jié)果，其中滲流量半解析解是由文獻(xiàn)［18］根據(jù)數(shù)值解反算等效地下水位進(jìn)而修正解析解而提出的一種半解析公式計(jì)算得出。由表1可見，毛洞滲流量解析解的相對誤差最小的都大于20%，而對地下水位修正后的半解析解的相對誤差可小于10%，隨著地下水作用水頭的增大，解析解的相對誤差呈減小趨勢。

由圖6～9可見，當(dāng)隧洞采用了灌漿圈和襯砌等措施后，隧洞滲流量相比毛洞大幅減小，對圍巖地下水位的降低影響也小，因此隧洞滲流量和襯砌外水壓力的解析解和數(shù)值解能夠較好吻合。在本文計(jì)算參數(shù)條件下，隧洞滲流量解析解與數(shù)值解的相對誤差在2.1%～10.0%之間，襯砌外水壓力的解析解與數(shù)值解的相對誤差在1.3%～8.5%之間?？紤]地下水位下降而修正解析解主要見于毛洞，對于圍巖-灌漿圈-襯砌的復(fù)合系統(tǒng)較少見，一方面可能是考慮因素多，公式相對較復(fù)雜不便應(yīng)用，另一方面則可能是計(jì)算精度尚可接受，修正的必要性不大。

本文采用的三種隧洞滲流解析方法首先將圍巖、灌漿圈、襯砌進(jìn)行分區(qū)求解，再根據(jù)連續(xù)性原理進(jìn)行聯(lián)合求解，主要的差異在于求解圍巖滲流方面。豎井法將圍巖作為無限區(qū)域，而鏡像法和保角變換法則將圍巖作為半無限區(qū)域，顯然后兩者更符合實(shí)際情況。由式（2）～（3）、式（6）～（7）、式（12）～（13）的比較可以發(fā)現(xiàn)，三種方法推導(dǎo)的隧洞滲流量和襯砌外水壓力解析公式，其差異項(xiàng)主要反映在算式分母的第一項(xiàng)上，記作T，如式（14）所示。該項(xiàng)是求解圍巖滲流場時產(chǎn)生的，不難發(fā)現(xiàn)鏡像法的T項(xiàng)與保角變換法的較接近，而豎井法的T項(xiàng)小于后兩者，約為它們的1/2。

T=ln（h/r）

T=ln（2h/r）

T=ln（h+h²-r²）/r（14）

通過計(jì)算結(jié)果的對比分析可知：對于圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)，解析解與數(shù)值解吻合較好，相較于數(shù)值解的建模復(fù)雜、敏感性分析時修改模型繁瑣、計(jì)算耗時長等問題，解析解在一次編輯好公式后，直接修改輸入?yún)?shù)就可得到計(jì)算結(jié)果，是一種簡便實(shí)用的分析方法。解析解也有其不足之處：目前隧洞滲流場的解析方法主要是針對穩(wěn)定滲流問題，不能反映隧洞施工至運(yùn)行過程的滲流動態(tài)演化；解析解主要適用于平面問題，對于較復(fù)雜的地質(zhì)條件和防排水措施方案，需要采用數(shù)值解進(jìn)行詳細(xì)刻畫。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合松林隧洞工程，采用三種解析方法在一致的簡化條件和坐標(biāo)系下，對富水地層水工隧洞滲流量和襯砌外水壓力進(jìn)行了解析計(jì)算，并與數(shù)值解進(jìn)行對比，分析了解析解在隧洞滲流場預(yù)測和參數(shù)分析中的適用性，主要結(jié)論如下：

（1）豎井法與鏡像法、保角變換法的差異主要是對圍巖滲流場求解的不同，豎井法的計(jì)算結(jié)果大于后兩者，鏡像法與保角變換法的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)，對于圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)的隧洞滲流量和襯砌外水壓力，該三種解析解與數(shù)值解的相對誤差均小于10%。

（2）解析解可用于圍巖-灌漿圈-襯砌復(fù)合系統(tǒng)的隧洞滲流量和襯砌外水壓力的計(jì)算分析，對毛洞滲流量的預(yù)測結(jié)果偏大，考慮地下水位降低影響對解析解進(jìn)行修正可提高計(jì)算精度，解析解是平面隧洞滲流問題的簡便實(shí)用分析方法。

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（編輯：鄭 毅）

Comparative study on analytical methods of seepage field of hydraulic tunnelsLU Jinbin¹，LI Shaolong²，CUI Haodong²，SONG Meng¹，LONG Jie¹

（1.Yunnan Dianzhong Water Diversion Engineering Co.，Ltd.，Kunming 650000，China； 2.Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of the Ministry of Water Resources，Changjiang River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

Abstract： Seepage discharge volume of tunnel and external water pressure on lining are important parameters for waterproof and drainage design of hydraulic tunnels and linings.Choosing a reasonable calculation method is crucial for the accuracy of the calculation results.Three analytical methods，namely，vertical well method，image method and conformal mapping method，were used to solve seepage field of a hydraulic tunnel considering the complex system of surrounding rock，grouting circle and lining under the same simplified conditions and coordinate system.The effects of factors such as groundwater head，grouting circle permeability and thickness，and lining permeability on the tunnel seepage discharge and external water pressure on the lining were discussed aiming at Songlin tunnel.The differences between the three analytical methods were compared with numerical solutions.The results indicate that the difference results between the vertical well method，image method and conformal mapping method come from different calculation mechanism.The seepage discharge of unlined tunnel given by analytical solution is greater than that of the numerical solution，because the analytical solution does not consider the effect of groundwater level falling.For the tunnel seepage discharge and external water pressure of the surrounding rock-grouting circle-lining composite system，the relative errors between the three analytical and numerical solutions are all less than 10%.Increasing the thickness of the grouting circle or decreasing the permeability of the grouting circle can effectively reduce the seepage discharge of the tunnel and the external water pressure on linings.The research results can provide reference for predicting and analyzing the seepage field of hydraulic tunnels in water-rich formation.

Key words： hydraulic tunnel；external water pressure；seepage discharge；analytical solution；grouting circle; vertical well method; image method; conformal mapping method