大概念視角下的初中數(shù)學(xué)教材比較研究

【摘要】“大概念”在培養(yǎng)與實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)方面有其獨(dú)特的作用與價(jià)值.在闡述數(shù)學(xué)大概念的基礎(chǔ)上，對(duì)其劃分為課時(shí)大概念、單元大概念、單元間大概念和學(xué)科大概念四個(gè)有邏輯關(guān)系的大概念層.建立比較框架，從知識(shí)的內(nèi)涵、知識(shí)的編排、知識(shí)間的關(guān)系和知識(shí)的學(xué)科價(jià)值四個(gè)維度對(duì)中國(guó)和新加坡數(shù)學(xué)教材中“一次函數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行比較研究.基于研究結(jié)果，對(duì)教材編寫者修訂教材和教師、學(xué)生使用教材提供參考.

【關(guān)鍵詞】大概念；初中數(shù)學(xué)；教材比較；人教版教材；新加坡教材

新加坡于2020年9月實(shí)施了最新的中學(xué)數(shù)學(xué)課程大綱[1]，其中包括了八個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科大概念（Big Ideas）.至此，新加坡成為數(shù)不多的幾個(gè)將數(shù)學(xué)大概念納入課程標(biāo)準(zhǔn)的國(guó)家之一，可見(jiàn)新加坡在運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科大概念優(yōu)化數(shù)學(xué)教育改革相較我國(guó)已有一定的經(jīng)驗(yàn).本研究將對(duì)中國(guó)和新加坡初中數(shù)學(xué)教材中一次函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行比較，以期使得教材中的大概念更合理、更有效地提取出來(lái)，實(shí)現(xiàn)對(duì)教材資源的優(yōu)化利用.

1數(shù)學(xué)大概念內(nèi)涵及層級(jí)劃分?jǐn)?shù)學(xué)教育也許是第一個(gè)把大概念帶進(jìn)課堂的科目.

目前，具有典型意義的數(shù)學(xué)大概念內(nèi)涵，是查爾斯在2005年提出的“大概念是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心概念的表述，能夠?qū)⑷藗儗?duì)數(shù)學(xué)不同的理解和認(rèn)識(shí)形成一個(gè)統(tǒng)一的整體”[2].我國(guó)學(xué)者則認(rèn)為數(shù)學(xué)大概念是一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行再建構(gòu)的過(guò)程，用“少而精”的大概念，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更深刻的認(rèn)識(shí)，這對(duì)于貫徹核心素養(yǎng)來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的[3-5].

但是，數(shù)學(xué)大概念具有抽象性和概括性，要想獲得需得有很好的學(xué)習(xí)和總結(jié).因此，在教學(xué)過(guò)程中，需要以單元教學(xué)為基礎(chǔ).但是，它也是一個(gè)相對(duì)的概念，因而有層次的區(qū)別.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)學(xué)科劃分為不同的領(lǐng)域，每個(gè)領(lǐng)域下又劃分為不同的單元，單元間的相互作用構(gòu)成了各領(lǐng)域的大概念；而單元大概念則是由一個(gè)個(gè)課時(shí)的內(nèi)容聯(lián)結(jié)而成.如圖1所示，學(xué)科大概念位于層級(jí)結(jié)構(gòu)的頂層，可以反映學(xué)科的本質(zhì)；單元間大概念是學(xué)科大概念在各個(gè)單元中的體現(xiàn)，以此串聯(lián)成這個(gè)領(lǐng)域中的核心概念；單元大概念是單元間大概念在各個(gè)單元中的體現(xiàn)，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)化；課時(shí)大概念則是構(gòu)成單元大概念的基礎(chǔ)，大概念的學(xué)習(xí)需要依托課時(shí)教學(xué)內(nèi)容.

2研究設(shè)計(jì)

2.1研究對(duì)象選取

我國(guó)教材選取的是人民教育出版社的《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下稱人教版教材），新加坡教材選取的是Marshall Cavendish Education出版的《New Mathematics Counts》（Academic）（以下稱新加坡教材）.選取兩國(guó)教材中與“一次函數(shù)”相關(guān)的章節(jié)進(jìn)行比較分析，并提取其中有關(guān)一次函數(shù)的大概念.

2.2研究比較的框架構(gòu)建

目前對(duì)于數(shù)學(xué)大概念的提取方式研究眾多.但無(wú)論是從知識(shí)邏輯提取[6]還是按學(xué)生經(jīng)驗(yàn)提取[7]都無(wú)法為教材比較的視角提供有效的參考.所以需要以數(shù)學(xué)大概念的層級(jí)作為依據(jù)創(chuàng)建相應(yīng)的教材比較框架.

李松林[8]提出通過(guò)對(duì)教材的深度理解，可以讓大概念萌芽，并提出了深度理解教材的五個(gè)方面，即可以分別從知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、事物的本質(zhì)與規(guī)律、學(xué)科思想與方法、知識(shí)的關(guān)系與結(jié)構(gòu)和知識(shí)的作用與價(jià)值來(lái)深度理解教材.本研究從五個(gè)方面作為提取維度，結(jié)合數(shù)學(xué)大概念的層級(jí)結(jié)構(gòu)，分別從知識(shí)的內(nèi)涵、知識(shí)的編排、知識(shí)間的關(guān)系和知識(shí)的學(xué)科價(jià)值四個(gè)方面對(duì)教材進(jìn)行比較.兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中大概念的提煉以及教材比較框架如表1所示.

3兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中“一次函數(shù)”內(nèi)容比較分析

3.1課時(shí)大概念——知識(shí)內(nèi)涵

課時(shí)大概念的提取目的是讓學(xué)生對(duì)每一節(jié)課的具體內(nèi)容和問(wèn)題有一個(gè)較好的把握.其在單元教學(xué)中起到承上啟下的作用，既要能夠促進(jìn)單元大概念的理解和掌握，又要便于教師的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生的理解，因此課時(shí)大概念的表述需要盡可能地符合學(xué)生的理解水平[9].所以在提取課時(shí)大概念時(shí)需要仔細(xì)研讀教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)兩國(guó)教材中“一次函數(shù)”的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行比較，聚焦知識(shí)的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)教材每小節(jié)的內(nèi)容梳理，從知識(shí)內(nèi)涵的角度分析和概括出課時(shí)大概念，結(jié)果見(jiàn)表2.

說(shuō)明：由于新加坡教材中有三本教材涉及一次函數(shù)內(nèi)容，因此在整理課時(shí)內(nèi)容時(shí)添加教材編號(hào)加以說(shuō)明.如第2冊(cè)教材第3單元第4節(jié)中的第1小節(jié)則記為：二—3.4.1，以此類推.

從表2可知，兩國(guó)教材在“一次函數(shù)”部分的知識(shí)容量類似.包含的知識(shí)有：一般函數(shù)的概念和定義；一次函數(shù)的定義和圖象性質(zhì)；確定一次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)與方程的關(guān)系.不同之處在于，人教版還有一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，以及兩國(guó)在一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用中側(cè)重內(nèi)容不同.人教版以選擇方案為實(shí)際問(wèn)題情境，旨在讓學(xué)生嘗試用一次函數(shù)模型解決問(wèn)題；新加坡教材則是側(cè)重一次函數(shù)圖象與物理知識(shí)結(jié)合，用一次函數(shù)模型刻畫行程問(wèn)題.

3.2單元大概念——知識(shí)的編排

單元大概念讓老師對(duì)單元—課時(shí)教學(xué)有了更高的認(rèn)識(shí)，它不僅是學(xué)生單元學(xué)習(xí)的終極目的，同時(shí)也是老師對(duì)整體教學(xué)進(jìn)行反思的邏輯出發(fā)點(diǎn).分析兩國(guó)教材中的課時(shí)大概念以及“一次函數(shù)”內(nèi)容所在章節(jié)，基于知識(shí)的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，從知識(shí)編排的角度對(duì)兩國(guó)教材的單元大概念進(jìn)行提煉，結(jié)果如表3.

通過(guò)梳理單元大概念，可以發(fā)現(xiàn)，兩國(guó)教材研究函數(shù)的一般順序均為刻畫一次函數(shù)定義，研究圖象性質(zhì)，最終運(yùn)用一次函數(shù)模型解決問(wèn)題.雖然我國(guó)在高中階段也會(huì)從解析幾何即代數(shù)角度入手探討函數(shù)的性質(zhì)，但相比之下，新加坡在初中階段就已經(jīng)介紹用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象，并且將一次函數(shù)放置在平面直角坐標(biāo)系之后，直觀感受幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的融合.

3.3單元間大概念——知識(shí)間的關(guān)系

函數(shù)作為一種刻畫變化關(guān)系的工具，不應(yīng)局限在某一章節(jié)中去探討和研究.兩國(guó)教材均注意到了這一方面，因而都將函數(shù)與其他單元的知識(shí)建立起聯(lián)系.通過(guò)對(duì)單元間大概念的提煉，可以統(tǒng)攝同一類數(shù)學(xué)知識(shí)的核心概念或數(shù)學(xué)學(xué)科思想、方法與觀念.因此，本研究從知識(shí)間的關(guān)系對(duì)兩國(guó)教材進(jìn)行較為宏觀的比較，從學(xué)科的思想和方法角度進(jìn)行單元間大概念的提煉.兩版教材單元間大概念提取，如表4.

從單元間大概念提取的情況看，兩國(guó)教材均重視知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)的統(tǒng)率作用.有所不同的是，在用函數(shù)觀點(diǎn)看方程、不等式方面，新加坡版教材將方程組單元構(gòu)建聯(lián)系，但卻深挖方程組解的多種可能，使得學(xué)生能借助圖象尋求一次方程組的根.而人教版則是用一次函數(shù)把以前學(xué)習(xí)的方程和不等式進(jìn)行整合.從函數(shù)的取值和圖象兩方面將一次方程（組）和不等式這些老概念納入新的知識(shí)體系中.

從知識(shí)運(yùn)用的角度來(lái)看，人教版注重考查運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，并著重培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)建模的思想.其單元間的大概念主要與方程、不等式建立聯(lián)系，在沒(méi)有接觸函數(shù)之前，學(xué)生解決策略最優(yōu)問(wèn)題時(shí)使用最多的是不等式思想，當(dāng)滿足條件的情況較多時(shí)不便于快速找到問(wèn)題的最優(yōu)解.在引入一次函數(shù)概念時(shí)，學(xué)生可以運(yùn)用其性質(zhì)快速解決問(wèn)題.相比人教版，新加坡版教材在編排時(shí)則更注重?cái)?shù)學(xué)與物理的跨學(xué)科主題研究.以物理學(xué)中刻畫物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為引子，運(yùn)用一次函數(shù)圖象研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的四個(gè)基本量：速度、時(shí)間、路程和加速度.從一次函數(shù)的視角解讀四個(gè)基本量的意義，運(yùn)用圖象性質(zhì)計(jì)算具體數(shù)值.

從單元間大概念提取的情況看，兩國(guó)教材均重視知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)的統(tǒng)率作用.有所不同的是，在用函數(shù)觀點(diǎn)看方程、不等式方面，新加坡教材僅將函數(shù)和解一次方程組結(jié)合，運(yùn)用一次函數(shù)圖象刻畫方程組解的不同情況.雖然僅與方程組單元構(gòu)建聯(lián)系，同時(shí)深挖方程組解的多種可能，使得學(xué)生能借助圖象尋求一次方程組的根.而人教版教材則是運(yùn)用一次函數(shù)將以前學(xué)習(xí)的方程和不等式進(jìn)行整合.從函數(shù)的取值和圖象兩方面將一次方程（組）和不等式這些老概念納入新的知識(shí)體系中.

3.4學(xué)科大概念——知識(shí)的學(xué)科價(jià)值

數(shù)學(xué)學(xué)科大概念能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)，處于科目的核心位置.通過(guò)對(duì)單元大概念和單元間大概念的抽象概括，可以得到學(xué)科大概念.因此將兩國(guó)教材中的單元大概念、單元間大概念進(jìn)行抽象概括得到了“一次函數(shù)”內(nèi)容中涉及的學(xué)科大概念，如圖2所示.從事物的本質(zhì)與規(guī)律來(lái)看，人教版旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物變化中的不變性.例如，尋找一個(gè)二元一次方程的解，在沒(méi)有限定解集的情況下，其中一個(gè)未知量的解會(huì)隨著另一個(gè)未知量而改變，但兩個(gè)變量之間的關(guān)系是確定的，從一次函數(shù)的角度看，兩個(gè)變量不管如何變化，其始終在一條直線上.新加坡版教材則是構(gòu)建出“等價(jià)”這個(gè)學(xué)科大概念來(lái)刻畫事物的本質(zhì)和事物間的規(guī)律.等價(jià)是表示“相等”的兩個(gè)事物之間的一種聯(lián)系，可以用多種不同的方式來(lái)表示.從一種形式的等價(jià)到另外一種形式，是進(jìn)行分析c10a4259a2f0d9d4ede9080f96b3fc54、比較和解答等多種運(yùn)算的前提.圖2兩國(guó)教材中“一次函數(shù)”的大概念進(jìn)階

從知識(shí)的學(xué)科價(jià)值角度來(lái)看，兩國(guó)教材都注重培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.有所不同的是，人教版教材注重從實(shí)際情境中抽象出核心變量，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)建模后，用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)描述變量之間的相互關(guān)系.新加坡教材則看重從跨學(xué)科的問(wèn)題中抽象出變量之間的關(guān)系，尤其以數(shù)學(xué)和物理的跨學(xué)科問(wèn)題居多，用一次函數(shù)的圖象刻畫物理問(wèn)題從而得到一般結(jié)論和規(guī)律.另外，從新加坡教材中，筆者還提取到另一個(gè)學(xué)科大概念——“測(cè)量”.其采取的是“坐標(biāo)法”研究一次函數(shù)的性質(zhì)，與平面直角坐標(biāo)系中的計(jì)算問(wèn)題、線段長(zhǎng)度的度量和斜率的計(jì)算合在一個(gè)大單元中，旨在幫助學(xué)生從“數(shù)”的角度量化一次函數(shù)的研究，感受幾何與代數(shù)運(yùn)算的深度融合.因此，“測(cè)量”這個(gè)學(xué)科大概念貫徹在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域，發(fā)揮著量化研究的重要作用.

4啟示

研究教材對(duì)比的目的在于了解不同教材的長(zhǎng)處與短處，以便借鑒“他山之石”[10].但是，教材編排只是其中一個(gè)方面，其功能的發(fā)揮還受制于教師怎樣組織教材、采取什么樣的教學(xué)方法.因此，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析，或許能為教材編寫者修訂教材、教師和學(xué)生使用教材提供一些新的視角.

首先，從教材編寫的角度看，人教版教材在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象地認(rèn)識(shí)函數(shù).面向真實(shí)情境的大概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生看見(jiàn)學(xué)科知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，注重學(xué)習(xí)過(guò)程中相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，以求得真實(shí)性的問(wèn)題解決[11].以真實(shí)情境為載體，研究函數(shù)的概念和性質(zhì)，這是我國(guó)教材編寫的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì).然而，與新加坡數(shù)學(xué)教材對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，其還結(jié)合了物理學(xué)科的知識(shí)背景，專門用一小節(jié)的內(nèi)容篇幅介紹一次函數(shù)圖形和性質(zhì)在物理學(xué)中的運(yùn)用，體現(xiàn)了其跨學(xué)科融合的思想，這是人教版教材值得借鑒的地方.因?yàn)椋蟾拍畈恢皇蔷窒抻谔囟ǖ膶W(xué)科領(lǐng)域，而具有通用性[12]7.此外，可以發(fā)現(xiàn)新加坡教材在編排一次函數(shù)內(nèi)容時(shí)，將其分散在不同書(shū)目中.第二冊(cè)教材介紹一次函數(shù)的概念并滲透函數(shù)思想；第三冊(cè)教材詳細(xì)介紹一次函數(shù)的變化率及其解析式的求法；第四冊(cè)教材介紹其在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用.用“等價(jià)”“測(cè)量”等學(xué)科大概念串聯(lián)一次函數(shù)知識(shí)，采用螺旋式編排，這樣使各個(gè)數(shù)學(xué)科目在總體內(nèi)容上達(dá)到了協(xié)調(diào)和統(tǒng)一，體現(xiàn)了課程內(nèi)容中各部分之間本身固有的連貫性以及各冊(cè)教材之間的聯(lián)系，同時(shí)，也符合學(xué)生心理特征[13].因此，如何用學(xué)科大概念將函數(shù)知識(shí)進(jìn)行合理整合，是我國(guó)教材編寫者需要考慮的問(wèn)題.

其次，從教師的角度來(lái)看，可以大概念為支點(diǎn)，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)及活動(dòng).教師在使用教材時(shí)，可以借助概念圖提取各級(jí)大概念，明晰單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，研究函數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)路徑，亦可引導(dǎo)教師以大概念為錨點(diǎn)連接課程與課時(shí)[14].第一步，基于課標(biāo)要求與素養(yǎng)指向，通過(guò)構(gòu)建概念圖提煉函數(shù)大概念，確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)；第二步，根據(jù)函數(shù)概念特征及學(xué)情分析，分析課時(shí)大概念并進(jìn)行每一小節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)；第三步，解析概念層級(jí)之間的關(guān)系，調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，確保函數(shù)大概念在單元教學(xué)中的一致性.以大概念為支點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單元整體設(shè)計(jì)，是實(shí)現(xiàn)課程、教學(xué)與評(píng)價(jià)的一致性，是初中數(shù)學(xué)課堂落實(shí)核心素養(yǎng)培育的重要途徑[15].

最后，從學(xué)生的角度來(lái)看，大概念可以為其學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)線索[12]9.掌握了變化中的不變性、數(shù)學(xué)建模思想等學(xué)科大概念時(shí)，他們可以從運(yùn)動(dòng)變化的視角分析問(wèn)題，理解一次函數(shù)的概念；梳理了單元間的大概念和單元大概念后，可以以這些大概念為線索，自己構(gòu)建出一次函數(shù)的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.這能夠幫助其在不借助教材或其他教輔書(shū)時(shí)，完整地提取出單元的核心知識(shí)，并解決問(wèn)題.進(jìn)一步地，學(xué)生通過(guò)自我閱讀或教師指導(dǎo)，提取大概念后，能夠解決學(xué)生思維發(fā)展低階性、課時(shí)之間零散性和單元之間割裂性等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，進(jìn)而促進(jìn)其對(duì)學(xué)科大概念的深度理解與學(xué)科核心素養(yǎng)的培育[16].

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作者簡(jiǎn)介

沈愛(ài)桐（1997—）女，云南昆明人，碩士研究生;研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.

楊亞平（1987—）女，云南大理人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師;研究方向?yàn)镾TEM教育和數(shù)學(xué)教育.