數(shù)形互助 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 思想融通

【摘要】立足教材給定的小結(jié)內(nèi)容與課標(biāo)的相應(yīng)定位，通過“以數(shù)解形，聚數(shù)成勢(shì)”“以形助數(shù)，為數(shù)賦能”“融會(huì)貫通，數(shù)往知來”“盤點(diǎn)收獲，數(shù)不勝數(shù)”“知識(shí)建構(gòu)，數(shù)向未來”等五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，經(jīng)過反思，提出了“數(shù)形互助，化難為易”“題組搭臺(tái)，運(yùn)算唱戲”“明暗相合，拔節(jié)生長(zhǎng)”三個(gè)觀點(diǎn)．

【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)；數(shù)形結(jié)合；小結(jié)課；知識(shí)結(jié)構(gòu)．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）在課程實(shí)施中指出：為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)．義務(wù)教育階段初中數(shù)學(xué)內(nèi)容主要分為：數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域．四大領(lǐng)域編排順序呈螺旋上升的趨勢(shì)，幾何與代數(shù)知識(shí)穿插進(jìn)行，各部分內(nèi)容既相互獨(dú)立又有著千絲萬縷的聯(lián)系．基于大單元整體教學(xué)思考發(fā)現(xiàn)每個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)都是沿著一條主線不斷生長(zhǎng)起來的，恰如郭玉峰教授所言“數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系性，是由數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)決定的”[1]．因此在教學(xué)時(shí)要立足教材及數(shù)學(xué)學(xué)科自身的整體性，把握好知識(shí)生長(zhǎng)的主線，讓學(xué)生整體建構(gòu)相關(guān)領(lǐng)域的知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)．筆者以“實(shí)數(shù)”小結(jié)課為例，與各位同仁交流．

1研教材，明方向

本章是人教版七年級(jí)下冊(cè)第六章內(nèi)容，是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后的又一類數(shù)，屬于“數(shù)與代數(shù)”范疇．本章內(nèi)容比較零散、抽象，概念相對(duì)較多，主要包括平方根、算術(shù)平方根、立方根概念及性質(zhì)；實(shí)數(shù)概念、分類、運(yùn)算及在數(shù)軸上表示；近似數(shù)及估算等知識(shí)．面對(duì)以概念為主且抽象的數(shù)系知識(shí)，教師更應(yīng)關(guān)注知識(shí)的整體性，抓住知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，形成知識(shí)生長(zhǎng)線，將零散的知識(shí)串成串，結(jié)成塊，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法滲透，使抽象概念知識(shí)的學(xué)習(xí)變得順其自然，水到渠成．本節(jié)課以問題情境創(chuàng)設(shè)為引擎，以數(shù)軸為載體，低起點(diǎn)切入，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)及運(yùn)算的發(fā)展歷程，使抽象知識(shí)具象化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

2依課標(biāo)，定目標(biāo)

根據(jù)新課標(biāo)對(duì)實(shí)數(shù)部分內(nèi)容要求、教學(xué)建議等，結(jié)合小結(jié)課的功能定位，確定本節(jié)的復(fù)習(xí)目標(biāo)為：

（1）通過解決以正方體為背景的問題，再次歷經(jīng)數(shù)及數(shù)的運(yùn)算的生長(zhǎng)與發(fā)展過程，建構(gòu)實(shí)數(shù)知識(shí)框圖，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的必要性，發(fā)展q640bw8XIn17dAP0yGOdrdISmD9r/Ukp9VLz0EPsZWw=整體性思維．

（2）通過數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，進(jìn)一步理解算術(shù)平方根、平方根、立方根、實(shí)數(shù)等概念，性質(zhì)及相關(guān)運(yùn)算，提高運(yùn)算、抽象、邏輯推理能力，發(fā)展批判性思維和創(chuàng)造性思維能力．

3展過程，強(qiáng)建構(gòu)

環(huán)節(jié)一以數(shù)解形，聚數(shù)成勢(shì)

問題1：如圖１，正方體的棱長(zhǎng)、表面積、體積，三個(gè)量知一可求其二，請(qǐng)給其中一個(gè)量賦予具體數(shù)值，求另外兩個(gè)量.

學(xué)生1：棱長(zhǎng)賦值為2，則表面積為22=4，4×6=24，體積為23=8．

學(xué)生2：體積賦值為27，則棱長(zhǎng)也就是求27的立方根，即327=3，表面積為32×6=54．

教師借此追問什么是立方根，相關(guān)性質(zhì)有哪些？并板書．

學(xué)生3：表面積賦值為36，則棱長(zhǎng)為36÷6=6，然后求6的算術(shù)平方根，即為6，體積為（6）3=66.

教師追問：什么是算術(shù)平方根？學(xué)過算術(shù)平方根的哪些相關(guān)知識(shí)？并板書．

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察第一位同學(xué)舉出的例子22=4，23=8.如果不考慮實(shí)際意義，除了22=4，還有（－2）2=4，從而得出平方根的定義，±4=±2.由23=8，得出立方根的定義，38=2．

通過這兩個(gè)例子進(jìn)一步體會(huì)乘方與開方是互逆運(yùn)算，繼續(xù)追問：還有哪些運(yùn)算是互逆運(yùn)算？得出加與減，乘與除兩組互逆運(yùn)算．再追問：請(qǐng)對(duì)以上寫出的數(shù)進(jìn)行分類？從而得到有理數(shù)與無理數(shù)的概念，深化對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，至此數(shù)系由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍，得到實(shí)數(shù)概念，初步形成本章知識(shí)框圖（圖2）．

設(shè)計(jì)意圖小問題大作用．本環(huán)節(jié)充分考慮學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)，以學(xué)生熟悉的正方體為載體，借助圖形低起點(diǎn)切入，在教師追問中建構(gòu)算術(shù)平方根、平方根、立方根及實(shí)數(shù)等概念，明晰它們之間的關(guān)系，抽象的概念借助圖形實(shí)現(xiàn)具象化，使得無理數(shù)的出現(xiàn)變得順乎其然，進(jìn)一步感受數(shù)系擴(kuò)充是實(shí)際生活、生產(chǎn)以及數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，體會(huì)知識(shí)的生長(zhǎng)過程，進(jìn)而勾勒出初中階段實(shí)數(shù)全貌，聚數(shù)成勢(shì)．同時(shí)在問題解決過程中體會(huì)乘方與開方之間的互逆關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數(shù)學(xué)中的某些規(guī)則同生活中的規(guī)則一樣，往往具有一致性、相容性、和諧性．

環(huán)節(jié)二以形助數(shù)，為數(shù)賦能

本環(huán)節(jié)類比有理數(shù)的研究路徑對(duì)實(shí)數(shù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算及應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)．

問題2：請(qǐng)?jiān)谶呴L(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中畫出面積為2的格點(diǎn)正方形（圖3），求正方形的邊長(zhǎng)．

問題解決1：請(qǐng)沿網(wǎng)格線在適當(dāng)位置作數(shù)軸，并標(biāo)出2和-2的位置.

學(xué)生能夠正確畫出面積為2的格點(diǎn)正方形．教師可追問：為什么這樣畫出的正方形面積為2？邊長(zhǎng)怎樣求？設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，則x2=2，得x=2．學(xué)生通過作圖啟發(fā)，面積為2的正方形的邊長(zhǎng)就表示2的大小，然后沿著網(wǎng)格線在適當(dāng)位置建立數(shù)軸，以原點(diǎn)為圓心以正方形的邊長(zhǎng)為半徑分別向右，向左畫弧，與數(shù)軸的交點(diǎn)即為2和-2的位置，從而得出實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為-a．教師進(jìn)一步舉例其它無理數(shù)也可在數(shù)軸上表示，體會(huì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的重要結(jié)論．

設(shè)計(jì)意圖著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷畫出面積為2的正方形，求出正方形邊長(zhǎng)為2，然后借助數(shù)軸找到無理數(shù)2和-2的位置的過程，學(xué)生感受無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，進(jìn)而得到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并在教師的追問中得到實(shí)數(shù)相關(guān)性質(zhì)．本環(huán)節(jié)以數(shù)軸為載體，將數(shù)與形融為一體，幫助學(xué)生更好的理解無理數(shù)及實(shí)數(shù)概念，體會(huì)數(shù)軸是學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)必不可少的工具之一，數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用，培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀、抽象能力、應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)造性思維．

問題解決2：以2點(diǎn)為圓心，以2為半徑向左畫弧，交數(shù)軸與點(diǎn)M，設(shè)M點(diǎn)表示的數(shù)為m，如圖4，則m= ．

（1）請(qǐng)比較m與-1的大??；

（2）求m+1+m－1的值．

借助數(shù)軸知識(shí)能夠直接表示出m=2-2，第1題比較2-2與-1的大小，具體方法有兩種（1）通過觀察數(shù)軸看出m點(diǎn)在-1的右邊，從而得到2-2>-1．（2）可通過估算方法，首先確定2在哪兩個(gè)整數(shù)之間，進(jìn)一步確定2-2范圍，得出2-2>-1．第2題是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)問題，具體方法有三種：（1）通過觀察數(shù)軸得到m+1為正實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為本身；m-1為負(fù)實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為其相反數(shù)，即1-m，化簡(jiǎn)結(jié)果為2;（2）亦可把2-2代入后進(jìn)行計(jì)算并化簡(jiǎn);（3）利用絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，m+1+m－1表示m到-1與m到1的距離之和，通過觀察數(shù)軸得到它們的和為2．

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)看似只有兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題，卻承載著多個(gè)新舊知識(shí)點(diǎn)，其中問題背景中通過尺規(guī)作圖找到2-2位置，學(xué)生再次體會(huì)到無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示，同時(shí)點(diǎn)M也可從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看作是由2向左移動(dòng)2個(gè)單位到2-2位置，為下一個(gè)環(huán)節(jié)作鋪墊．第1題比較大小中方法1目的是讓學(xué)生體會(huì)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的大小比較也可借助數(shù)軸進(jìn)行比較，實(shí)數(shù)大小的比較與有理數(shù)大小比較方法是相通的;方法2對(duì)于無理數(shù)大小的比較可通過估算的方法確定．第2題方法1通過數(shù)形結(jié)合方式進(jìn)行絕對(duì)值化簡(jiǎn)；方法2通過代入運(yùn)算確定絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)；方法3根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，體會(huì)到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)方法與有理數(shù)范圍內(nèi)是一致的．每個(gè)問題雖有不同方法，但將數(shù)與形結(jié)合使代數(shù)知識(shí)變得更加立體，更加形象直觀，易于理解，多種方法的加持使學(xué)生思維得以發(fā)展．

問題解決3：在問題解決2的基礎(chǔ)上，通過線動(dòng)成面，面動(dòng)成體分別得到長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體（圖5）．

（1）求長(zhǎng)方形AMBC的面積；

（2）求長(zhǎng)方體的表面積．

由上一題可知AM的長(zhǎng)為2，又知寬為2，則長(zhǎng)方形面積為2×2=22．教師追問，若已知A表示2，M表示2-2，如何求AM長(zhǎng)？AM=2-（2-2）=2，進(jìn)一步體會(huì)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間線段長(zhǎng)仍可用大數(shù)減小數(shù)求得．第2題長(zhǎng)方體的表面積為22×2+22×2+（2）2×2=42+42+4=82+4．追問：（2）2為什么等于2？42+42=82依據(jù)是什么？與我們學(xué)習(xí)的整式運(yùn)算有什么相似地方？學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)算術(shù)平方根概念的理解，體會(huì)加法和乘法運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．

設(shè)計(jì)意圖承接上一環(huán)節(jié)從運(yùn)動(dòng)的角度得到長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體，借助兩個(gè)幾何圖形，對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行復(fù)習(xí)．其中問題1主要體現(xiàn)實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，問題2是乘方、乘法以及加法混合運(yùn)算，借助教師的追問學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的運(yùn)算順序以及運(yùn)算律仍成立．通過42+42=82，說明數(shù)的合并與整式中合并同類項(xiàng)是一致的，體現(xiàn)了數(shù)式通性，為二次根式的學(xué)習(xí)埋下伏筆，發(fā)展學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力．

問題3：如圖6，數(shù)軸上有C，D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且2c+6與d－4互為相反數(shù)，求2c+3d的平方根和立方根．

因2c+6與d－4互為相反數(shù)，可得2c+6+d－4=0，若學(xué)生不能夠求出c和d時(shí)，教師追問：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是什么數(shù)？d－4表示的意義是什么？從而幫助學(xué)生求出c和d的值．

設(shè)計(jì)意圖再次借助數(shù)軸對(duì)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的非負(fù)性及a的雙重非負(fù)性等知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生深刻理解算術(shù)平方根的概念，為二次根式相關(guān)性質(zhì)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

環(huán)節(jié)三融會(huì)貫通，數(shù)往知來

問題4：已知（x－1）2=4，求x的值．

變式：請(qǐng)仿照以上題目編一道能用直接開立方求解的方程，并解方程．

問題5：若an=b（a>0且a≠0，b>0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab=n），如25=32，則5叫做以2為底的32對(duì)數(shù)，記為log232（即log232=5），根據(jù)以上運(yùn)算規(guī)則，log381= ．

對(duì)問題4，學(xué)生根據(jù)平方根的定義，可知x－1=±4，x－1=±2，從而得到x=3或x=－1．變式訓(xùn)練中學(xué)生仿照問題3能夠編出如（x－1）3=1形式的方程，并利用立方根相關(guān)知識(shí)快速求解．對(duì)問題5，學(xué)生通過閱讀能夠理解log381，也就是已知底數(shù)為3，冪為81時(shí)，求指數(shù).答案為4．

設(shè)計(jì)意圖問題4使學(xué)生體會(huì)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)不單是生產(chǎn)生活的需要，同時(shí)也是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部生長(zhǎng)的需要，為一元二次方程和一元三次方程的解法——直接開平方、開立方法解方程提供依據(jù)．問題5對(duì)數(shù)問題體現(xiàn)了與高中知識(shí)的銜接，乘方是已知底數(shù)和指數(shù)求冪，方根是已知指數(shù)和冪求底數(shù)，而對(duì)數(shù)是已知底數(shù)和冪求指數(shù)，通過此問題進(jìn)一步明確了三個(gè)量底數(shù)、指數(shù)、冪之間的內(nèi)在關(guān)系，是對(duì)逆運(yùn)算的完善，為相關(guān)知識(shí)研究提供思路，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的眼光學(xué)數(shù)學(xué)．兩個(gè)問題通過遷移學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和技能，在舉一反三、類比推理中逐步建構(gòu)新知，完善數(shù)系結(jié)構(gòu)，并通過回顧反思進(jìn)一步強(qiáng)化遷移學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生高階學(xué)習(xí)能力[2]．

環(huán)節(jié)四：盤點(diǎn)收獲，數(shù)不勝數(shù)

引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：

（1）你掌握了哪些知識(shí)（基礎(chǔ)知識(shí)）？

（2）你學(xué)會(huì)了哪些解題方法（基本技能）？

（3）你運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想（基本思想）？

（4）你總結(jié)了哪些復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）？

（5）還有什么感悟和思考？

設(shè)計(jì)意圖新課標(biāo)指出，核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)是對(duì)“四基”“四能”教學(xué)目標(biāo)的繼承和發(fā)展，“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體．基于此本節(jié)課歸納總結(jié)最終落腳在四基上，其中問題1和2主要對(duì)應(yīng)本節(jié)課的目標(biāo)1，問題3和4主要對(duì)應(yīng)目標(biāo)2，問題5是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展延伸，五個(gè)問題體現(xiàn)了教學(xué)評(píng)的一體化，可有效促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．

環(huán)節(jié)五：知識(shí)建構(gòu)，數(shù)向未來

（1）隨著教學(xué)推進(jìn)，形成本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖7．

（2）播放數(shù)系擴(kuò)充歷程小視頻（略）．

設(shè)計(jì)意圖大單元整體觀下的章單元復(fù)習(xí)，不僅要關(guān)注不同知識(shí)點(diǎn)之間的縱橫關(guān)聯(lián)，更要強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性、思想方法的一致性．基于此，本環(huán)節(jié)用整體結(jié)構(gòu)圖統(tǒng)攝，全景展示初中階段實(shí)數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，并通過實(shí)數(shù)的擴(kuò)充以及實(shí)數(shù)研究路徑把整個(gè)章節(jié)貫通起來，形成前銜后含的單元，讓學(xué)生既見木又見林，便于后續(xù)知識(shí)的有序開展．為幫助學(xué)生進(jìn)一步完善數(shù)系知識(shí)的整體建構(gòu)，了解數(shù)系的生長(zhǎng)擴(kuò)充過程，為高中知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，在本節(jié)課最后通過播放小視頻方式讓學(xué)生了解數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)之后，隨著生產(chǎn)生活的需要再次擴(kuò)充，產(chǎn)生虛數(shù)，數(shù)系從實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域，實(shí)現(xiàn)小初高知識(shí)貫通整合，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界．

4勤反思，促成長(zhǎng)

4.1數(shù)形互助，化難為易

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用可以使某些抽象問題變得直觀化、形象化，能夠?qū)⒊橄笏季S化為形象思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．本章主要是相關(guān)概念學(xué)習(xí)，而數(shù)與代數(shù)部分的概念無疑是抽象的、難以理解的，本節(jié)小結(jié)課首先以正方體為載體，縱橫串起實(shí)數(shù)一章的相關(guān)概念，建構(gòu)起了整個(gè)實(shí)數(shù)知識(shí)體系，這種以“數(shù)”輔“形”形式，將抽象的“數(shù)”形象化、立體化，深化學(xué)生對(duì)概念的理解．其次以數(shù)軸為媒介，對(duì)實(shí)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用進(jìn)行復(fù)習(xí)，通過以“形”助“數(shù)”形式，進(jìn)一步使“數(shù)”的知識(shí)直觀化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)系知識(shí)的興趣．本節(jié)課通過數(shù)形結(jié)合思想將抽象的實(shí)數(shù)知識(shí)具象化，讓知識(shí)有了落腳點(diǎn)，數(shù)與形的融合將數(shù)系知識(shí)化難為易，提高了學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)與代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)力，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力以及幾何直觀，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維由低階到高階的轉(zhuǎn)變．

4.2題組搭臺(tái)，運(yùn)算唱戲

小結(jié)課是對(duì)整章內(nèi)容進(jìn)行再次整體認(rèn)知，加固并重構(gòu)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，多角度形成對(duì)本章“終端”認(rèn)知的過程．本節(jié)課第一大環(huán)節(jié)通過以實(shí)際問題為背景的題組（追問形式呈現(xiàn)）為載體，圍繞學(xué)生學(xué)過的正方體的表面積、體積，深化本章相關(guān)概念，體會(huì)乘方與開方互逆關(guān)系，感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性．第二大環(huán)節(jié)以數(shù)軸為載體設(shè)置題組練習(xí)，類比有理數(shù)研究路徑對(duì)實(shí)數(shù)定義、相關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算、應(yīng)用四個(gè)方面進(jìn)行復(fù)習(xí)．在復(fù)習(xí)過程中始終遵循以生為本，順生而學(xué)，抓住知識(shí)的生成與生長(zhǎng)，最終形成實(shí)數(shù)知識(shí)框架，建立起六種運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“承重墻”，在知識(shí)線整體生長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)化過程中，整體地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，進(jìn)而形成知法明理的運(yùn)算大概念．

4.3明暗相合，拔節(jié)生長(zhǎng)

本節(jié)課學(xué)習(xí)主要抓住兩條線．其一是運(yùn)算發(fā)展明線：本節(jié)課的學(xué)習(xí)下接起小學(xué)學(xué)習(xí)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算，平轉(zhuǎn)承初中學(xué)習(xí)的乘方和開方運(yùn)算，上通達(dá)高中將要學(xué)習(xí)的“對(duì)數(shù)”運(yùn)算，這條運(yùn)算主線分散于三個(gè)學(xué)段不同的章節(jié)中，使得學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)部分的知識(shí)呈現(xiàn)碎片狀，本節(jié)課作為中程章節(jié)發(fā)揮了前承后銜的作用，將運(yùn)算貫通起來．其二是思想發(fā)展暗線：本節(jié)課始終抓住數(shù)形結(jié)合思想，通過正方體和數(shù)軸兩個(gè)載體將本章知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，融通了整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，使得抽象的概念學(xué)習(xí)立體化、形象化．基于大單元整體教學(xué)的思考，作為小結(jié)課需要讓這明暗兩條線交互融匯，相輔相成，讓學(xué)生通過問題鏈的引思以感受知識(shí)的生成、生長(zhǎng)和發(fā)展，融通了知識(shí)脈絡(luò)與方法架構(gòu)，讓知識(shí)整體化、結(jié)構(gòu)化，有效降低了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，不僅便于更長(zhǎng)久保存信息，還能促使學(xué)生深度理解概念，提振信心，提質(zhì)增效，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)習(xí)能力的提升．

參考文獻(xiàn)

[1]郭玉峰.關(guān)注數(shù)學(xué)的整體性和關(guān)聯(lián)性[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2024，63（03）：1-5.

[2]顧曉東. 基于高階思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)策略[J].教學(xué)與管理，2019（14）：46-48.

作者簡(jiǎn)介

王偉燕（1984—），女，山東陽信人，中學(xué)高級(jí)教師，濱州市名師，濱州市教學(xué)能手，濱州市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)得主;主要研究方向是課堂教學(xué)及其研究．

邢成云（1968—），男，山東無棣人，中學(xué)正高級(jí)教師（二級(jí)教授），國(guó)家“萬人計(jì)劃”教學(xué)名師，齊魯名師，山東省特級(jí)教師;主要研究方向是課堂教學(xué)及其理論研究．